基于建模能力發(fā)展的“綜合與實(shí)踐”教學(xué)研究

遽偉華

[ 摘 要 ]文章從課標(biāo)要求的演變、教材分析、教學(xué)特征、活動(dòng)特征、評價(jià)特征等方面著手進(jìn)行教學(xué)分析，并以“二元一次方程組”的綜合與實(shí)踐活動(dòng)教學(xué)為例，認(rèn)為基于建模能力發(fā)展的“綜合與實(shí)踐”教學(xué)活動(dòng)可從如下四方面實(shí)施：創(chuàng)設(shè)生活情境，驅(qū)動(dòng)探究動(dòng)機(jī)；遵循思維規(guī)律，激發(fā)模型意識；設(shè)置串聯(lián)問題，感悟模型價(jià)值；設(shè)計(jì)拓展問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型.

[ 關(guān)鍵詞 ]綜合與實(shí)踐；課標(biāo)；教學(xué)

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)是一種從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以學(xué)生生活為核心而組織的一種綜合性課程，對促進(jìn)跨學(xué)科聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想與應(yīng)用意識等具有直接影響.這類課型具有綜合性、開放性、實(shí)踐性、自主性與生成性等特征.活動(dòng)方式多樣，分別有調(diào)查、考察、探究、勞動(dòng)與技術(shù)實(shí)踐等[1].在新課改的背景下，開發(fā)并應(yīng)用好數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要舉措.

教學(xué)分析

1.課標(biāo)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》是教師實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的綱領(lǐng)性文件，其要求決定了教師教學(xué)的寬度與深度.如表1，為了進(jìn)一步了解課標(biāo)要求，筆者將最近三版課程標(biāo)準(zhǔn)中“綜合與實(shí)踐”相關(guān)內(nèi)容與要求羅列出來進(jìn)行比較分析，以進(jìn)一步了解教學(xué)要求.

2.教材分析

隨著新課標(biāo)的落地，當(dāng)前各個(gè)版本的初中數(shù)學(xué)教材都編排了數(shù)學(xué)活動(dòng)，這些內(nèi)容都是“綜合與實(shí)踐”的素材來源，如“整式的加減”這一章節(jié)就安排了如下活動(dòng)：要求學(xué)生探索日歷表中的數(shù)字規(guī)律，綜合應(yīng)用整式知識提出并解決問題.該活動(dòng)對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感與符號意識具有重要價(jià)值.

3.教學(xué)特征

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的結(jié)果固然重要，但更應(yīng)注重教學(xué)過程，其過程包括學(xué)生獨(dú)立思考與合作交流的情況，自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題的過程等.同時(shí)，這種課型還關(guān)注學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展，而非只關(guān)注標(biāo)準(zhǔn)化的解題程序或更優(yōu)的解題方法.因此，教師更希望在課堂上聽到的學(xué)生的回答是：“我的理解是……”“我的設(shè)計(jì)方案是……”“除此之外，還可以……”

4.活動(dòng)特征

學(xué)生是“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的主體，在“以生為本”基礎(chǔ)上的活動(dòng)過程有：確立課題、設(shè)計(jì)方案、實(shí)施探究、撰寫報(bào)告、交流.此過程中，學(xué)生完全占據(jù)主體地位，并在相應(yīng)的生活情境中發(fā)現(xiàn)、提出、分析并解決問題，對活動(dòng)過程進(jìn)行回顧與反思總結(jié)，因此，這也是學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程.

5.評價(jià)特征

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的評價(jià)具有目標(biāo)多元化、過程豐富、結(jié)果非唯一等特性.因此，對此類課程的教學(xué)成效進(jìn)行評價(jià)時(shí)絕非單純地給個(gè)分?jǐn)?shù)或判斷對錯(cuò)就可以，而要結(jié)合活動(dòng)形式、學(xué)生實(shí)際情況等因素制訂評價(jià)指標(biāo)，每個(gè)指標(biāo)的著重點(diǎn)各不一樣，整體上以多元、等級、行為描述等為主.評價(jià)的目的在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)信心，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，以及各學(xué)科間的聯(lián)系等.

具體措施

1.創(chuàng)設(shè)生活情境，驅(qū)動(dòng)探究動(dòng)機(jī)

恰如其分的情境與問題是發(fā)展學(xué)生模型思想、提升應(yīng)用意識的重要舉措.人教版教材七年級下冊第八章“二元一次方程組”中安排了幾個(gè)探究活動(dòng)，每個(gè)探究活動(dòng)看似不同，目標(biāo)卻一致，都是讓學(xué)生親歷建模過程，體驗(yàn)二元一次方程組的模型價(jià)值.

