中國與加拿大初中數學教材“圓”內容比較研究

【摘要】“圓”作為初中階段圖形與幾何領域的必學內容，一直是教師教學的重點和難點.選取中國和加拿大教材中“圓”幾何學單元作為研究對象，分別從內容結構、呈現方式、題目設置和信息技術四個維度對其進行比較.基于研究結果，為我國教材建設提供可行性建議.

【關鍵詞】比較研究；初中數學；教材研究；圓

1問題提出

縱觀百年課改歷史，傳統的教學內容以精簡為主，我國上一輪課改也對平面幾何課程動了大手術，必學的內容越來越少；作為義務教育階段必學的“圓”，一些看上去稍有難度的內容甚至干脆刪除[1].然而，從國際視角來看，很多國家都非常重視學生對于“圓”內容的學習，如日本、韓國和美國對于內容所呈現的定理對應的幾何思維水平要求比中國更高[2-3].通過對比不同國家的數學教材，可以讓我們學習其他國家教材的優點，從而完善我們的教材，讓其變得更好被接受和理解.

加拿大對教育事業的發展高度重視，基礎教育改革呈現出獨特的風格.由于各省之間教育體系的差別，加拿大沒有全國統一的教材，相比而言，Math Makes Sense 這版教材的使用范圍相對較廣，能夠滿足不同學生的需求[4].本文選取的是Math Makes Sense的G9第8單元“圓幾何學”（以下簡記為加拿大教材）和我國人民教育出版社教科書數學九年級上冊第二十四章“圓”（以下簡記為人教版教材）進行比較研究，以期對我國的“圓”內容改革有所啟示.

2內容結構比較

將兩國教材中“圓”內容的章節目錄進行比較，結果如表1所示.

從表1中可以看出：

第1，從章節安排來看，兩國教材在內容設置的順序上有所不同.人教版的順序是從圓的概念入手，探究圓的性質、圓中有關的角、點與圓、直線與圓、圓與正多邊形之間的位置和數量關系，側重于“圓”知識學習的完整性和系統性，重視圖形的性質、圖形的變化和圖形的證明的有機結合.加拿大教材的順序是探究圓的切線、弦和角的性質，側重于圖形性質的探索過程，重視直觀感知、操作實驗和邏輯推理的有機結合.

第2，從教學內容安排來看，加拿大教材中“圓”的內容更加詳細.據統計，“圓”內容的對應篇幅數，人教版47頁，加拿大教材40頁；知識點數，人教版37個，加拿大教材32個.兩國教材篇幅相差不大，相比加拿大教材，人教版雖在內容上新增了圓與多邊形的關系（扇形和弧長知識點加拿大在G8第八單元已經介紹過），但加拿大教材在垂徑定理的推論、弦切角、圓周角與圓外角的關系等知識點上均深入介紹過.相比之下，我國教材雖然涉及知識點更多，但沒有加拿大教材呈現的詳細和深入.

3呈現方式比較

3.1總體結構呈現方式比較

人教版“圓”內容總體結構的呈現方式是：章前言→各節知識內容→本節習題→閱讀思考→數學活動→本章小結→本章復習題.其中每小節的知識呈現按照“探究→知識講解→例題教學→練習”的方式展開.新知識的呈現多以設問的形式導出，并且在每一個知識呈現后會有嚴謹的邏輯推理，使推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結論后的自然延續，展現思維過程.符合《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的“讓學生經歷歸納、概括事物本質的過程，獲得數學概念等研究對象”[5]的相關要求.

加拿大教材的知識呈現結構有所不同.其整體的結構呈現方式是：本章目標→關鍵詞→各節知識內容→幾何軟件操作驗證→章節期中測試→學習指南→章末復習.每小節呈現方式較為固定，通常為：每節目標呈現→操作探究→反思和小組分享→知識呈現→例題教學→討論思考→本節練習→本節回顧.在例題教學中配有詳細的解答過程和所運用的知識點，考慮到了所有學生的學習需要；在每道練習題之后會有設問“你用到了哪些圓的性質解決問題？”相當于對之前問題的回顧與反思.

相比較而言，人教版在知識講解上遵循先思考探究再推理證明的過程，重視研究方法的引導，使學生在熟悉“規范證明”的基礎上，推理論證能力有所提高和發展.加拿大教材則淡化了定理證明的內容，在歷經動手操作和測量后，開門見山式地給出概念、性質或定理.

從“圓”知識總體呈現方式來看，人教版主要按照“圓中弦的性質→角的性質→切線的性質”的順序編排；加拿大教材則是以“切線的性質→弦的性質→角的性質”展開，可以發現兩種教材在圓相關性質的呈現方式是相反的.

