基于計(jì)數(shù)單位，感悟數(shù)的運(yùn)算一致性

摘 要：在運(yùn)算教學(xué)中，算理和算法一致性都離不開學(xué)生對運(yùn)算本質(zhì)上的一致性的體會(huì).本文以“小數(shù)乘整數(shù)”一課為例，通過巧妙的設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生對已有知識(shí)的回顧，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的欲望，在對比新舊知識(shí)之間的聯(lián)系中感悟運(yùn)算的一致性．

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)的運(yùn)算；一致性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中提出：“在初步認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中，理解小數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義，感悟計(jì)數(shù)單位.”［1］

“小數(shù)乘整數(shù)”是蘇教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)五年級上冊》中第五單元《小數(shù)乘法和除法》的起始課.學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前已經(jīng)掌握了小數(shù)的意義、整數(shù)乘法和小數(shù)加法計(jì)算的知識(shí).本節(jié)課開始之前，教師通過了解，知道學(xué)生在計(jì)算方法上對整數(shù)乘法和小數(shù)加法掌握得較為扎實(shí)，但是對于算理，還有很多學(xué)生不能理解.基于這樣的學(xué)情分析，筆者認(rèn)為本節(jié)課除了需要關(guān)注學(xué)生對小數(shù)乘法的算法掌握，更要關(guān)注他們對算理的理解和運(yùn)算一致性的體會(huì).因此，筆者確定了以下幾個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)：一是通過復(fù)習(xí)整數(shù)乘法的意義以及算理，經(jīng)歷將整數(shù)乘整數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)乘整數(shù)的過程，運(yùn)用計(jì)數(shù)單位來理解算理，感悟運(yùn)算的一致性；二是理解并掌握小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法，并會(huì)用豎式進(jìn)行計(jì)算；三是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的遷移、推理能力，在探索知識(shí)間的聯(lián)系中，滲透轉(zhuǎn)化思想；四是讓學(xué)生在探索小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算過程中，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性.下面是筆者設(shè)計(jì)的具體的教學(xué)實(shí)踐．

1 情境導(dǎo)入，類比發(fā)現(xiàn)

師：周末，老師去超市逛了逛，想到了以下幾個(gè)問題.第1個(gè)問題，

一袋面包8元，3袋需要多少元？

生：8×3=24元.

師：這里的8×3表示什么意思呢？

生：3袋面包的價(jià)錢，就是3個(gè)8相加．

師：非常棒.也就是說乘法表示幾個(gè)幾相加．

師：第2個(gè)問題，一桶消毒液80元，3桶需要多少元？

生：80×3=240元.

師：你是怎樣算出240的？

生：先算8×3=24，再在24的后面添上一個(gè)0．

師：為什么要添上一個(gè)0？

生：這里的8表示8個(gè)十，8個(gè)十乘3等于24個(gè)十，也就是240 ．

師：第3個(gè)問題，一臺(tái)洗衣機(jī)800元，3臺(tái)需要多少元？算式是什么？你又是怎么算的呢？

生：800×3=2400元，先算8×3=24，再添上兩個(gè)0，因?yàn)檫@里的8表示8個(gè)百，乘3等于24個(gè)百．

師：這里的“十”“百”在我們數(shù)學(xué)上叫什么？

生：計(jì)數(shù)單位.

師：也就是說我們在算80×3、800×3都是先算什么？

生：8×3.

師：但是不同的是什么呢？

生：第2個(gè)問題的8是8個(gè)十，而第3個(gè)問題的8是8個(gè)百.

師：那么在算整數(shù)乘整數(shù)時(shí)，我們都可以先找出第一個(gè)乘數(shù)中有多少個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位，再乘數(shù)量，算出計(jì)數(shù)單位的總數(shù)，最后再寫出得數(shù)．

師：那8×3也可以用計(jì)數(shù)單位來說明嗎？

生： 8個(gè)1×3=24個(gè)1.