為了拉近學(xué)生與知識之間的距離，教師可選擇學(xué)生熟悉的生活場景來構(gòu)建情境，讓學(xué)生從良好的氛圍中感知生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系；在生活問題的導(dǎo)向下積累生活經(jīng)驗(yàn)，形成探究能力；在數(shù)學(xué)原理的建構(gòu)中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科與現(xiàn)實(shí)世界具有怎樣的關(guān)系等.同時(shí)，良好的生活情境還能促使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)術(shù)語.

以探究活動(dòng)二“面積劃分問題”為例，我們可創(chuàng)設(shè)如下情境：

情境一 若想將一塊長、寬分別為200 m與100 m的長方形土地分成兩部分，使得兩部分的面積比為1∶3，該怎么分？請畫出示意圖.

設(shè)計(jì)意圖 此情境是結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)而創(chuàng)設(shè)的，問題并不難，關(guān)鍵在于讓學(xué)生體會(huì)“怎么分”的過程.低起點(diǎn)的問題能讓學(xué)生對探究充滿信心，一題多解又增加了問題的靈活度，為實(shí)現(xiàn)探究目標(biāo)奠定了基礎(chǔ).

情境二 在一片200平方米的土地上種植某種農(nóng)產(chǎn)品，若該農(nóng)產(chǎn)品的單位面積產(chǎn)量是10千克/平方米，那么這塊土地的總產(chǎn)量是多少？如果在這片土地上種植甲、乙兩種農(nóng)產(chǎn)品（各一半），甲、乙兩種農(nóng)產(chǎn)品的產(chǎn)量分別是10千克/平方米與30千克/平方米，那這兩種農(nóng)產(chǎn)品的總產(chǎn)量是多少？

設(shè)計(jì)意圖 該情境從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地分析與思考問題，為探究活動(dòng)的開展夯實(shí)基礎(chǔ).

2.遵循思維規(guī)律，激發(fā)模型意識

初中生已經(jīng)具備了初步的模型意識，本節(jié)課探究活動(dòng)的熱身階段可結(jié)合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，借助簡單的問題來喚醒學(xué)生的模型意識.讓學(xué)生在易理解的問題中發(fā)現(xiàn)知識本質(zhì)，形成模型意識.

以探究活動(dòng)一“大牛小牛”的問題探究為例，教師可結(jié)合學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律創(chuàng)設(shè)如下情境：某種物品存在兩種包裝類型，已知3件大包裝與4件小包裝的合計(jì)質(zhì)量為108千克，2件大包裝與3件小包裝的合計(jì)質(zhì)量為76千克，求4件大包裝與2件小包裝的合計(jì)質(zhì)量.

設(shè)計(jì)意圖 從七年級學(xué)生的思維水平來看，本題難度較小，問題與學(xué)生的生活息息相關(guān)，通過對問題的探索，學(xué)生能從自身已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中探尋出問題中存在的未知數(shù)與等量關(guān)系，能用列方程組的方式快速獲得問題的結(jié)論.

鄭毓信提出：課堂之所以死氣沉沉，原因在于研究者與研究對象出現(xiàn)了脫節(jié)[2].事實(shí)證明，恰當(dāng)?shù)膯栴}可激發(fā)學(xué)生的模型意識，讓學(xué)生自主進(jìn)入知識本質(zhì)的探索中.結(jié)合學(xué)生實(shí)際思維水平喚醒學(xué)生的模型意識與應(yīng)用意識，是“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)不可忽視的重要環(huán)節(jié)，也是后續(xù)建模的基礎(chǔ).

3.設(shè)置串聯(lián)問題，感悟模型價(jià)值

模型價(jià)值體現(xiàn)在建模過程中.若想體現(xiàn)模型的應(yīng)用價(jià)值，可設(shè)計(jì)與例題相關(guān)的“問題串”，讓學(xué)生在條理清晰的問題中探尋其中存在的等量關(guān)系，為建模奠定基礎(chǔ).同時(shí)，階梯性的問題串還能有效強(qiáng)化學(xué)生的模型意識，幫助學(xué)生將這種意識轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定的觀念.

