聚焦新課標，巧用新教材，探索新教學

摘 要：在聚焦新課標中的理念，深刻領悟教材編寫者意圖的基礎上，筆者對“三角函數的概念”教材內容進行適當重構，通過運用信息技術以及融入三角學發展史的方式開展教學，以期加深學生對三角函數概念的理解，突出三角函數的“函數性”．

關鍵詞：三角函數的概念；數學史；信息技術；教學設計

以往教學中，三角函數與函數的一般概念以及其他基本初等函數被分隔開，概念引入時把任意角的三角函數看成是銳角三角函數的推廣，利用角的終邊上點的坐標定義三角函數.但實際上三角函數是周期函數，研究對象是周期變化現象，銳角三角函數的研究對象為三角學，故兩者沒有必要聯系.本文探索了函數主線下“三角函數的概念”教學設計.

1 聚焦新課標

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）在“基本理念”中指出：“突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法.”^［1］新課標加強了函數內容和三角函數內容的整體性，有利于學生利用已有的函數概念理解三角函數.本文的教學設計聚焦新課標，突出了三角函數是刻畫周期變化現象的重要函數模型，利用單位圓上點的坐標定義三角函數有利于學生把握三角函數的研究對象及其本質.

新課標在“設計依據”中指出：“關注數學邏輯體系、內容主線、知識之間的關聯，重視數學實踐和數學文化.”^［2］本文的數學設計通過追溯三角學發展史，幫助學生了解銳角三角函數與任意角三角函數的淵源關系，明確新舊概念間的邏輯聯系^［3］，并對概念進行辨析，揭示概念本質屬性.同時，幫助學生感悟數學的價值，提升學生的科學精神以及嚴謹的價值觀.

新課標在“實施建議”中指出：“重視信息技術運用，實現信息技術與數學課程的深度融合.”^［4］本文的教學設計重視幾何畫板的運用，通過前后兩次幾何畫板的動態演示角、其終邊與單位圓交點坐標以及三角函數值的變化，學生直觀發現規律，充分體會三角函數概念的“函數性”.同時，信息技術的融入優化了課堂教學，創新了教學方式．

2 巧用新教材

教材提供的數學知識以及思想方法是教學活動的重要依據，也是發展學生核心素養的重要資源，本文的教學設計立足教材，深刻領悟教材編寫者意圖，并適當對教材內容進行重構.

在新知引入環節，相較于教材，豐富了情境的創設，激發學習興趣.從學生熟悉的摩天輪轉動入手，引導學生體會周而復始的運動變化現象，并思考哪種函數模型可以刻畫這一變化規律.通過對摩天輪數學化，從而明確研究對象，尋找刻畫單位圓上點旋轉變化的量.

在探究環節，相較于教材，豐富了“是怎樣的函數”的探究過程.首先，借助幾何畫板動態演示，引導學生明確任意角與其橫、縱坐標間是函數對應關系.其次，通過解直角三角形、幾何畫板演示等過程，從特殊到一般得到函數關系具體表達式.最后，給出任意角三角函數的定義.

在與銳角三角函數建立聯系環節，筆者進行了重構，以例題為基礎，通過對例題分析比較，發現兩者的區別與聯系，對于學生可能存在的錯誤認知，通過適時地引入數學史得以解決，既豐富文化內涵，又加深概念理解．

3 教學設計

3.1 創設情境，尋找變量

教師呈現摩天輪轉動的圖片，引導學生發現座艙的位置變化呈現出周而復始的變化規律，以及之前學習的函數模型沒有能夠刻畫這一變化規律的，引發認知沖突，從而帶著“什么函數模型能夠刻畫”這一問題，開啟本節課學習.

問題 假設某一時刻摩天輪經過轉動到達點P處（如圖1），此時如何刻畫點P的位置？

師生活動：學生易聯想到“坐標”，教師說明“坐標”這一變量的合理性，并引導學生結合幾何特征建立合適的直角坐標系.

追問 座艙的轉動可以近似抽象成點在做圓周運動，同學們結合上一節課學習的知識，還可以用什么變量刻畫點P的位置？

師生活動：學生易想到用“旋轉角”刻畫（如圖2）.教師引導學生研究單位圓上點的旋轉運動，并說明角α刻畫位置變化的合理性，即單位圓上的點多旋轉幾圈仍可以用角α這個變量刻畫.