3.2相同內容呈現方式比較

（1）垂徑定理

兩國教材在垂徑定理的導入有相似之處，均鼓勵學生通過折疊圓形紙片發現圓的對稱性，結合圓的對稱性發現垂徑定理及其推論.但在知識呈現的形式上兩國教材有明顯區別.人教版通過嚴謹的幾何證明得到了垂徑定理的內容“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧”進一步得到垂徑定理的推論.但通過進一步的探索會發現，垂直于弦的線段不一定非得是直徑，只需要一條經過圓心的線段垂直于弦即可得到垂徑定理的相關結論.這一點在教材上沒有明確地說明，但在例題教學中呈現了一般情況，需要教師進一步做解釋和說明.相比之下，加拿大教材的呈現方式更加直觀.如圖1，其在講解垂徑定理條件時運用的文字是“過圓心垂直于弦的線段”并且以圖例，文字說明和數學語言的推理過程解釋垂徑定理及其推論.

在垂徑定理的例題教學部分，兩國教材均從不同的角度引導學生理解和運用垂徑定理.人教版以計算趙州橋的半徑為例讓學生在實際背景中結合垂徑定理和勾股定理解決求值問題.加拿大教材則是提供了三個例子，分別是在三角形中求角度、結合勾股定理求長度和運用弦的性質求出水面最深處的實際問題.兩國教材在例題教學部分均展示了詳細的解答過程，幫助學生理解垂徑定理的運用.

（2）切線的性質

在呈現切線的性質時兩國教材有著異曲同工之妙.均規避了對于學生而言較為困難嚴謹的幾何證明過程，加拿大教材通過讓學生自己測量切線和過切點的半徑形成的角度得到結論“圓的切線垂直于過切點的半徑”.人教版則運用切線的判定定理引導學生思考切線與過切點的半徑的位置關系，直接給出了切線的性質定理，不要求學生掌握反證法的證明方法.與人教版不同之處在于，加拿大教材在介紹完切線的性質后，羅列了三個對應例題.讓筆者眼前一亮的是題目呈現了兩條切線并要求學生尋找圓心的位置，既考查了切線性質的運用，同時訓練了學生尺規作圖的能力，如圖2.

（3）圓周角定理

加拿大教材在圓周角定理的證明上比較簡單，通過讓學生測量同弧所對的圓周角和圓心角的關系后得到同弧所對圓周角和圓心角的關系.并且教材所展示圖例也很單一，僅考慮了圓心在圓周角內部的這一種情況.人教版非常重視圓周角定理的證明，教材運用了完全歸納法來證明圓周角定理.以圓上任意一點為頂點的圓周角雖然有無數多個，但它們與圓心的位置關系歸納起來只有三種情況：圓心在角的一邊上；圓心在角的內部；圓心在角的外部.因此，圓周角定理的證明有三種情況，如圖3.這樣的安排有利于讓學生理解分類證明的必要性，進一步培養其推理論證的能力.

4題目設置比較

4.1題目數量比較

人教版“圓”部分的題目分四種類型：例題、練習、每小節對應的習題和章末的復習題.其中習題和章末復習題分為三個層次：復習鞏固、綜合運用和拓廣探索.加拿大教材“圓”部分的題目共有四種類型：例題、練習、章節期中復習題和章末復習題.此外，在加拿大教材的練習中會引入新的知識點，例如切線長定理、圓內接四邊形對角互補、弦切角等內容均在練習部分加以說明，而未在正文展示.這就解釋了為什么在目錄中加拿大教材僅有三節內容，但在篇幅和知識點數量上卻與人教版相差不大的情況.因此，加拿大教材的練習不僅僅是鞏固知識，還承載著拓展新知識點的功能.兩國“圓”部分題目數量比較見表2，括號中的百分比表示該部分題在總題目數量中所占的比例.

從表2可以看出，兩國教材在例題部分占比旗鼓相當，說明兩者對于示范教學的重視程度相近.加拿大教材在練習題部分的比重明顯多于人教版，說明其更加重視對知識點的及時訓練和鞏固.但在復習題部分，加拿大教材卻是望塵莫及，反映出人教版更強調課后的鞏固復習，這也許和中國實行雙基教育有著悠久的歷史有關.與人教版有所不同的是，加拿大教材還包含了章節期中復習題，這說明其重視對學生階段學習的檢測.

4.2題目難度比較

在習題難度比較方面，借鑒吳立寶等對習題難度的刻畫方式[6]對比兩國教材“圓”章節習題的難度.習題難度N從要求水平（YQ）、知識點個數（ZS）、習題背景（BJ）三個方面進行刻畫，權重分別取0.38，0.36和0.26.

1.要求水平

根據圓內容部分特點，將習題要求水平分為模仿、理解、運用、探究，分別賦值1，2，3，4.兩個版本教科書圓習題要求水平情況如表3.