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)這種題組式的情境，將一位數(shù)乘一位數(shù)，整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)和整百數(shù)乘一位數(shù)的算法集體呈現(xiàn)，讓學(xué)生利用自己的已有經(jīng)驗(yàn)來解決實(shí)際問題.［2］教師引導(dǎo)學(xué)生從乘法的意義和計(jì)數(shù)單位累加的方法回顧整數(shù)乘法的算理，這樣就可以為本節(jié)課要學(xué)習(xí)的小數(shù)乘整數(shù)的算理做好鋪墊．

2 自主驗(yàn)證，說明算理

2.1 自主定向

師：以上是我們學(xué)習(xí)整數(shù)乘法的算法和算理，今天這節(jié)課我們一起研究小數(shù)乘整數(shù)，看到這個(gè)課題，同學(xué)們有什么問題嗎？

生1：小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法是什么？

生2：它的計(jì)算算理又是什么？

生3：它的算法和算理與整數(shù)乘法有什么聯(lián)系？

師：那么，我們就帶著這些問題進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)．

2.2 猜測驗(yàn)證，說明算理

師：大家夏天都喜歡吃西瓜，1千克西瓜0.8元，那么買3千克西瓜多少元？數(shù)量關(guān)系式是什么？算式是什么？

生1：數(shù)量關(guān)系式是單價(jià)×數(shù)量=總量.

生2：算式是0.8×3.

師：0.8×3是多少元？你是怎么計(jì)算的？

生1：0.8×3=2.4元，因?yàn)?×3=24，所以0.8×3=2.4.

生2：因?yàn)?個(gè)0.1×3等于24個(gè)0.1，也就是2.4，所以0.8×3=2.4.

師：你們都非常厲害，學(xué)會(huì)用舊知識(shí)類推新知識(shí)，這樣的學(xué)習(xí)方法在我們數(shù)學(xué)上非常重要.

那么這個(gè)結(jié)果是否正確，你們需要自己去探究，請根據(jù)探究合作單（如圖1）完成0.8×3的積.

探究合作單

想：0.8×3表示的意義是什么？

試：用自己已有的知識(shí)探究0.8×3，可以算一算、畫一畫……把你的想法都記錄下來．

說：把你的想法在小組里說一說．

生1： 0.8+0.8+0.8=2.4.

生2：0.8元=8角，8×3=24角，24角=2.4元，所以0.8×3=2.4元.

生3：豎式計(jì)算.

0.8

×3

2.4

→8（個(gè)0.1）

→×3

←24（個(gè)0.1）

【設(shè)計(jì)意圖】知識(shí)的新授部分是依靠教師通過情境導(dǎo)入.在猜測環(huán)節(jié)，學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、乘法的意義和數(shù)量關(guān)系，能夠列出小數(shù)乘整數(shù)的算式，并能根據(jù)課堂開始的復(fù)習(xí)類比猜測出0.8×3的結(jié)果.在這個(gè)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生初步感受到小數(shù)乘整數(shù)和整數(shù)乘法的意義相同，也初步體現(xiàn)了小數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法在算理和算法上的一致性.在驗(yàn)證環(huán)節(jié)，學(xué)生通過不同的表征方式，驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果.在這個(gè)環(huán)節(jié)中，通過多種計(jì)算結(jié)果的方法，將數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想滲透到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去，學(xué)生利用乘法與加法的聯(lián)系、單位換算等方式將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法來計(jì)算.在師生交流的過程中，學(xué)生理解小數(shù)乘整數(shù)也是計(jì)數(shù)單位累加的過程，再一次感悟運(yùn)算的一致性．

2.3 自主總結(jié)，明確算法

師：我們在計(jì)算0.8×3和2.35×3這兩個(gè)算式時(shí)，都是先看成什么數(shù)來算的？

生：都是將小數(shù)先看成整數(shù)，先利用整數(shù)乘法來計(jì)算，然后再根據(jù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)．

師：是的，我們在計(jì)算小數(shù)乘整數(shù)時(shí)，是將它看成整數(shù)乘法來計(jì)算．

師：那你能根據(jù)我們剛才學(xué)習(xí)的知識(shí)，解決下面這個(gè)問題嗎？

請你給下列豎式的得數(shù)點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)，并說明理由．

3.7

×5

46

×1.3

35

×0.24

學(xué)生獨(dú)立完成、匯報(bào).

