初中數學幾何直觀教學設計類型及原則探究

摘" 要：幾何直觀素養是每一位學生都必須具備的素質。正是由于“幾何直觀”的特性，自希臘柏拉圖學園以來幾何已被視為一門重要的課程。“幾何直觀”的特性不但方便了學生學習幾何知識和進行幾何探究和推斷，也為學生了解和認識其他更加抽象的數學知識和構造搭建一座橋梁，成為激發學生問題解答思維的重要手段。文章就主要分析初中數學教科書中“幾何直觀”的設計類型及原則，以期為初中數學“幾何直觀”教學提供一些建議。

關鍵詞：初中數學；幾何直觀；設計類型

幾何直觀是必須重視的數學核心理念，到高中階段，直觀想象成為數學核心素養能力中的必備要素，直觀想象是集空間想象、幾何直觀與空間意識于一體的核心理念，是對幾何直觀的一種更深層次的需求。目前，有關“幾何直觀”或者“直觀想象”的研究較多，但就其研究內容而言，大多集中于學生學習或者教師教誨，而對課本中幾何直觀的展現或者設計的探索并不多。課本是學生學習的主體，理應發揮其指導作用，不斷加強并深入對初中數學幾何直觀教學的設計類型及原則探究。

一、幾何直觀教學概述

幾何知識在初中數學領域中堪稱重難點，而幾何直觀的作用不僅在于助益學生掌握幾何知識，開展幾何探索和推理，更能引導學生理解并接觸其他更為抽象的數學知識和構建，從而激發他們的解題靈感。鑒于時代發展，青少年電腦繪圖能力的培養需求日益凸顯，故而培育新一代幾何直觀素養顯得尤為緊要。

幾何直觀教學的核心設計對象為圖形，其具備整體性、直觀性及多角度性，成為展現物體空間結構的理想載體。教學重點在于對圖形進行研究，剖析數學問題與圖形之間的關聯，進而引導學生構建數學知識體系，充分發揮數形結合、數形轉化的思想特性。

新課程標準中曾指出“空間概念”和“幾何直觀”是兩項極為重要的數學核心素養，這兩者和高中學段“直觀想象”之間存在一種內在聯系，并在其表達特點上顯示出一種發展的特點。在小學教育階段，空間概念的培養在學生學習過程中占據重要地位，但是學生學習的效果受到學生先天因素的影響，也受到學生生活體驗影響。步入初中，學生對數學知識的認知更依賴于數學知識體系，在幾何直觀數學領域需通過持續積累與學習不斷提升。進入高中階段，“空間概念”與“幾何直觀”的發展趨于直觀化，此時的直觀不僅局限于幾何圖形，還包括符號形狀的直觀，空間想象力也逐漸脫離空間概念，更多依賴邏輯思維。因此，幾何直觀教學始終處于持續、漸進的發展過程中，教學難度亦逐步提高。依據新課標教學要求，為培養數學核心素養，必須不斷推動教學改革。對初中數學教科書幾何直觀的設計類型及原則展開研究分析，具有現實教育意義。

二、初中數學幾何直觀教學的設計類型

（一）直觀表征

直觀表征，即通過圖形展示數學對象，其核心在于對“形”的呈現。在教材中，直觀表征主要分為兩種：一種是引入數學對象時，運用圖形生動地展示相關材料；另一種是在引入數學對象之后，利用圖示形象地呈現材料。許多數學概念是對現實世界的直接反映，兼具“形”與“數”的特性。在引入這些概念時，可以先尋找與實際相近的直覺素材，讓學生通過視覺對數學對象進行初步認知。例如，在小學階段，可以運用小木棍等物品引導學生了解數字構成。為講解計數單位，初中階段可以借助溫度計引入數軸，通過數軸上點到原點的距離闡述絕對值概念等。小學階段以直觀實體為主，而初中階段則主要以符號直觀和圖形直觀為特點。在引入數學對象后，從圖形角度進行直觀表征，有助于學生更好地理解數學對象。

比如在“一次函數”知識點中，其代數形式為ｙ＝ｋｘ＋ｂ（其中，ｋ與ｂ為常數，且ｋ≠０），這僅僅是一個抽象的數學式子，但是需要關注其表面顯現出的特性。可以將ｋ和ｂ設定為固定不變的常數，進而假設ｘ分別為１、２等數值，計算相應的ｙ值。通過觀察不同ｘ值下ｙ的變化，可以得出相應的結論。有學生表述：“隨著ｘ的增加，ｙ的增幅保持恒定。在圖像上，這一特性體現為一條直線。通過直觀幾何表征，我們發現函數ｋ、ｂ的‘形象’更加直觀。”因此，利用圖像來展示一次函數更能凸顯其特性。

