妙用數學思想巧解物理問題

摘 要：數學思想的應用不僅可以幫助我們理解和掌握物理知識，還能夠培養我們的邏輯思維和問題解決能力.文章就數學思想在高中物理教學中的應用進行探討，以幫助學生提高解題技巧.

關鍵詞：高中物理；數學思想；解題研究

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0075-03

《普通高中物理課程標準（2017版2020年修訂）》強調教師的教學“在使學生掌握基礎知識的同時，應關注物理學與數學之間的聯系，重視培養學生應用數學知識處理物理問題的能力，發揮數學工具在物理學發展過程中的作用”[1].物理中的數學思想是指，當我們在研究物理問題時所運用到的數學思維和方法，它要求我們將物理現象和問題轉化為數學模型，并利用數學語言和工具進行分析和推導，以獲得物體的運動規律和性質等相關信息[2].將數學思想融合至物理解題過程中，可以幫助我們快速簡潔地解決物理問題.下面結合實例，淺談一下數學思想在高中物理解題中的巧妙應用.

1 高中物理解題中數學思想的特點分析

物理問題具有復雜性和抽象性特點，直接解決這些問題往往困難重重.通過數學思想的引入，可以將這些問題轉化為簡單的、熟悉的和形象化的問題，從而更容易進行分析、研究和解決.盡管不同的方法在解決具體物理問題時具有不同的實施步驟，但都大致遵循相同的原則，可以概括為以下幾種：

（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題；

（2）簡單化原則：將復雜的問題簡化為簡單的問題，從而更容易進行分析和求解；

（3）直觀化原則：將抽象的問題轉化為形象化的問題，通過構建直觀的圖像或模型來幫助理解和解決問題；（4）正難則反易原則：當我們正面討論問題遇到困難或難以找到解決方法時，可以嘗試從問題的反面入手，通過反向思考來尋找解決問題的線索和思路.

2 數學思想在高中物理解題中的應用

2.1 方程與函數思想

方程與函數思想是物理解題中最常用的數學方法之一.通過將物理中的相關參數轉化建立為方程和函數模型，進而對物理問題進行求解.通過方程與函數思想，我們可以將物理概念和規律轉化為數學語言，更好地理解和解決物理問題.

例1 真空中存在著一水平向右的勻強電場（空間范圍足夠大），電場中有一個質量為m且帶有正電的小球.已知該小球的初速度為0，在運動過程中，該小球速度的方向和豎直方向夾角是37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8）.若在某時刻，該小球被以一初速度v0向上豎直拋出，則隨著小球運動的進行，其最小速度為多少？

解析 小球在豎直方向上做勻減速運動，有vy=v0-gt；在水平方向上，做初速度為0的勻加速直線運動，水平方向僅受到靜電力，根據題設條件，靜電力大小F電=mgtan37°=34mg，方向水平向右，水平方向的加速度ax=F電m=34g，則vx=axt；則小球的速度v=v2x+v2y），則v2的函數解析式：v2=2516g2t2-2v0gt+v02，為二次函數，根據二次函數的性質，可以求解得到當t=16v025g時，速度有最小值vmin=35v0，此時vx=1225v0，vy=925v0，速度的方向tan θ=vyvx，即與電場方向夾角為37°斜向上.

2.2 數形結合思想

數形結合是物理學中常用的一種數學思想方法，它將抽象的物理問題和直觀的幾何圖形結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”的方式，問題的解決過程更加簡單和直觀，從而優化解題的途徑.物理圖像問題中常常運用到數形結合思想，該類題型運用場景主要包括追擊相遇問題，多物體、多運動過程的問題等，題目的特點是涉及的物理量較多，審清題意比較麻煩，其中各量之間的關系也很容易混淆出錯，若借助圖像會方便很多，具體解題步驟的思維導圖如圖1所示：

在讀圖過程中，要關注以下部分：

（1）根據運動的特點，對運動階段進行合理的劃分，并在每個階段中對圖像進行相應的轉換處理.

（2）關注相鄰運動的銜接，在不同的運動階段中，運動參量（例如速度和加速度）可能會發生變化.為了保持圖像轉換的連續性，需要注意運動參數的銜接.

（3）注意找尋圖像轉換前后，核心物理參數之間存在的定量關系，這是圖像轉化最為關鍵之處.

