高考數學跨學科情境試題分析與啟示

摘要：數學與其他相關學科知識間的跨學科適度融合，有利于學生綜合素質的發展。新版高中數學教材加大了數學與生活以及跨學科情景內容的設置，近幾年的高考數學試卷也加強了跨學科情景試題的設計。這類試題具有情境新穎、字數多、圖文并茂等特點。通過對近五年高考數學跨學科情境試題進行梳理與評析，在教學中應嘗試新題型，發現和應用教材中的跨學科情境，重視學生情境發現能力的培養，提升學生數學核心素養。

關鍵詞：高考數學；跨學科情境；核心素養

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-4289（2024）04-0011-06

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在“課程理念”中指出，高中數學課程應“強調數學與生活以及其他學科的聯系”。縱觀近幾年的高考試題，不論是全國統一命制的試卷，還是分省命制的試卷，均呈現出“無價值，不入題；無思維，不命題；無情境，不成題”的典型特征，這是高考評價體系在高考命題實踐中的具體表現。高中數學教材加大了跨學科情境內容的設置，近幾年的高考數學試卷也加強了跨學科情境試題的設計。本文對近五年高考數學跨學科情境試題進行梳理與評析，為廣大數學教育工作者開展教育教學和命題研究提供參考。

一、2019-2023年數學跨學科情境試題的統計與分析

本文利用3個表格分析了高考考試學科、高中考核性學科和延展性學科的相關內容作為情境融入高考數學中的情況（表1、表2、表3）。需要強調的是，對于每道題目考查的核心素養，是筆者根據理解分析的，不一定完全正確，只能作為參考?？梢园l現以物理、體育、醫學為背景的偏多。其中，物理連續3年出現衛星相關情境，強調我國航天事業取得的舉世矚目的成就；體育關注在各項運動上，引導學生加強身體鍛煉，關注我國體育事業的成就；醫學上多與流行病、疫情、新藥等相關，結合這些年的新冠疫情，體現時代主題。

二、高考數學跨學科情境試題呈現的特點

（一）情境新穎、字數多

知識面不廣、閱讀量不夠、閱讀速度跟不上、理解提取關鍵信息能力不足的學生在這類試題上很難得分。例如2019年全國Ⅱ卷理科第4題，題目有225個字符，閱讀量較大。

例1 （2019年全國Ⅱ卷理科第4題）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通信聯系。為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，“鵲橋”沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行。L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上。設地球質量M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：[M1/（R+r）2]+M2/r2=（R+r）M1/R3。設α=r/R，由于α的值很小，因此在近似計算中3α3+3α4+α5/（1+α）2≈3α3，則r的近似值為（ ）。

評析：本題以2019年國內十大科技新聞之一的“嫦娥四號成功發射”為背景，巧妙地考查了方程近似的思想。涉及物理中的牛頓運動定律與萬有引力定律，讓學生真實感受數學計算在科學研究中的作用，有利于促進學生關注國家航天事業的發展，拓展學科視野，關注國家科技進步和增強民族自信心與自豪感等。

從素養的角度看，本題考查消元思想、恒等變形能力和計算能力。放在第4題的位置，意在考驗考生的心理素質和應試心態，如果學生閱讀能力欠缺，不能提取牛頓運動定律和萬有引力定律等有效信息，則無法完成此題，影響做后面題的心態。

（二）文字符號、圖形表格、圖文并茂等形式呈現

圖文并茂的試題占主體，要求學生審題時既要能準確讀取圖表的數據信息，又要能快速識別圖形的位置關系，還要能實現自然語言、圖形語言、符號語言的相互轉化。例如2021年北京卷理科第8題就是典型的文字、表格、圖形多種語言集一體的題目，考查考生是否會用數學的眼光觀察現實世界，是否會用數學的思維思考現實世界，是否會用數學的語言表達現實世界。

例2 （2021年北京卷理科第8題）某一時間段內，從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：mm）。24h降雨量的等級劃分如表1所示。

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm、高為30mm的圓錐形雨量器。若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖1所示），則這24h降雨量的等級是（ ）。

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨

解：由題意可知，“積水”部分圓錐的底面半徑為50mm，所以“積水”的體積為1／3×（π×502）×150=125000π（mm3），則這24h內降雨量在平地上的積水厚度為125000π/π×1002=12.5（mm），12.5∈[10，25），因此這24h降雨的等級為“中雨”。

評析：以學生實踐活動為背景，通過自制雨量器收集雨水，根據地理知識判斷降雨等級，將科學實踐與數學學科有機結合，體現數學的應用價值。另外，該題材也與我國《數學九章》的“天池盆測雨”的背景有關，通過“以史育人”達到“以文化人”的目的。如何從圖表中提取信息，轉化為數學的符號語言是解題的關鍵。