師：仔細(xì)觀察乘法算式中乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)與積的小數(shù)位數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：不管小數(shù)在什么位置，只要乘數(shù)中只有一位小數(shù)，那么積就只有一位小數(shù)；如果乘數(shù)有兩位小數(shù)，積就有兩位小數(shù)．

師：也就是說乘數(shù)中有幾位小數(shù)，積就有幾位小數(shù)，

請同學(xué)們計(jì)算下面豎式的得數(shù).

35

×0.24

師：你有什么想說的？

生：積末尾的0可以省略．

師：根據(jù)小數(shù)的意義，小數(shù)末尾的0可以省略，也就是能化簡的要化簡．

【設(shè)計(jì)意圖】在計(jì)算教學(xué)中，算理和算法是構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ).教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)數(shù)單位來闡述算理，并進(jìn)一步提煉出計(jì)算的方法.這種教學(xué)方法不僅能夠增強(qiáng)學(xué)生的計(jì)算能力，還能培養(yǎng)他們的推理意識(shí).通過這樣的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和問題解決的能力將得到顯著的提升.

2.4 整體回顧，感悟運(yùn)算一致性

師：回想剛才學(xué)習(xí)的所有內(nèi)容，我們在計(jì)算整數(shù)乘法和小數(shù)乘整數(shù)時(shí)，它們有什么相同的地方？

生：它們都是求幾個(gè)幾相加的和.積的計(jì)數(shù)單位與乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位都是一樣的．

師：計(jì)數(shù)單位沒有發(fā)生變化，但是什么變了呢？

生：計(jì)數(shù)單位的總個(gè)數(shù)變了，8×3就是求“8個(gè)1”乘3，是24個(gè)1；0.8×3就是“8個(gè)0.1”乘3，是24個(gè)0.1；2.35×3就是“235個(gè)0.01”乘3，是705個(gè)0.01．

師：無論是整數(shù)乘法還是小數(shù)乘法，它們的乘法意義相同，都是求幾個(gè)幾相加的和，也就是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加．

【設(shè)計(jì)意圖】教師在課堂最后，利用情境引導(dǎo)學(xué)生回顧了整數(shù)乘法和小數(shù)乘整數(shù).在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，通過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)它們計(jì)算的算理是相同的，都是計(jì)數(shù)單位累加的過程.學(xué)生在參與驗(yàn)證的過程中，能夠明顯地感受到整數(shù)乘法和小數(shù)乘法運(yùn)算的一致性，加深對小數(shù)乘法的理解，也為六年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法做了很好的鋪墊．

3 鞏固練習(xí)，靈活運(yùn)用

師：你們已經(jīng)可以將今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容靈活運(yùn)用到練習(xí)中了.

習(xí)題1 根據(jù)148×23=3404，直接寫出下面各個(gè)算式的積．

①14.8×23=；②148×0.23=；③1.48×23=.

生：①的答案是340.4，②的答案是34.04，③的答案是34.04.

師：②和③答案為什么是一樣的？

生1：因?yàn)樗鼈儽硎镜挠?jì)數(shù)單位的總個(gè)數(shù)是相同的，都是3404個(gè)0.01.

生2：因?yàn)槌藬?shù)中有幾位小數(shù)，積就有幾位小數(shù)．

習(xí)題2 一種大豆，每千克可以榨油0.22千克，30千克可以榨油多少千克？

學(xué)生獨(dú)立完成并匯報(bào)，體會(huì)小數(shù)的末尾有0時(shí)需要化簡.

習(xí)題3 猜一猜：710×3，運(yùn)用計(jì)數(shù)單位，可以怎樣算？

生：根據(jù)今天學(xué)習(xí)的方法，可以這樣算，7個(gè)十分之一乘3等于21個(gè)十分之一，也就是2110.

師：你已經(jīng)學(xué)會(huì)基本的推理.有興趣的同學(xué)也可以課后查閱資料，來驗(yàn)證這位同學(xué)的想法是否正確.

