分類討論思想在初中數學解題教學中的應用

摘要：分類討論是初中數學中重要的思想方法和解題方法，它能夠培養學生橫向聯系知識的能力，提升其知識遷移運用水平和數學思維，對初中數學教學質量的提升具有積極意義.在初中數學教學中，教師有必要引導學生深入理解分類討論思想，并靈活應用到各類問題的解決中，進而讓學生掌握正確的解題規律及解題方法，全面提升學生的解題能力.

關鍵詞：分類討論思想；初中數學；解題教學；應用

中圖分類號： G 632文獻標識碼： A 文章編號：1008-0333（2024）20-0005-03

收稿日期：2024-04-15

作者簡介：程昆峰（1984.10—），男，福建省惠安人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

在初中數學學習中，分類討論思想主要體現在三個方面，一是關于數與代數概念產生的討論，如定理、公式、法則的分類表達等；二是幾何問題中需要對一些不確定的圖形形狀和圖形位置進行分類討論；三是關于代數知識的綜合運用需分類討論.分類討論思想是以數學問題對象的差異性和共同性為基礎，將數學問題劃分為不同的種類，克服學生思考數學問題的片面性，讓學生更加全面地理解和看待數學問題，為問題解決提供不同思路.

1分類討論思想的理論基礎

1.1分類討論的基本原則

分類討論思想要求學生在解題過程中根據題目要求對問題進行整體劃分，將其分為若干個零碎的小問題，并對小問題進行分類，在問題逐一解答后得出整體答案[1].利用分類討論思想解題時需要遵循三個原則：首先，對問題進行分類的過程中要保證每一個小問題相對獨立；其次，問題的分類應該以循序漸進為原則逐級進行；最后，對問題要進行有層次的分類，避免越級分類和同級互斥.在解題過程中以上述原則為引導，才能有效利用分類思想簡化數學問題，強化學生的知識應用水平.

1.2分類討論思想的應用步驟

首先，要引導學生對問題深入剖析，對需要分類的數學對象、數學參數進行具體討論；其次，明確問題分類標準，兼顧所有題干信息，通過逐類分級得到解題的階段性成果，再對各種問題進行詳細討論并分類解決；最后，對問題歸納總結，將各種數學知識考查情況歸納總結，全面培養學生分類討論思想.

1.3分類討論思想的應用意義

利用分類討論思想解決數學問題，一是能夠提升學生思維的靈活性.借助分類討論思想，學生能夠更加直觀地理解問題，將一切復雜問題依照定理轉化為簡單問題，進而發掘問題解決過程中的核心思路.在解題過程中，教師還要引導學生根據假設確立分類標準，并從多個視角審視問題解答，學生的思維能力能夠得到顯著提高，數學核心素養也明顯提升.二是能夠降低問題理解難度.分類討論思想打破了以往學生解決數學問題的固定思維，學生在不斷突破自我的過程中，能夠將數學問題的解決由被動逐漸轉化為主動，學生個人探索意識明顯增強，對提高初中數學解題教學效率具有一定的積極意義.

1.4分類討論思想應用中存在的不足

雖然分類討論思想在初中數學解題中應用效果顯著，但目前該方法的應用仍存在一些問題.如沒有培養學生利用分類討論思想解決數學問題的主動意識，學生通常把握不住分類討論解題的關鍵點，對題目條件做不到有效挖掘，并且對該方法的理解不夠深刻，在不合理的問題情境下盲目應用該方法，缺少獨立思維習慣.這些都需要教師優化分類討論思想應用方式，選擇合適的切入點將其完全融入解題教學中，進一步強化學生對分類討論思想的認知.

