捕捉問題本質(zhì)，追求極簡解法，發(fā)展核心素養(yǎng)

黃晨旭

［摘? 要］ 解題能力反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，究竟該如何捕捉問題的本質(zhì)，追求極簡解題方法呢？研究者以“用不同方法解一道題”的分析為例，分別從如下三方面談一些思考：注重審題效率，突破解題經(jīng)驗(yàn)束縛；尊重個(gè)體差異，適當(dāng)時(shí)機(jī)加以引導(dǎo)；緊扣知識(shí)本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 本質(zhì)；解題；核心素養(yǎng)

一題多解在數(shù)學(xué)訓(xùn)練中常有出現(xiàn)，旨在用不一樣的技巧與方法來解決同一個(gè)問題，它對(duì)拓展數(shù)學(xué)思維，揭露知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)知識(shí)的融會(huì)貫通具有重要意義. 同一道題的多種解法也有繁簡之別，追求極簡解法可更好地暴露知識(shí)本質(zhì)，讓學(xué)生在簡捷明了、條理清晰的思路中發(fā)展學(xué)力，提升核心素養(yǎng).

展示試題

原題如圖1，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線y=x-2和y軸在點(diǎn)A處相交，且和反比例函數(shù)于第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)B（m，2）.

問題：（1）請(qǐng)寫出該反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）若將直線y=x-2向上平移，于第一象限與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)C，獲得△ABC的面積為18，請(qǐng)寫出平移之后直線的函數(shù)關(guān)系式.

解法分析

此題為中考復(fù)習(xí)課上的一道題，師生雙邊互動(dòng)與交流，針對(duì)其中的第二問呈現(xiàn)出如下三種解法.

第一種：從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，解題方法容易理解，但比較煩瑣.

解法1：如圖2所示，設(shè)點(diǎn)C（a，b），關(guān)于直線y=x-2可取x=0，解得y=-2，由此可確定點(diǎn)A（0，-2），那么AO=2. 分別過點(diǎn)C，B作CD，BE與y軸垂直. 所以S=S+S-S=18，即（4+a）（b-2）+×4（2+2）-a（b+2）=18，經(jīng)整理，有b-a=7. 將點(diǎn)C代入y=中，可得ab=8. 由此可確定點(diǎn)C（1，8），據(jù)此獲得平移之后的直線解析式是y=x+7.

分析不少學(xué)生首先想到了這種解題方法，交流發(fā)現(xiàn)，這部分學(xué)生認(rèn)為題設(shè)條件中△ABC的面積無法直接應(yīng)用，結(jié)合已有的解題經(jīng)驗(yàn)，若無法直接應(yīng)用圖形面積時(shí)，則考慮從“割”或“補(bǔ)”的角度來轉(zhuǎn)化面積. 這種解題思路涉及梯形、三角形面積以及點(diǎn)坐標(biāo)的表示等，因此計(jì)算量較大，過程比較煩瑣，但這種思路比較自然且符合學(xué)生的解題習(xí)慣.

第二種：從技巧出發(fā)，解法簡捷，但不容易想到.

解法2：如圖3，作CD與y軸平行，和直線AB相交于點(diǎn)D，再過點(diǎn)B作y軸的垂線，點(diǎn)E為垂足. 根據(jù)S=18這個(gè)條件，有S+S=18，因此CD·BE=18. 易得BE=4，由此可知CD=9，因此可確定直線AB是向上平移了9個(gè)單位，那么平移之后直線的函數(shù)關(guān)系式就是y=x+7.

分析當(dāng)看到學(xué)生的這種解題思路時(shí)，筆者不禁被驚艷到，這種解法簡捷了很多，尤其是借助CD將△ABC一分為二之后，在不求分割出來的三角形面積的基礎(chǔ)上借助整體思想發(fā)現(xiàn)CD·BE=18，由此獲得CD的長，問題也隨之解決.

為了弄清學(xué)生的想法，筆者特地訪談了如此解題的學(xué)生，該生表示他是在一本課外輔導(dǎo)書上看到可以用整體思想來解決類似這種三角形面積問題的，不成想用到本題中還真的成功了.

眾生聽后一致認(rèn)為：方法雖好，但技巧性比較強(qiáng)，一般情況下不容易想到這種思路.

第三種：緊扣問題本質(zhì)，解題方法自然且簡捷.

解法3：如圖4，假設(shè)經(jīng)平移之后直線與y軸于點(diǎn)D處相交，連接BD，并過點(diǎn)B作BE垂直于y軸，點(diǎn)E為垂足. 根據(jù)直線CD∥AB，可知S=S=18，因?yàn)锽E=4，所以AD=9. 因?yàn)镺A=2，所以O(shè)D=7，由此可確定平移之后的直線解析式是y=x+7.

分析這種解題方法與前面兩種解題思路相比，顯得更加自然、簡單，也不會(huì)像第二種解法給人一種“高不可攀”的感覺. 但觀察整個(gè)班級(jí)學(xué)生的解題思路，很少有學(xué)生想到這種解法，這是為什么呢？

為了尋求答案，筆者與學(xué)生進(jìn)行了交流，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對(duì)于題設(shè)條件中的“平行”這個(gè)條件沒有引起重視，甚至有部分學(xué)生直接忽略了這個(gè)條件. 其實(shí)從本質(zhì)上來說，本題的本源就是關(guān)于直線AB的平行移動(dòng)問題. 當(dāng)直線AB向上平移之后，它與雙曲線的交點(diǎn)C也會(huì)隨之上移，那么△ABC的面積就隨之變大，若直線AB上移的距離是確定的，就能明確△ABC的面積.