2.知識點個數

知識點個數分為含1個知識點、含2個知識點、含3個知識點、含4個知識點以及以上四級，分別賦值1，2，3，4.兩國教材“圓”習題包含知識點個數情況見表4.

3.習題背景

習題背景主要分為無背景、個人生活背景、公共常識背景、科學背景四級，分別賦值1，2，3，4.兩國教材“圓”習題背景情況如表5.

4.習題難度

將兩個版本“圓”習題在要求水平、知識點個數和習題背景三個維度的結果進行匯總，情況見表6.

5信息技術使用的比較

加拿大教材十分關注信息技術的運用.在“圓”章節中有4頁篇幅的內容在詳細說明如何用幾何軟件驗證所學知識.在學習完切線性質和垂徑定理后，教材安排了章節的第一次信息技術的詳細學習.內容設置類似軟件的使用說明書，教學生分7步驗證切線的性質；再分6步驗證垂徑定理，學生可以獨立地按照步驟自己進行軟件操作.第二次信息技術的細致學習被安排在學習完圓周角定理之后，構造的圓周角情況十分周全，教學生拖動動點位置不僅可以在劣弧上，同時也在優弧上運動，嚴謹地驗證了圓周角定理.

加拿大教材在“圓”章節中共有12處運用了信息技術，其中包括用動態幾何軟件驗證定理，用圖形計算器計算例題中的線段長度.在專欄“我如何學好數學”中，詳細說明了運用幾何軟件和計算器研究數學的優勢，便于直觀理解.

相比之下，人教版在“圓”章節僅有兩處提及了信息技術的運用.一處是在圓周角定理的證明時，提示學生可以用計算機軟件度量圓周角和圓心角，鼓勵有條件的同學嘗試.另一處是在研究直線和圓的位置關系時，說明可以利用信息技術工具研究直線和圓的位置關系.但兩處都只是簡單的敘述，沒有具體的操作步驟.相比我國教材，加拿大教材在很多地方均使用了信息技術.我國教材中的信息技術形同虛設，教師在教學中也不夠重視[7].

6對我國教材建設的啟示

6.1適當調整教材結構，豐富欄目設計

學習“圓”章節不僅要研究圓中的基本要素，還要探索與圓有關的性質，故而其本身內容十分豐富，并且學習“圓”的內容時經常要用到前面學過的幾何知識.因此“圓”章節綜合性很強，是老師教學和學生學習的重點和難點.人教版的呈現方式是以問題思考為引子，歷經操作探究和幾何證明后習得定理和性質，再運用知識完成例題和習題，然而卻缺乏了引導學生自我反思和內化知識的過程.相比之下，加拿大教材在每小節之后增設了反思的欄目，引導學生畫思維導圖，或以文字梳理的方式回顧本節內容和知識.反思欄目會讓學生舉生活中的實例來說明定理和性質，或者舉一些社會話題讓學生感知圓有關的性質在生活中的運用.如在8.1切線的性質末尾，加拿大教材聯系奧運五環的位置關系增強學生對性質的理解.

為了加強圓知識間的聯系與綜合，兩國教材均設置了章末小結.我國教材的章末小結以知識結構圖和六個問題總結本章內容；而加拿大教材則將本章涉及的所有定理和性質以“圖示+文字”的方式回顧本章內容.兩種方式都可以有效地將本章內容聯系起來，形成知識網.此外加拿大教材還增設了學習指南的欄目，介紹了學習圓相關知識的三種策略：可以通過動手操作、信息技術和嚴謹的幾何證明學習相關的性質和定理.這也正是研究平面幾何圖形的一般規律即歷經直觀感知、操作實驗和邏輯推理最終探索得到知識.我國教材的編寫可以借鑒這種方式，增設一些新的欄目，幫助讀者掌握研究的一般規律，從圓這個特殊的幾何圖形到所有的圖形，達到“窺一斑而知全豹”的效果.

6.2突出圓的核心概念，把握性質之間的內在關聯

圓的核心概念，包括圓的定義，以及弧、弦、圓周角和圓心角的定義.這些核心概念是進一步研究圓與其他圖形位置關系和數量關系的主要依據.人教版教材就是按照這樣的順序進行編寫的，旨在學生認知螺旋式上升.但圓的定義在第一個小節“曇花一現”后便沒有再出現在讀者的視野中.“到一點距離為定長的點的集合”已經使用了集合的概念來說明圓的定義，涉及高中的集合思想，可以稍作展開加以講解.或者如加拿大教材的處理方式，將其與函數圖象結合，橫軸為時間，縱軸記為到一點的距離，在圖象上展示出來便是一條平行于x軸的直線.將其與函數圖象結合理解圓的定義也是很特別的方式.