（二）直觀理解

直觀理解，作為一種獨特且高效的數學教育方法，旨在通過直接且深入的接觸實物或圖形，使學生更為深入地了解并掌握數學概念、定理等抽象知識。這種教育方式強調通過動手操作、實際感知的方式，使學生能夠對物體或圖形進行細致觀察與深入理解，從而加深對數學概念、原理等的認知。在直觀理解的教育過程中，學生首先需要產生對數學知識的疑問與好奇，這是引發他們主動探索與學習的動力源泉。隨后，通過對物體或圖形的“數學化”操作，學生可以親自體驗數學原理的運用過程，逐漸發現其中的規律與奧秘。最后，學生將所獲得的數學概念具象化，形成具有實際意義的形象感知，從而實現對數學知識的內化式理解。這種理解方式不僅有助于學生更好地掌握數學知識，還能讓他們在面對實際問題時能夠靈活運用所學知識，達到學以致用的目的。

以“無理數知識點”為例，在數字軸線上，一個點代表一個有理數，同理，任何一個無理數也能在數字軸線上找到對應的點。部分學生對“任意一個無理數，都可以在數字軸線上用點來表示”這一觀點感到困惑。為了解釋這一點，教師以無理數π為例，組織學生觀看多媒體展示。展示中，一個長度為１的圓從原點０沿數軸向右滾動一周，圓上的點０移動到Ｏ′，線段０Ｏ′的長度即為圓的周長，因此點Ｏ′的坐標為π。在數軸上，無理數π可以用一個點來表示。通過這段教學，學生認識到“在數字軸線上，只有一個點能代表無理數π”，從而將“數”與“形”相結合。在從數到形的轉換過程中，學生理解了無理數與數軸上點之間的對應關系，將“無理數可以在數軸上找到對應點”的認識內化，使學生在學習數學時能夠運用數形結合的思想方法，將抽象概念直觀化、簡潔化，從而更好地、更快地掌握相關幾何知識，提高學習效率。

（三）直觀建構

直觀建構指的是利用實物或圖表直觀的方式，將構建某種數學知識或圖式模型作為目標的一種數學教育活動。這種類型的教育是以構建一種直觀的方程模型、圖式模型等為依據，讓學生可以更加深入地掌握并理解更加抽象、更為深刻的思維對象。通常的操作過程是問題提出、實物示范、觀察分析、建構模型。直觀建構型的特征是具有空間性、模型性、探索性。以“圓錐側面積公式推導”知識點為例，通過圓錐模型，將其側面沿母線撕開成為平面圖，進而觀察平面圖的特定形狀。部分學生可能會立即回答其為“扇形”。教師隨后提出疑問：“扇形的弧長與圓錐底面圓周長之間存在何種關系？”“扇形的半徑與圓錐的哪一屬性相對應？”然后教師引導學生觀察圓錐模型，并分組討論上述問題。當學生能夠明確圓錐與扇形之間的邊角關系后，教師再引導他們探討扇形面積與圓錐側面積之間的聯系，并嘗試推導出圓錐側面積的公式。在這一教學過程中，教師利用圓錐模型進行實踐操作，將其轉化為扇形模型，以此鍛煉并提升了學生的數形轉化思維，幫助他們運用轉化和推理的方式理解圓錐側面積的求解公式。

（四）直觀拓展

直觀拓展指的是利用實物或圖形的直觀方式，以拓寬研究思路或擴展數學知識為目標的一種數學教學方式。這種類型的教學是對現有的研究方案或思路的一種擴展，如果使用得恰當，就能夠將學生已經具備的知識結構進行有效的利用，從而擴大學生的思維范圍，讓教師教育中的創造性得到發揮，為具有不同能力取向的學生提供更多的機會，讓學生能夠獲得自己發展所需要的知識、技能和能力。