2分類討論思想在解題教學中的應用

2.1確定具體的分類討論對象

利用分類討論思想解決數學問題，首先要根據問題特征，尋找有必要進行分類的數學對象，使學生形成利用分類討論思想解決數學問題的正確思路.教師首先要引導學生匯總問題信息，之后帶領學生結合掌握的信息進行深入思考，通過合理論證和假設確立分類討論的思路[2].如需要從選取數學對象的性質、取值等方面進行分類，確定該問題分類討論思想的應用性質和方向，從而結合題意劃分恰當的數學問題.在此期間教師要讓學生意識到相同類型問題的解答過程中，分類討論的標準不能改變，避免對題目正確解答造成影響.例如，在“絕對值與相反數”相關數學問題的教學中，絕對值在不同情況下有不同取值，根據這一概念確定具體分類討論對象，明晰分類討論思路.在學生對絕對值性質有充分了解以后，教師可展示問題：判斷|a|／a=a／|a|（a≠0）是否正確.對于這種直接蘊含未知數絕對值的數學題目，由于不確定未知數的正負，此時需要引導學生對這一討論對象進行明確，從正數、負數兩種情況展開探究和解答，在不同情況下判斷問題中的等式是否成立，進而得出正確答案.

2.2明確具體的分類討論標準

在利用分類討論思想解題前，需明確具體的分類標準，這是保證學生解題思路和求解結果正確的重要基礎.教師應引導學生認識分類標準的重要性，并在此基礎上指導學生根據題意合理確定分類標準，使學生能夠根據不同題型靈活確定分類標準，從而有效提升學生的解題效率[3].

在初中數學解題教學中，教師要發揮引導者的作用，重視學生在確定分類標準過程中的主體地位.在學生解題思路正確的情況下，教師對學生制定的分類討論標準不應過多干涉，培養學生分析問題的能力及對題意的理解能力.例如，在學習“一元二次方程”時，教師提出問題：已知一個底邊長為9的等腰三角形，腰長為方程x²-10x+24=0的一個根，求三角形的周長.在學生解答該題前，教師先引導學生對題意進行分析，明確題目中的已知條件和所求結論，以規定正確的分類討論標準.例如，一元二次方程x²-10x+24=0有兩個實數根，這兩個實數根都有可能是等腰三角形的腰長，但必須滿足三角形三邊之間的關系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊.因此該方程的根需要在2倍的情況下大于9才可以作為該等腰三角形的腰長.這種討論標準確定后，學生即可完成問題的正確解答.

2.3培養學生審題讀題的能力

在初中數學學習中，經常會遇到一些模棱兩可的數學問題，部分問題條件交代不清楚，對于這類問題的解答，學生需仔細審題，根據問題特征確定分類討論標準和條件，然后再進行解答，會達到事半功倍的效果.例如，某一次函數圖象與x軸交于點A，其橫坐標為5.與y軸相交于點B，該圖象與坐標軸圍成的三角形面積為10，求該直線函數的解析式.本題的解答需要借助一次函數的相關知識，學生在確定了圖象與x軸的交點后，再尋找圖象與y軸的交點B的坐標時，就需要仔細考慮點B在y軸的正半軸還是負半軸，當無法確定時就需要分類討論.在完整審題讀題后確定分類討論標準，可以讓學生從多個角度對數學問題形成全面的認知.在初中數學學習中，幾何問題的分類討論相對頻繁.例如，在等腰三角形問題中，已知的邊可能是腰也可能是底邊，當問題中沒有對具體數學要素進行明確指出時，就需要注意對含糊不清的題干進行分類討論.例如，已知等腰三角形的兩邊長分別是方程x²-7x+12=0的兩根，則其周長是10或11；等腰三角形的一條邊長為4，另一條邊長為8，則其周長為20.在這兩個問題中，等腰三角形的腰和底分別有兩種情況，需要對其進行分類討論.在初中數學解題教學中，教師要指導學生以分類討論思想為基礎，透徹分析題干中的模糊條件，提高解題的準確性.