從本質(zhì)上來看，本題源自直線的平移，若想用最簡單的方法來解決問題，最佳方案就是從“平行”著手分析. 真可謂解鈴還須系鈴人，一旦探尋出問題的本質(zhì)，那么解題也就游刃有余了.

教學(xué)思考

1. 注重審題效率，突破解題經(jīng)驗(yàn)束縛

審題是學(xué)生獲取條件信息的重要途徑，也是初步形成解題思路的金鑰匙. 2022年版的新課標(biāo)再次強(qiáng)調(diào)了要注重對(duì)學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng)，要關(guān)注學(xué)生審題能力的發(fā)展. 事實(shí)證明，學(xué)生的數(shù)學(xué)審題能力在很大程度上決定了解題能力的強(qiáng)弱. 當(dāng)學(xué)生面臨一道題時(shí)，首當(dāng)其沖就是讀題審題，因?yàn)閱栴}呈現(xiàn)的方式具有多樣性，那么在審題時(shí)就要從多方面著手，如從題型上來說，存在全貌與留有空缺的情況，也有辨析正誤或說明理由的，還有先總結(jié)再分類的，等等. 因此，我們應(yīng)注重對(duì)學(xué)生審題的引導(dǎo).

若說審題考驗(yàn)的是學(xué)生的細(xì)致程度，那么解題則是考驗(yàn)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、解題經(jīng)驗(yàn)與習(xí)慣等. 解題經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生在解題實(shí)踐中逐漸形成的知識(shí)與技能，對(duì)解題具有直接影響. 如本題，學(xué)生根據(jù)以往的解題經(jīng)驗(yàn)，第一步想到的是怎樣應(yīng)用“△ABC的面積”這個(gè)條件，當(dāng)發(fā)現(xiàn)無法直接應(yīng)用時(shí)，自然而然地想到了割補(bǔ)法.

從學(xué)生的解題思路來看，他們目標(biāo)明確，就是奔著問題的結(jié)論而去，但正是這種解題經(jīng)驗(yàn)的束縛，導(dǎo)致不少學(xué)生直接無視了題設(shè)條件中的“平行”. 因此，注重審題效率，突破解題經(jīng)驗(yàn)的束縛是有效提升解題效率的基礎(chǔ).

2. 尊重個(gè)體差異，適當(dāng)時(shí)機(jī)加以引導(dǎo)

受智力與非智力因素的綜合影響，每個(gè)學(xué)生都有獨(dú)特的個(gè)性特征與思維方式，對(duì)同一個(gè)問題的理解難免存在差異. 作為教師，應(yīng)尊重學(xué)生的個(gè)體差異性，允許學(xué)生呈現(xiàn)出個(gè)性化的解題思路與方法，這是促進(jìn)課堂動(dòng)態(tài)生成的關(guān)鍵.

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要將學(xué)生放在課堂的首位，教師需做好組織與引導(dǎo)工作. 在以學(xué)生為主體的課堂背景下，教師的主要作用在于引導(dǎo)、點(diǎn)撥與啟發(fā). 本節(jié)課中，教師順應(yīng)學(xué)生的思維特征，將典型的解題方法展示出來一一分析，且沒有提出解法的“對(duì)錯(cuò)”與“好壞”，而是通過加強(qiáng)溝通與交流的方式，充分了解學(xué)生的想法，適當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)撥，讓每個(gè)學(xué)生自主辨析不同解法的利弊，促使每個(gè)學(xué)生都自然而然地趨向于最簡解法.

3. 緊扣知識(shí)本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)家希爾伯特提出：數(shù)學(xué)寶藏是無窮盡的，當(dāng)解決了一個(gè)問題后，會(huì)有更多新的問題崛起. 當(dāng)學(xué)生解決了一個(gè)優(yōu)秀的問題之后，必然會(huì)引發(fā)新的思考，這是拓展教學(xué)的核心. 因此，教師所提出的每一個(gè)問題都是精挑細(xì)選而非盲目提供的. 想要從真正意義上掌握解題技巧，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最好的方式就是緊扣問題的本質(zhì).

沒有一個(gè)數(shù)學(xué)問題是孤立的. 想要發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)，就要在嚴(yán)謹(jǐn)審題的基礎(chǔ)上，挖掘問題的線索，不論是知識(shí)點(diǎn)上的明線，還是思想方法上的暗線，都是輔助解題的關(guān)鍵. 本題的解題，大部分學(xué)生都直奔結(jié)論而去，完全忽略了本題的本質(zhì)為“平行”這個(gè)條件. 一旦看清這個(gè)本質(zhì)，那么解題就會(huì)變得簡捷明了.

總之，對(duì)于同一道題，從不同的角度去分析與思考會(huì)呈現(xiàn)出不同的解法，根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)想到的解法未必是最簡捷的. 因此，追求自然極簡解法的關(guān)鍵在于捕捉問題本質(zhì)，充分利用好題設(shè)條件，這也是提升解題能力，發(fā)展核心素養(yǎng)的基本途徑.