例2 在一水平火車軌道上，有A和B兩列火車，B車在前A車在后，兩車間的距離為x.某時刻，A車以某一初速度v0開始做勻減速直線運動，加速度大小是2a.同時，B車開始做初速度為0的勻加速直線運動，其加速度大小為a.兩車的運行方向一致，為保證兩輛火車不發生相撞，A車的初速度v0應該滿足什么條件？

解析 為了確保兩車不發生相撞，我們需要滿足以下臨界條件：當A車追上B車時，A車的最大速度只能與B車相等.假設A和B兩列火車從相距x開始到A車追上B車時，A車位移xA，最終速度設為vA，花費的時間為t；相應地，B車位移和最終速度分別為xB、vB.運動過程如圖2所示.

根據運動過程特點，畫出A和B火車的v－t圖像，并根據圖像進行求解，如圖3所示.

假設經過t時間后，A和B兩車正好不發生相撞.以A車為研究對象，有vA=v0-2at，對B車有vB=at，對以上兩個式子聯立，可以求得t=v03a.經過t時間后，A和B兩車的位移之差，應正好為兩車原來相距的距離x，在v-t圖像，用圖中的陰影面積則表示位移之差，根據圖像可知，x=12v0·t=12v0·v03a.所以如若要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0＜ 6ax.

2.3 數學歸納法

數學歸納思想是一種通過對物理現象進行分析，建立數學模型，探索其中規律的思維方式，它通過從特殊情況出發，逐步推導出一般性結論，通常出現在高考壓軸題中.通過使用數學歸納法，我們可以將復雜問題分解為一系列簡化的子問題，并通過逐步推導和歸納，得到問題的解答.相比于直接使用分步方法求解，數學歸納法可以減少運算量并提高解題效率.當題目中存在反復性或周期性問題時，應該有意識地考慮是否可以運用數學歸納法來解決.這是因為數學歸納法在處理這類問題時具有很大的優勢，能夠通過觀察規律、建立遞推關系，得到問題的一般解.需要注意的是，數學歸納法在解題過程中需要嚴謹的邏輯推理，一旦某一步出現錯誤，可能會導致整個解答的錯誤.因此，在使用數學歸納法解題時，需要仔細審題，理清推導過程，確保每一步的正確性.該類問題求解的基本思路為：

（1）先對剛開始的幾個物理過程進行逐個分析；

（2）運用數學歸納法，分析出前幾個物理過程的共有特點，總結出通項公式，該步驟是解題的關鍵；

（3）對整個物理運動過程進行分析，運用數列的特點及其規律求解得出答案.

例3 如圖4所示，以OM為界限，平面直角坐標系xOy存在著一大小為mv0qd的勻強磁場和大小為mv2016qd的勻強電場.界線OM和x軸負方向所成的夾角為45°.有一帶電粒子，其質量為m，帶電量為＋q，從坐標原點O處出發，初速度v0.已知粒子每到達x軸后將會反彈，首次反彈時能量無損失.自第二次開始，反彈后，豎直分速度大小減為反彈前的一半且速度方向相反、水平分速度保持不變.求粒子自第二次進入電場開始，沿電場方向運動的總路程.

解析 粒子的運動存在反復性問題時，考慮運用數學歸納思想.粒子的運動路徑如圖5所示，有qv0B=mv20r，即粒子運動的半徑r=mv0qB.

①對剛開始的幾個物理過程進行逐個分析

vy1=vy，

h1==×2d

vy2=vy1=vy，

h2==×2d

……

②運用歸納思想找出通項公式

當小球第n次被反彈時，高度hn=y2yn2a=14n×2d

故總路程為：H=2d+2（h1+h2+…hn）=2d+2×2d（14+142+…14n）（n→∞）

③應用數列特點和規律求解

根據等比數列的求和公式，對上式進行整理，上述方程括號中含有等比數列，其中首項a1=14，公比為14，當n→∞，利用等比數列求和公式

Sn=a1·1-qn1-q=14×1-（1/4n）1-

1/4=13，

可得：H=103d

3 結束語

數學思想有助于我們解決物理問題，但其僅僅是物理學習的工具.物理思維才是學習物理的核心，它強調對物理世界的直觀理解和物理概念的形成，幫助我們理解物理現象的本質和規律.在物理學習過程中，教師一定要區分物理和數學之間的聯系和區別，在給學生滲透數學思想的同時，也要讓學生意識到數學思想只是物理學習的一部分，是解決物理問題的一種方法.

參考文獻：［1］ 唐沂國.數學思想方法與物理學科素養的有機結合：由2019年全國Ⅱ卷理科數學試題第4題所想到的[J].物理教師，2019，40（8）：80-81，86.

[2] 徐國華.數學是物理最自然的語言：談數學思想方法在高中物理中的應用[J].華夏教師，2014（3）：52-53.

［責任編輯：李 璟］