指向拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的初中數(shù)學“閱讀與思考”課程實踐探索

［摘 要］創(chuàng)新意識與能力培養(yǎng)是初高中數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵，也是初高中數(shù)學教學銜接的重要目標。“閱讀與思考”課程是初中階段培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的有效途徑。針對初中數(shù)學“閱讀與思考”課程，采用“讀、研、悟、寫”四位一體的“留白創(chuàng)造式”教學模式，通過留白賦予學生廣闊的思維與探究空間，以實現(xiàn)創(chuàng)新意識與能力的培養(yǎng)，進而培養(yǎng)數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才。

［關(guān)鍵詞］拔尖創(chuàng)新人才；初中數(shù)學：“閱讀與思考”課程；“留白創(chuàng)造式”教學模式

［中圖分類號］ " "G633.6 " " " "［文獻標識碼］ " "A " " " "［文章編號］ " "1674-6058（2024）29-0018-03

初中數(shù)學“閱讀與思考”課程，圍繞數(shù)學問題及材料，引導學生學習和理解知識，同時感受數(shù)學文化。此過程中，學生的感官直覺、注意力等多種因素積極活躍，且通過閱讀和探究，能體會到數(shù)學的應(yīng)用價值，并培養(yǎng)創(chuàng)新意識與能力。因此，“閱讀與思考”課程是初中階段培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的有效途徑。

在初中數(shù)學“閱讀與思考”課程的建設(shè)與實施中，我們課題組聚焦核心素養(yǎng)提升和拔尖創(chuàng)新人才培育，探索構(gòu)建了“讀、研、悟、寫”四位一體的“留白創(chuàng)造式”教學模式，旨在為拔尖創(chuàng)新人才的成長開辟一條有效路徑。

楊輝三角作為中國古代數(shù)學的瑰寶，在數(shù)學思維和數(shù)學文化方面獨具魅力。在初中階段，它作為“閱讀與思考”的材料內(nèi)容呈現(xiàn)；在高中數(shù)學教材中則專門設(shè)置了“楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用”探究課程。本文以人教版八年級上冊“閱讀與思考”中的楊輝三角的教學為例，探討如何利用“閱讀與思考”課程促進初高中教學銜接，進而培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才。

一、指向拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的初中數(shù)學“閱讀與思考”課程教學實踐

（一）課程內(nèi)容及教學重點

“楊輝三角”是人教版八年級上冊第十四章“閱讀與思考”欄目的內(nèi)容。從數(shù)學史的角度來看，賈憲的發(fā)現(xiàn)比帕斯卡早600年左右，楊輝比帕斯卡早400多年，這彰顯了我國古人在數(shù)學領(lǐng)域的卓越智慧與輝煌成就。楊輝三角是二項式乘法的一個特例，在初中階段被視作整式乘法的進一步推廣及特殊化，它具體表現(xiàn)為指數(shù)為正整數(shù)的二項式定理系數(shù)表，即[（a+b]）n（[n=1]，2，…，6）展開式各項系數(shù)的排列。這種排列是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何體現(xiàn)，展現(xiàn)了數(shù)與形的離散結(jié)合。基于此，本節(jié)課的教學重點確定為：初步認識楊輝三角，從“式”和“形”兩個角度發(fā)現(xiàn)并理解楊輝三角的特征。

（二）教學目標及解析

1.教學目標

（1）了解楊輝三角的數(shù)學史；

（2）發(fā)現(xiàn)楊輝三角的代數(shù)特征和圖形特征。

2.教學目標解析

目標（1）達成標志：能感受到數(shù)學文化的魅力，了解楊輝三角在國內(nèi)外的研究歷史和成果，拓寬視野，增強文化底蘊，并激發(fā)學習興趣。

目標（2）達成標志：①能從“式”的角度理解楊輝三角的運算原理，從“形”的角度把握楊輝三角的元素特征及相互關(guān)系。②能正確寫出[（a+b）6]的展開式，并用整式乘法驗證。③發(fā)現(xiàn)[（a+b）n]展開式中[a]和[b]的指數(shù)規(guī)律，以及這些指數(shù)與[n]的關(guān)系。

（三）教學難點分析

學生已掌握了平方差公式和完全平方公式，能初步用符號和語言描述公式的結(jié)構(gòu)特征，能從“式”和“形”兩個角度觀察、比較并抽象出一般規(guī)律，但在從兩個多項式相乘過渡到多個多項式相乘時仍感到困難。教學關(guān)鍵在于深入理解楊輝三角的結(jié)構(gòu)特征。因此，本節(jié)課的教學難點確定為：理解楊輝三角的結(jié)構(gòu)特征，并能準確寫出[（a+b）6] 的展開式，以及發(fā)現(xiàn)[（a+b）n]展開式中[a]和[b]的指數(shù)規(guī)律及指數(shù)與[n]的關(guān)系。