（三）試題出現真實實物圖片

有些情境題只有真實實物圖片，沒有抽象出數學圖形，如果學生數學抽象能力、空間想象能力不足，不能從實物圖片中抽象出數學圖形，就會導致無法解答此類題目。例如2022年天津卷第8題只有一座房子，需要學生抽象出兩個直三棱柱重疊的圖形。再如2020年全國新高考卷Ⅰ（山東）第4題只有日晷的實物圖，需要學生正確理解題意作出赤道和緯度的截面圖，并找到晷針與點A處的水平面所成角和點A處的緯度關系。

例3 （2022年天津卷第8題）如圖2，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120°、腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）。

A.23 B.24 C.26 D.27

評析：通過兩個直三棱柱重疊考查幾何體的體積，命題方式新穎獨特，又不失對幾何體基礎計算的考查。作出幾何體直觀圖3，由題意結合幾何體體積公式即可得組合體的體積?？鐚W科情境試題真實客觀地描述現實世界，在呈現上有文字、表格、實物圖等。課標要求“三會”，用數學的眼光觀察現實世界是基礎，學生在進行數學思考和表達之前首先得讀懂題目。

三、高考數學跨學科情境試題的作用

（一）教學和學習指導中應重視學科融合

現實生活問題往往不是單純的數學問題，而是綜合性問題。因此，教師在平時的教學中要重視問題中出現各學科情境時的講解，要分析情境背景，關注情感態度和價值觀的引導等。這就要求教師應該具備一些其他學科的基礎知識，關心時代主題，注重數學的應用，重視數學原理等，提升教師自身的“三會”“四能”。以2021年全國Ⅱ卷理科第21題為例，其取材于生命科學中微生物群體繁殖的問題，體現了概率在生命科學中的重要應用，并通過期望值，去研究生物繁殖與最終消亡的實際意義，完美地展現了數學學科的實用性。

例4（2021年全國Ⅱ卷理科第21題）一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P（X=i）=p。（i=0，1，2，3）。

（Ⅰ）已知p0＝0.4，pi=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）;

（Ⅱ）設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：pO+p1X+p2X2=X的一個最小正實根，求證：當E（X）≤1時，p=1，當E（X）gt;1時，p＜1；

（Ⅲ）根據你的理解說明（Ⅱ）問結論的實際含義。

在講解高考數學跨學科情境試題前，教師應該讓學生查閱相關背景知識，梳理各學科可能用到的知識點，可多樣化形式呈現，如概念圖、樹狀圖或對知識的精要進行濃縮與提煉等。通過學生自身分析、學生與學生之間分析、教師與學生共同分析等方式，理清題干與知識點的關系，尋求破題思路與解題方法。教師要注重設計評價、學生的反思、跟蹤訓練、及時反饋等環節。

學生在學習活動過程中，既要分科學習，把各學科基礎知識、基本技能掌握扎實，又需要跨學科融合，發展學生綜合能力、創新能力。學生能夠借助直觀想象等建立數學與其他學科的聯系，能夠合理地運用數學語言和思維進行跨學科的表達與交流。數學建模是數學學科的六大核心素養之一。與此同時，“建模、模型認知、模型建構、模型優化”也呈現在物理、化學、生物、信息技術、通用技術、美術等學科的核心素養當中，這些學科核心素養所涉及的建模、模型認知和模型建構等是數學建模在不同學科情境下的具體應用，體現了數學建模在跨學科教學體系中的紐帶和橋梁作用。

數學與其他相關學科知識間的跨學科適度融合問題具有非常好的閱讀性、趣味性、交匯性、創新性、應用性，能很好地考查學生的全面知識與能力，具有較好的選拔性與區分度，是高考數學試卷命題的趨勢。跨學科高考數學情境化試題既能引導學生用數學知識解決其他學科的問題，又能利用其他學科的知識、方法、思維促進數學知識的理解，拓展數學解題的方法，甚至是用多學科的思維解決綜合問題，它是一個數學與其他學科雙向互動甚至多向轉換的研究鄰域、思維系統。

（二）強調數學的應用性

高考數學跨學科情境化試題還具有教育意義，彰顯數學的應用價值，引導學生了解其他學科的前沿知識，形成正確的人生觀、價值觀、世界觀。以各個學科為背景，體現數學可應用到生活的方方面面，讓學生相信數學是自然科學的基礎。例如，如下的高考題目以新冠病毒的“10合1”與“5合1”核酸檢測技術為背景，讓學生體會數學知識在大規模排查新冠病毒感染者的實際問題中的應用，節省了大量的人力、物力、時間，為病人爭取到最大的救治機會，彰顯數學的應用價值，激發學生學習數學的興趣，養成在日常生活中應用數學知識的習慣。

例5（2021年北京卷理科第18題）在核酸檢測中，“K合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測，如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束；如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測，得到每人的檢測結果，檢測結束。現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確。