2.4總結歸納討論結果

在分類討論思想應用的過程中，教師指導學生對分類討論的結果進行完整總結和科學歸納，能夠使學生對解題過程是否科學合理及答案的準確性作出科學評估，保證其解題的正確率，有助于培養學生正確的解題意識和解題技巧，形成良好的數學學習態度.為此，教師要培養學生科學分析討論結果的能力，加強分類討論思想的應用評價.根據學生反饋調整教學方式，以提高分類討論思想與實際解題教學的融合度.例如，在解決“待定系數法求二次函數解析式”相關數學問題時，教師就需要引導學生掌握判斷二次函數解析式的方法，再結合實際情況展開分類討論，根據討論結果選擇正確的求解方法.通過對分類討論結果的總結與歸納，學生可以自己判定結果的準確度，評估問題中條件及其數學含義，這對學生形成正確的解題思路和技巧大有裨益.

2.5利用分類討論思想完成拓展延伸

在解決與圓有關的數學問題時，分類討論思想的應用可以幫助學生深度理解點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等.學生在解決此類問題時，以問題中給出的具體變量或兩個圖形之間的距離為基礎，明確分類討論解題思路，巧用分類討論思想對題干內容進行補充，對問題進行拓展延伸，能夠有效培養學生的解題思維，開闊其數學視野.例如，一個點P和圓的最小距離為6 cm，最大距離為9 cm ，求圓的半徑.在解決本題的過程中，學生發現問題并沒有配圖，需要自己畫圖分析.但學生根據已知條件不能確定該點在圓內還是圓外，故需要進行分類討論.學生結合分類討論思想畫出兩個圖形，如果該點位于圓內，則直徑等于最小距離和最大距離之和；如果該點位于圓外，則直徑等于最大距離和最小距離之差.在分類討論過程中，學生通過畫圖對該問題沒有說明的條件進行延伸補充，從而找到問題解決的突破點.

2.6利用分類討論思想突破解題重點

在初中數學教學中，數與代數涉及的知識范圍廣，學習難度較大，如何讓學生高效靈活地完成解題是教學的重點.在近幾年的中考試題中，對數與代數的考查大都是一些綜合性問題，對學生知識綜合應用水平要求更高.例如，新定義一種運算：a#b=a（a≥b），b（a＜b）.求不等式（2x+1）#（2-x）＞3的解集.根據學生實際情況，如果只是考查不等式的解法，其整體難度較低，學生并不容易出錯.但上述問題定義了新運算，并以分段函數的方式呈現的，實質上蘊含了a和b之間不同的大小關系.在解決此問題時，學生需運用分類討論思想，根據a和b的大小關系確定兩種結果，即當a≥b時，a#b的運算結果為a，當alt;b時，a#b的運算結果為b.按照上述原則，原不等式可轉化為兩個不等式組，即2x+12-x，²x+1＞3，或2x+1＜2-x，2-x＞3.通過該分類討論思想的應用，將原不等式轉化為兩個一元一次不等式組，降低了問題難度，幫助學生攻克學習難點.

3結束語

在初中數學解題中，利用分類討論思想可以培養學生的數學思維，強化學生靈活運用數學知識解決問題的能力.在初中數學教學中，教師有必要針對分類討論思想制定合適的教學計劃，科學選擇一些學生能夠接受的分類討論問題，通過啟發誘導培養學生的分類討論思想，并在教學中及時總結，培養學生歸納總結能力，明確分類討論思想的本質和應用原則，提高其主動利用分類討論思想解決問題的意識，優化解題教學，提升學生的核心素養.

參考文獻：［1］ 高利軍.分類討論思想解初中數學問題的不同情形應用分析[J].數理天地（初中版），2023（15）：6-7.

[2] 朱彥兵.分類討論思想在初中數學解題中的應用：以等腰三角形為例[J].數學之友，2023，37（7）：79-82.

[3] 柳廣社.分類討論思想在初中數學解題中的應用探索[J].數學學習與研究，2023（6）：65-67.

［責任編輯：李璟］