（四）教學過程設(shè)計

1.讀——任務(wù)驅(qū)動，自主閱讀

讓學生獨立閱讀“閱讀與思考”欄目中的材料，并完成以下任務(wù)。

任務(wù)一：梳理材料，明確材料分為幾個部分，并概述各部分主旨。

任務(wù)二：列出材料中提及的數(shù)學家，并按歷史時間順序簡述楊輝三角的發(fā)展過程。

任務(wù)三：運用數(shù)學語言表達對楊輝三角的理解和認識。

學生完成任務(wù)后進行匯報，其他同學進行補充和完善。

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)以任務(wù)驅(qū)動學生自主閱讀，要求學生依托材料，運用已有認知經(jīng)驗完成任務(wù)。鑒于學生對數(shù)學概念、命題、公式、法則等常有獨特理解，教師給予學生創(chuàng)造機會，鼓勵他們表達對數(shù)學知識的理解。通過讓學生主動陳述，促進其深度參與知識建構(gòu)，從而加深對閱讀材料的理解。

2.研——深入思考，解構(gòu)知識

任務(wù)四：思考解決閱讀材料中的問題，確定所需要的知識與技巧。

教師：前面我們已經(jīng)學習了整式的乘法，知道了初中主要研究的是多項式相乘，其中完全平方公式適用于兩個相同多項式相乘。那么，對于相同多項式相乘，應(yīng)如何計算呢？接下來，我們通過觀看一段關(guān)于中國古代數(shù)學發(fā)展史的視頻（時長2分鐘）來了解數(shù)學家是怎樣解決這個難題的。

設(shè)計意圖：通過引導學生對問題進行結(jié)構(gòu)化思考，使學生深入理解整式的乘法。問題的解決基于整式乘法運算原理的應(yīng)用，而楊輝三角作為特殊情況，展示了兩個多項式相乘到多個多項式相乘的推廣。通過學習楊輝三角，學生能更好地理解多項式相乘的規(guī)律和原理。

任務(wù)五：探索二項式展開過程的困難與楊輝的整理工作。

教師：二項式在展開過程中遇到了哪些困難？楊輝做了哪些整理？他的意圖是什么？我們不應(yīng)急于應(yīng)用現(xiàn)成結(jié)論，而應(yīng)從問題本身出發(fā)，沿著賈憲和楊輝的探索路徑進行深入探究。

（1）在閱讀過程中，你遇到了哪些解決二項式展開式問題的困難？

（2）請寫出（[a+b]）n（[n=0]，1，2，3）的展開式，并觀察各項字母及指數(shù)系數(shù)，看看隨著[n]的變大，[a]和[b]的指數(shù)之間有什么關(guān)系，它們的指數(shù)與[n]有什么關(guān)系。

（3）請寫出（[a+b]）4的展開式，并結(jié)合之前的結(jié)果，觀察分析各項中字母的指數(shù)、項數(shù)以及系數(shù)的特點。

總結(jié)規(guī)律：①楊輝三角每一行的數(shù)字分別對應(yīng)多項式每一項的系數(shù)，這些系數(shù)是按照字母[a]的降冪順序依次排列。②在多項式的展開式中，各項字母的指數(shù)之和始終等于多項式的次數(shù)。同時，首字母的指數(shù)由大到小排列，且隨著多項式次數(shù)的增加，項數(shù)也相應(yīng)增多。

（4）請嘗試運用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，直接寫出（[a+b]）6的系數(shù)，并展開二項式。最后，利用學過的知識進行驗證。

（5）為什么楊輝三角呈現(xiàn)為三角形？它為什么不是矩形或其他圖形？

在學生完成任務(wù)并匯報后，鼓勵其他同學進行補充和完善。

設(shè)計意圖：結(jié)合閱讀材料，提出具體的探究任務(wù)，旨在激發(fā)學生的思維，為學生發(fā)現(xiàn)新知創(chuàng)造有利條件。在此過程中，觀察、歸納、類比等合情推理方法是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要途徑。通過運用這些合情推理方法，學生能夠有效解決閱讀材料中提出的問題。

3.悟——思維延展，探索發(fā)現(xiàn)

任務(wù)六：結(jié)合楊輝三角的代數(shù)式和圖形特征，思考有哪些發(fā)現(xiàn)，并談?wù)剛€人發(fā)現(xiàn)及思考路徑。

小組探究活動流程：

（1）小組成員各自開展獨立探究。（5分鐘）

（2）小組內(nèi)進行交流討論，完善觀點，并撰寫小組研究報告。（10分鐘）

（3）各小組展示研究成果，全班進行互動交流與評價。（5分鐘）

學生從不同的角度進行探索，力求發(fā)現(xiàn)多樣化的數(shù)學規(guī)律。教師從位置關(guān)系與細節(jié)特征兩個角度出發(fā)，對學生的發(fā)現(xiàn)進行點評，并總結(jié)歸納探尋數(shù)學規(guī)律的有效方法。

設(shè)計意圖：引導學生針對同一個問題提出不同的解決方案，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。