【設(shè)計(jì)意圖】第1題主要考查學(xué)生對小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法和算理的掌握情況，發(fā)展學(xué)生的推理能力.第2題主要考查小數(shù)乘整十?dāng)?shù)積末尾有0時(shí)要化簡的情況.第3題主要是想根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生推理分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理，發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)．［3］

4 課后總結(jié)，暢談收獲

4.1 設(shè)計(jì)情境組，在解決問題中喚醒舊知

計(jì)算教學(xué)的課堂往往是比較枯燥的，為了提高學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)的熱情，教師以“逛超市”的情境來引入，將計(jì)算教學(xué)巧妙地滲透到問題解決中去.在解決“3袋面包需要多少元”“3桶消毒液需要多少元”和“3臺(tái)洗衣機(jī)需要多少元”這3個(gè)問題中，學(xué)生的既有知識(shí)得到了激活.這樣的設(shè)計(jì)不僅幫助學(xué)生回顧了整數(shù)乘法的意義、算法和算理，還為學(xué)生理解整數(shù)乘法和小數(shù)乘法之間的內(nèi)在聯(lián)系打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使學(xué)生能夠體會(huì)到運(yùn)算的一致性．

4.2 多元表征，在合作學(xué)習(xí)中理解算理

在計(jì)算教學(xué)中，教學(xué)的重點(diǎn)是理解算理、掌握算法.在理解算理的過程中，教師重點(diǎn)帶領(lǐng)學(xué)生理解和掌握0.8×3的算理和算法，并記錄探索的過程.教師組織學(xué)生進(jìn)行小組合作，經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—發(fā)現(xiàn)結(jié)論”的過程，共同探究多種表征方式解決問題.有的把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成小數(shù)加法，建立起小數(shù)加法與乘法的關(guān)系；有的利用單位換算將0.8元轉(zhuǎn)化成8角，運(yùn)用整數(shù)乘法解決小數(shù)乘法的問題，建立小數(shù)乘法與整數(shù)乘法的聯(lián)系；有的用說理的方法，在數(shù)形結(jié)合中感受計(jì)數(shù)單位的累加.這些不同的表征方式，讓學(xué)生的思維得到了顯現(xiàn)，并且最終都讓學(xué)生理解了算理，感悟計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的重要性.在匯報(bào)的過程中，學(xué)生也逐漸學(xué)會(huì)有條理的思考和表達(dá)，并理解小數(shù)乘整數(shù)的算理．

4.3 對比遷移，在分析中感悟運(yùn)算一致性

《課標(biāo)》中提出“感悟運(yùn)算一致性”的要求.由于小學(xué)的計(jì)算教學(xué)分散在不同的年級和單元中，教師在教學(xué)中要有整體建構(gòu)的意識(shí)，用貫通、發(fā)展的眼光去分析教材；要對教材的編排了然于胸，利用轉(zhuǎn)化、遷移、類比的思想建構(gòu)新舊知識(shí)的聯(lián)系，基于計(jì)數(shù)單位，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)的運(yùn)算的一致性.本節(jié)課，在學(xué)生理解算理、掌握一般算法后，教師還引入了六年級將要學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的問題，引發(fā)學(xué)生思考，同時(shí)提出“整數(shù)乘法、小數(shù)乘法和以后要學(xué)的分?jǐn)?shù)乘法在計(jì)算時(shí)有什么相同的地方”這樣的問題，引發(fā)學(xué)生聯(lián)系舊知、學(xué)習(xí)新知、猜測知識(shí)之間的關(guān)系，為學(xué)生搭建思維的階梯，幫助學(xué)生初步構(gòu)建知識(shí)體系，感受運(yùn)算一致性．［4］

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022．

［2］李勇惠.聚焦本質(zhì) 感悟運(yùn)算一致性——“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”教學(xué)實(shí)踐與思考［J］.教育實(shí)踐與研究（A），2024（5）：24-27．

［3］陳輝英.基于計(jì)數(shù)單位，感悟數(shù)概念的一致性——課標(biāo)修訂視角下“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)思考和實(shí)踐［J］.教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2024（5）：25-29.

［4］衡德翠.“一致性”視角下的運(yùn)算能力培養(yǎng)——“小數(shù)乘整數(shù)”磨課實(shí)踐與反思［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（22）：48-51.