（Ⅰ）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測。（?。┤绻腥拘鹿诓《镜?人在同一組，求檢測的總次數；（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為1/11。設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E（X）。

（Ⅱ）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測。設是檢測的總次數，試判斷數學期望E（Y）與（1）中E（X）的大小。（結論不要求證明）

再如，如下的高考題主要考查三角函數在實際中的應用，把陰影部分合理分割是求解的關鍵，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個單位圓的面積求得。以制作零件的截面圖為背景，在幾何圖形的面積中滲透美育和勞動觀念，體現了堅持立德樹人的全面育人方針。

例6 （2020年山東卷理科第15題）某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖4所示。O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，4是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為G，tan∠ODC=3/5，BH∥DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為____cm2。

總之，跨學科情境試題能彰顯數學的有用性，弘揚數學文化，讓學生全方位、多角度學習數學，能發展學生必備品格和關鍵能力。跨學科情境試題還能提高學生閱讀能力，加快閱讀速度，提升提取關鍵信息能力、快速識別圖形表格能力等。對于這類試題的講解，讓學生在教師的引導下，通過積極思考、交流、表達獲得學習體驗，促進數學核心素養的提升；在教學活動中，通過有效預設、生成、反思獲得教學經驗，促進數學教學素養的提升。啟示

四、高考數學跨學科情境試題對教學的

（一）嘗試新題型

嘗試開發新型數學試題，如仿照物理、化學實驗探究題開發具有數學文化內涵的數學實驗題，發展學生的邏輯思維；仿照語文作文開發閱讀寫作題，增強學生的數學表達能力；仿照歷史與政治的判斷與分析題、材料解析題開發辨析論述題，培養學生的批判性思維；緊密聯系美術加強識圖作圖題，培養學生的動手能力等，切實體現學科融合的整體，發展學生的創新意識、應變能力，提升數學核心素養。

（二）發現和應用教材中跨學科情境

立足狠抓基礎、回歸教材，數學課本非常重視數學與生活以及其他學科的聯系。如人教A版必修第二冊6.4.2向量在物理中的應用舉例；人教A版必修第二冊9.3統計案例某公司員工的肥胖情況調查分析；人教A版選修2—2中1.4生活中的優化問題舉例，不僅重視正文，還重視教材中“章引言、動手操作、閱讀與思考、探究與發現”等環節；人教A版選擇性必修第一冊140頁閱讀與思考環節，闡述圓錐曲線的光學性質及其應用就是數學與物理的跨學科融合；人教A版選擇性必修第一冊116頁信息技術應用環節，是數學與信息技術的跨學科融合等。

不少章節的章引言簡單介紹了本章的內容、地位和功能，從生活的淺人口或學生可以理解的例子人手。同時，從數學文化的角度揭示了與本章內容相關的人文背景、數學應用價值以及基本的數學思想和方法。從知識點層面，數學與物理在三角函數處聯系緊密；數學與生物在排列組合處聯系密切；地理的經度其實是幾何體球（地球）上的二面角，緯度是球上的線面角；最簡單的七個數字1234567的不同組合，產生了世界上最美妙的音樂，讓人不能不驚訝于二者的相通；畫家埃舍爾憑借數學機器般的大腦用幾何圖形繪出的意味濃厚的黑白畫等。教師應該應用好這些素材，在教學實踐中注重學科融合，讓學生了解數學的有用性，從中感悟到數學與其他學科之間、數學文化與高中相關數學知識之間的密切聯系。

（三）重視學生情境發現能力的培養

數學教師加強與其他學科教師間的合作交流，多開展跨學科的教研活動；多開辦綜合性社團，舉行綜合性的大型活動．創建跨學科試題的多樣化評價體系；在課堂教學與日常學習的過程中，有意識地關注現實熱點和生產生活實踐。如重大現實問題與關鍵歷史事件情境，生產生活實踐與經濟社會發展情境，科學探究、實驗探索與科學前沿情境，文化傳統與學科史料情境等，便于做題時不陌生，增強自信心；訓練跨學科高考數學情境化試題，閱讀材料，認真審題，挖掘有用的信息，還原高考母題的潛能。還需加強應用性問題、創新性問題、滲透數學文化試題的訓練；理解題目內涵，結合數學概念、定義、公式的應用來建立起與之對應的有效的數學模型，轉化為解決相關的數學問題，注重通性通法，進而達到解決問題的目的，提升學生數學核心素養。

基金項目：貴州省民族專項課題“三教理念下培養高中生數學核心素養案例研究”（MJ23040）和“高中數學‘問題導學’的教學實踐研究”（MJ22077）階段性成果；貴州省教育科學規劃項目（20228057）；黔南民族師范學院研究生質量工程項目（23yjsz1029）階段性研究成果。