任務(wù)七：聯(lián)想有關(guān)楊輝三角的延展問題。

學生圍繞楊輝三角展開聯(lián)想，提出以下延展問題：（1）楊輝三角的上方有何數(shù)學構(gòu)造？（2）為什么楊輝三角中的數(shù)都是整數(shù)？（3）若考慮三項式，應(yīng)如何分析與處理？若指數(shù)涉及分數(shù)，楊輝三角的規(guī)律還能繼續(xù)呈現(xiàn)嗎？

設(shè)計意圖：引導學生聯(lián)想并提出問題，激發(fā)學生的想象力與探究欲，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

4.寫——遷移運用、數(shù)學習作

【題1】圖1是我國古代數(shù)學家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為“楊輝三角”。“楊輝三角”中有許多規(guī)律，如它每一行的數(shù)字正好對應(yīng)了（[a+b]）n（n為非負整數(shù)）展開式中[a]按次數(shù)從大到小排列的項的系數(shù)。例如[（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3]展開式中的系數(shù)1、3、3、1恰好對應(yīng)圖中第四行的數(shù)字。

（1）請認真觀察此圖，填空：

①[（a+b）4]的展開式中，各項的系數(shù)分別為 " " " " " " " " " " " " " "；

②[（a+b）8]的展開式中，第四項的系數(shù)是 " " " " " " " " " " " " " " " "。

（2）請利用“楊輝三角”中的規(guī)律，計算：[25-5×24+10×23-10×22+5×2-1]。

【題2】融合初中數(shù)學“閱讀與思考：楊輝三角”和高中數(shù)學課程中關(guān)于楊輝三角的內(nèi)容，結(jié)合自身的學習體驗，撰寫一篇題為《楊輝三角面面觀》或《邂逅楊輝三角》的文章，文體不限。

設(shè)計意圖：結(jié)合日常數(shù)學作業(yè)和數(shù)學習作，豐富作業(yè)形式和內(nèi)容，有效促進學生的閱讀能力、數(shù)學語言理解能力、探究能力、創(chuàng)新能力的全面提升。

二、指向拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的初中數(shù)學“閱讀與思考”課程實踐反思

（一）課程促進學生高階思維的發(fā)展

“閱讀與思考”課程作為人教版教材中的選學部分，歸屬于“綜合與實踐”范疇。本課程以楊輝三角為媒介，引領(lǐng)學生深入探究圖形中蘊含的數(shù)字規(guī)律，通過“以讀導思，以思促閱”的方式，使學生的“閱讀”與“思考”同步進行、相互促進。本課程以學生為中心，引導學生對問題進行多角度思考，不僅促進了新舊知識的有效融合，還推動了關(guān)鍵知識的遷移與運用，促進了學生高階思維的發(fā)展。

（二）課程聚焦“留白創(chuàng)造式”教學模式

指向拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的初中數(shù)學“閱讀與思考”課程，聚焦“讀、研、悟、寫”四位一體的“留白創(chuàng)造式”教學模式。此模式以學生為中心，注重學生的親身體驗，著重構(gòu)建學生思維的系統(tǒng)性框架，著力培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新能力。

（三）課程為初高中銜接提供了一種新方式

指向拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的初中數(shù)學“閱讀與思考”課程旨在尋找初高中知識與思維方法的自然銜接點，選取適宜的“閱讀與思考”材料，通過系列課程推進初高中銜接。在此課程的學習過程中，學生通過概括、歸納、類比、轉(zhuǎn)化等高階思維活動，學會運用已學知識解決問題，從而培養(yǎng)閱讀理解能力和學習遷移能力。初中數(shù)學“閱讀與思考”課程不僅為初高中銜接提供了一種新方式，還是實現(xiàn)拔尖創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)的重要路徑。

（四）課程為跨學科融合提供新范式

“數(shù)學+”跨學科學習作為一種教育新范式，它要求教師引導學生在具體真實的問題情境中，運用數(shù)學及其他學科的知識、觀念、方法和思維方式來解決問題，主動構(gòu)建知識體系，從而實現(xiàn)知識的深度理解和有效遷移。問題情境的設(shè)置是跨學科學習的關(guān)鍵，我們結(jié)合數(shù)學學科特點，探索了“數(shù)學閱讀材料+任務(wù)”的教學模式。特別的，我們依托HPM（歷史與數(shù)學教育）問題背景材料，結(jié)合具體任務(wù)，引導學生在生活情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并運用數(shù)學知識解決問題，從而培養(yǎng)學生的學科關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)，提升學生發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力，進而培養(yǎng)出具有應(yīng)用能力、學科融合能力、創(chuàng)新能力和實踐能力的拔尖創(chuàng)新人才。

［ " 參 " 考 " 文 " 獻 " ］

[1] "欒功，肖寶瑩，莫培權(quán).強基計劃背景下“雙向—五維—交互”中學數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式研究[J].中學教學參考，2023（2）：36-39.

[2] "何強.初中階段數(shù)學拔尖創(chuàng)新人才的早期識別與培養(yǎng)[J].現(xiàn)代基礎(chǔ)教育研究，2023（1）：16-21.

（責任編輯 黃春香）