另外，我國教材在介紹圓的切線判定和性質時，練習著重針對訓練學生判定圓的切線和利用切線的性質求值的能力，欠缺了與之前所學的圓其他性質的聯系.相比之下，加拿大教材在圓周角定理中安排了有關探究“弦切角”的練習，就很好地兼顧了切線性質和圓周角定理的運用.因此，我國教材在設置章節后期內容時應該考慮到圓的整體性質的銜接，嘗試將之前所學的圓心角、圓周角和弦的性質與切線的性質結合，把握圓的性質之間的內在關聯.

6.3優化習題要求水平，注重習題的背景多樣化

人教版的例題和習題緊扣本章內容，強調對知識點的反復練習和強化.其中模仿和運用層級的習題最多，缺乏探究層級的練習，不利于培養學生獨立思考探究的能力.因為學生對定理和性質的理解僅僅停留在模擬教材的例題以及在模仿的基礎上辨別知識點的運用，當學生在解決新情境下圓與其他知識的綜合問題時，缺乏分析問題的能力，缺乏將未知轉化為已知的思考.加拿大教材則側重培養學生在新的情境中分析和解決問題的能力，習題設置豐富多彩，強調圓各種性質的運用.其將圓與函數、圓與四邊形、圓與三角形相似結合創設不同的情境，引導學生用不止一種方法解決問題，開拓學生思維.因此，我國教材可以將圓置于圖形與幾何這個更大的單元中加以思考，不僅能將圓內部的知識打通形成網絡，也可以在習題部分融入其他幾何圖形和性質的運用，強調變式訓練，促進學生從不同角度理解知識，增強知識運用的靈活性，并構建起結構更合理的的知識網絡.

在習題背景方面，我國教材中習題略顯背景單一，“圓”章節習題中半數以上的題目均為無背景的純數學計算，蘊含背景的習題也多為個人生活和公共常識.其中個人生活背景題目占比為10.42%，題目涉及學生體育課跑圈問題、校園綠化帶美化問題等，主要圍繞學生校園生活展開，背景略顯單一.建議適當增加我國教材習題背景的多樣化，進一步加強圓與現實生活、數學知識和其他學科之間的聯系.加拿大教材中科學背景習題占比為11.25%，涉及歷史學、航天科學、社會研究等方面豐富的背景，使得教材更加貼近生活實際，增強學生運用圓的知識解決現實生活及其他學科問題的意識和能力.

6.4加強現代信息技術的合理使用，在動態變化中發現圖形的性質

現代信息技術特別是計算機、計算器等對數學產生了不同程度的沖擊，許多國家已將其納入到數學教科書中，成為一種認知工具.根據學習內容的需求，選用合適的信息技術工具，充分利用它的運算作圖、展示過程、探究規律等功能，可以使學生能夠更好地認識數學的本質、探究數學問題.加拿大教材詳細介紹了動態幾何軟件和繪圖計算器的運用，讓圖形動起來，引導學生在動態變化過程中發現圓的相關性質，運用信息技術可以很方便地測量弦的長度和圓中的角度，有利于發現其中變與不變的位置關系和數量關系.同時在習題計算中，使用圖形計算器取代了繁瑣的計算，降低了解題時的重復性和機械性，大大提高了教學的效率.人教版僅有兩處以“小貼士”的方式提醒學生可以運用信息技術測量圓中角度和探究圓與直線的位置關系，但缺乏明確的指導，沒有可操作性.基于此，我國教材可以針對軟件和圖形計算器的使用加以介紹，并輔之具體的示范過程，方便學生在動態變化中發現圖形的性質.

參考文獻

[1]章建躍.“圓”的課程教材設計與教學[J].數學通報，2020，59（07）：1-7，34.

［2］蔡慶有，黃燕蘋，金美月，等.中日韓小學數學教材內容的對比研究[J].課程·教材·教法，2014，34（07）：114-120.

［3］秦梅，虞秀云.中美初中數學教材內容呈現的比較：以“圓的弧與弦的有關性質”為例[J].中學數學雜志，2016，（08）：27-31.

［4］何雙.中加小學數學教材中“圖形與幾何”的比較研究[D].武漢：華中師范大學，2021：37.

［5］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社.2022.

［6］吳立寶，王建波，曹一鳴.初中數學教科書習題國際比較研究[J].課程·教材·教法，2014，34（02）：112-117.

[7]吳駿，胡鵬艷，朱維宗，等.中國與新加坡高中數學教材復數內容比較研究[J].數學通報，2016，55（01）：12-16.

作者簡介沈愛桐（1997—），女，云南昆明人，碩士研究生;研究方向為數學教育研究.

楊亞平（1987—），女，云南大理人，博士，副教授，碩士生導師;研究方向為STEM教育和數學教育研究.