對一道全國數學高考題的再推廣

摘 要：2015年全國高考數學Ⅱ卷第20題文理科均涉及橢圓中線段中點的問題，不同的試題隱藏著同樣的結論，深入鉆研試題會發現橢圓中一些重要的結論.文章基于雙曲線和橢圓“同源同流”，對雙曲線中相應的問題作進一步探究，發現了相類似的結論.

關鍵詞：高考題；推廣；橢圓；雙曲線；定值

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）36-0014-04

收稿日期：2024-09-25

作者簡介：董強（1985—），男，教育碩士，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

圓錐曲線中定值定點問題一直是高考試題考查的重要內容，也是圓錐曲線本質屬性的呈現.在某種意義上，這些重要的結論從其他層面反映了圓錐曲線的形成過程.如果圓錐曲線中的一些特征幾何量不受動點或動線的影響而有固定的值（或經過固定的點），那么這時圓錐曲線就產生了定值（定點）問題，這些定值（定點）問題往往能進行推廣.

5 結束語

圓錐曲線中定值（定點）問題是圓錐曲線很重要的屬性之一，具有一定的探索和研究價值.一般而言，處理圓錐曲線中的定值問題，可以從特殊情況入手，投石問路，先求出所涉及的定值，再證明這個定值與變量無關；或者從圓錐曲線的方程出發，結合圖形，直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值；對于圓錐曲線中定點問題的探究，也可以先從特殊情況入手，先探索找到這個定點，再將這個定點作為已知條件，代入方程證明與變量無關即可；在圓錐曲線與直線的綜合問題中，如果要探索直線過定點，則可以設直線的斜截式方程y=kx+t，或者直線方程x=ny+m，然后利用已知條件建立關于k，t或n，m的等量關系進行消元，最后借助直線系的思想找出定點.另外，在證明直線或曲線經過某一定點（定點坐標已知）時，可把要證明的結論當條件逆推回去，若得到使已知條件成立的結論，則證明了直線或曲線過定點.對于動曲線C（圓錐曲線、直線等）過定點的問題，可以引入參變量建立曲線C的方程，再根據其對參變量恒成立，令其系數等于零，最后得出定點.總之，很多圓錐曲線定值（定點）問題都是可以推廣的，對于由特例或特殊情況得到的定值或者定點，一般就是圓錐曲線隱含的定值或定點；對不易通過特殊情況入手的類型，可以直接進行消元、變形、化簡、運算等，結合圖形，就容易找到定值（定點），從而發現一些有用的結論.

參考文獻：

［1］ 董強.2015年全國高考數學理科Ⅱ卷第20題的推廣探究［J］.數理化學習（高中版），2016（01）：11-12.

［責任編輯：李 璟］