如“大牛小牛”問題，在學(xué)生順利解決示例后，教師可設(shè)計(jì)如下問題串引發(fā)學(xué)生思考：

問題1 該情境中存在哪些等量關(guān)系？有哪些量可以直接獲得？

問題2 我們應(yīng)如何檢驗(yàn)李大叔的估算？

設(shè)計(jì)意圖 問題1意在引導(dǎo)學(xué)生探尋到建模的依據(jù)，為建模服務(wù)；問題2意在引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)應(yīng)用模型解決實(shí)際問題的便利，并通過解決問題發(fā)展模型思想.

再來觀察“面積劃分問題”.若將問題中的“產(chǎn)量比關(guān)系”更換為“相等關(guān)系”，那么教學(xué)的重心就轉(zhuǎn)移到用方程組模型描述等量關(guān)系上，而后提供單位產(chǎn)量比與總產(chǎn)量比的數(shù)據(jù)，便可進(jìn)一步開闊學(xué)生的視野.具體可設(shè)計(jì)如下問題串：

問題1 閱讀題干，從中你能獲取哪些有用的條件？請逐條表述.

問題2 你是如何理解“本批次產(chǎn)品的銷售金額比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少”這句話的？想要解決這個(gè)問題，需明確哪些條件？

問題3 嘗試自主列表梳理題干中的已知量，通過運(yùn)輸費(fèi)用的計(jì)算來列方程組.

設(shè)計(jì)意圖 由淺入深的問題串讓學(xué)生循序漸進(jìn)地分析問題，揭露問題的本質(zhì)，讓學(xué)生在問題的逐個(gè)擊破中獲得分析問題的常規(guī)方法.因此，問題串的設(shè)計(jì)，能在促進(jìn)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型的同時(shí)，為解決問題創(chuàng)造條件.

4.設(shè)計(jì)拓展問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

生活中有些實(shí)際問題比較復(fù)雜，我們難以做到精確統(tǒng)計(jì)，但若忽略掉問題中無關(guān)的因素，將有用的數(shù)量關(guān)系提取出來，并借助模型進(jìn)行分析、計(jì)算與評估，便可取得不錯(cuò)的成效.鑒于此，教師在設(shè)計(jì)課后拓展性問題時(shí)應(yīng)體現(xiàn)出教育的智慧.

如“大牛小牛”問題的課后拓展討論，教師可提出問題：“在我們的生活實(shí)際中，是否還有類似的實(shí)例？”

設(shè)計(jì)意圖 此問的提出意在讓學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)，明確即使遇到無法精確統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，也可以從整體的角度對問題進(jìn)行預(yù)估，如房子裝修，就可以根據(jù)耗材、人工等方面預(yù)估經(jīng)費(fèi).同時(shí)，此問還能增強(qiáng)學(xué)生的模型應(yīng)用意識，讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用模型對問題實(shí)施預(yù)測.

事實(shí)告訴我們，引導(dǎo)學(xué)生自主感悟數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，屬于一種寶貴的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，作為教師，需做好點(diǎn)撥工作，切忌替代包辦.互動(dòng)過程中，教師還可以提出類似于“是否還有其他計(jì)算方法”的問題啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生自主探尋新的等量關(guān)系、數(shù)學(xué)模型或解題方向等.學(xué)生通過對不同模型與方法的體驗(yàn)，可充分感知“二元一次方程組模型”的價(jià)值與意義.

教師還可要求學(xué)生課后思考：如何用李大叔估算的范圍來分析大牛與小牛的飼料數(shù)值？

設(shè)計(jì)意圖 此問的提出意在引發(fā)學(xué)生逆向思考，讓學(xué)生通過反證法、變量法等進(jìn)入深度思考狀態(tài)，以激發(fā)學(xué)生潛能，發(fā)散學(xué)生思維.若學(xué)生順利應(yīng)用逆向思維提出控制變量法的局限性，教師可在此帶領(lǐng)學(xué)生提煉出“當(dāng)定量與不定量同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，需從定量著手建模”的結(jié)論，以凸顯模型的真正價(jià)值.

總之，“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的開展離不開教學(xué)方式的變化，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)情、教情，積極探尋促進(jìn)學(xué)生自主思考、合作交流與創(chuàng)新的方法，讓學(xué)生在豐富、有趣且具有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)中觀察、分析、猜想、驗(yàn)證、推理、反思、總結(jié)，形成良好的模型觀與應(yīng)用意識.

參考文獻(xiàn)：

[1]薛云芳.“數(shù)學(xué)在生活中應(yīng)用”綜合實(shí)踐活動(dòng)課程資源的開發(fā)和實(shí)踐[J].福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（03）：68-70.

[2]鄭毓信.“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的理論與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（05）：24-32.