以“絕對值的幾何意義”為例，即要分析“ａ的幾何意義？”設置如下兩個教學任務。第一個是“假設ａ是任意某個數字，分析ａ－１的幾何意義”，第二個是“在數軸上有點Ａ，Ｂ，代表某一實數ａ，ｂ，Ａ，Ｂ距離等于線段ＡＢ長，分析ａ－１的幾何意義”。該教學片段采用層層推進的方法，從總體上看，兩次探索都是直觀擴展，包括數到字母、總體到分類、單一到多類，從最初的認知到深刻的理解。第一個任務是將研究總體上的問題分為兩部分，一是在一些特定情況下，解答其幾何含義。二是將問題拓展到對“ａ－１的幾何意義”理解，并將數形相結合的思路融入其中。第二個任務遵循從特別到普遍的步驟，指導學生在數軸上對實數ａ和ｂ進行表示，根據點Ａ和Ｂ在數軸上的不同情況，用數ａ和ｂ來表示Ａ和Ｂ兩點之間的距離，并將其轉換為ａ－１，從而使學生的推理意識得到發展，并將其進行分類討論。

三、初中數學幾何直觀教學的設計原則

（一）整體性原則

幾何直觀在初中數學教學中扮演著重要角色，涉及問題解決、概念生成和命題探究等多方面。教師應關注這些數學活動中的幾何直觀，將其作為問題解決、概念生成和命題探究的組成部分。初中數學教科書應著重闡述數與形之間的關系，從多個角度詮釋數學對象。在命題探究和問題解決過程中，幾何直觀的意義在于直觀分析和說明，有助于學生更好地理解命題，為探究和解決問題提供具體思路。求解問題時，應著重關注幾何直觀對問題的直觀理解，以深化問題認識，最終實現數學直觀的目標。

（二）反思性原則

在初中數學的教學階段，在學生形成新的數學概念之后，往往會試圖運用新的概念對所學習的數學知識、學習技巧及方法等進行重新理解，并將其融合到新的認知結構中，這就是學生進行反思的過程，也是數學教學中不可或缺的一環。數學不僅僅是含有數學的知識，它本身還含有一些數學的概念、觀念等，既是思考的素材，又是思考的產物。應該指出在教學過程中，學生不可能會自然而然地產生反思能力，只有通過對其進行重點培養，才可以進行有效提升。幾何直觀要靠學生自己去理解，當學生使用幾何直觀進行問題求解時，教師要更有意識地指導學生對求解問題的過程進行反省。除此之外，在對初中數學課本內容進行設計時，也要著重對更多的反思性活動進行設計，讓學生對有利于以幾何直觀方式解決問題的過程進行反思。從這一點可以看到，在初中數學教學階段幾何直觀具有反思性。總而言之，在進行幾何直觀內容的設計時，一定要將反思性原則融入其中，保證學生可以產生反思的能力，從而進一步深化學生對幾何數學知識的理解。

（三）循序漸進原則

在初中數學教科書幾何直觀設計過程中，應遵循循序漸進的原則，保證學生對幾何直觀的有序化發展。從學生的學習視角來看，學生不可能自然而然地產生出一種幾何直觀，只能在課本中的內容和教學活動的幫助下才會表現出來，而且這還要求學生經過很長一段時間的積累。所以一定要把對基礎圖形的幾何直觀理解作為一個重要方面，以指導學生在頭腦中能夠建立起這一類的幾何直觀。在處理問題時，重視問題表述的層次性至關重要。問題表達式可分為正向表達式、逆向表達式和轉換式三類。正向表達式是已知代數表達要求，可以提供相應的圖表直觀或現實情境。例如，在方程代數表達式模型已知的情況下，需提出相應的實際問題。當前初中數學教材大多采用正向表達式，而逆向表達式和轉換式題目較為罕見。因此，教學中應結合學生實際，增加逆向表達和轉換問題。問題表達形態和圖形清晰程度對學生運用直觀幾何解題效果具有直接影響。因此在設計幾何直觀教材內容時，務必關注問題表達和圖像明確性。

簡而言之，幾何直觀教學旨在將抽象的數學概念、法則、公式和定理等數學知識通過實物或圖形的描述和分析，使其更具直觀性、顯性化和形象化，從而提升數學教育的育人價值。為實現這一目標，教師需以理解教材、學生，以數學為基礎，遵循初中生的認知、生理和心理發展規律。在此基礎上，對幾何直觀教學方法進行創新，并結合教具、學具、多媒體等直觀教學手段，豐富數學教育內容，從而切實提高幾何直觀教學的成效。

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（責任編輯：廖" 藝）