【設計意圖】學生經歷從“周期現象”抽象數學問題的過程，明確本節課要建立刻畫周而復始變化的函數模型，并獲得研究對象，即尋找刻畫單位圓上點的位置變化的量，發展數學抽象素養．

3.2 聯系變量，構建模型

問題 角α和點P的坐標都能刻畫點P的位置變化，它們之間有什么關系？

師生活動：借助幾何畫板的動態演示（如圖3），學生易通過數據變化直觀發現，隨著角α的變化，角的終邊與單位圓交點橫、縱坐標也在發生變化，且當角確定時，交點的橫、縱坐標也是唯一確定的.教師引導學生得到角與坐標間存在“函數”對應關系.

【設計意圖】借助幾何畫板的演示以及教師的追問，學生結合函數的概念（數集到數集的對應）以及上一課時弧度制的引入，確認兩者間的對應關系滿足函數的定義，即角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標都是圓心角α的函數，為給出三角函數的定義作好準備^［5］，突出了三角函數的“函數性”．

3.3 優化模型，構建概念

師生活動：明確函數關系后，需要進一步得到函數的具體表達式，教師引導學生從特殊角出發尋找規律.

問題1 當角α=π6時，其終邊與單位圓的交點P的坐標是什么？角α與交點橫、縱坐標的關系是什么？

學生活動：學生小組討論，通過畫終邊、作垂線、構造直角三角形后，利用特殊角的直角三角形的性質或銳角三角函數的知識求得交點坐標，并在教師引導下發現角與橫、縱坐標的關系，即x=cosπ6，y=sinπ6.

【設計意圖】學生發現特殊的角與其橫、縱坐標的關系，為進一步的探究奠定基礎，培養學生合作交流能力，提升數學運算素養.

師生活動：教師引導學生探究當角為第二象限特殊角時，求其終邊與單位圓的交點坐標，并從特殊到一般，推廣到第三象限、第四象限以及任意角的情況.

問題2 當角α=2π3時，其終邊與單位圓交點P的坐標是什么？角α與交點橫、縱坐標的關系是什么？

追問 類比α=π6得到的角與橫、縱坐標的關系，此時2π3的終邊與單位圓交點的橫坐標等于2π3的余弦值嗎？縱坐標等于2π3的正弦值嗎？推廣到第三象限角、第四象限角以及任意角，這樣的關系x=cosα，y=sinα還存在嗎？

師生活動：由于學生利用已有的知識無法證明，教師引導學生借助幾何畫板進行觀察（如圖4），并發現對于任意的角，都有以上關系存在，從而得到函數關系的具體表達式.在此基礎上，教師明確給出任意角的正弦函數、余弦函數的概念.

角α的終邊與單位圓交點坐標P（x，y），角α與橫坐標x，縱坐標y具在怎樣的關系？

αxpypsinα

0.34弧度0.940.940.330.33

結論：任意給定一個角α，它的終邊與單位圓

的坐標P（x，y），有x=cosα，y=sinα

【設計意圖】學生經歷“是函數”到“是怎樣的函數”的探究過程，采用從特殊到一般的方法，得到函數關系的具體表達式，解決學生疑惑，并借助單位圓上點的周期性變化明確了正弦函數、余弦函數的概念及定義域，突破了教學的重點與難點.

問題3 初中還學習了銳角的正切，在單位圓中銳角α的正切可表示為yx.那對于任意角α，點P的縱坐標與橫坐標的比值yx是α的函數嗎？

師生活動：教師引導學生要注意到x≠0，即角α的終邊不能落在y軸上，進而給出正切函數的概念以及定義域.同時，教師引導學生得到三角函數的一般形式，并對兩種表達方式中x、y的意義進行辨析.

追問 三角函數的對應關系是什么呢？

師生活動：教師引導學生明確對應關系是角直接對應到交點坐標，是幾何元素的直接對應.

【設計意圖】教師類比正、余弦函數概念的獲得，引導學生明確正切函數的概念、定義域，并體會三角函數對應關系是根據幾何圖形來確定的，感悟與其他基本初等函數的不同，同時加深對一般函數概念的理解．

3.4 應用模型，加深理解

例1 利用三角函數的定義求5π3的正弦值、余弦值、正切值.

師生活動：在學生計算并發言后，教師引導學生從定義出發總結求三角函數值的基本步驟，并得出答案.

例2 如圖5所示，設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為（x，y），點P與原點的距離為r，求證：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx．

師生活動：教師引導學生思考完成以下問題，并引導學生得到三角函數的另外一種定義方式.

問題1 根據三角函數的定義作圖表示sinα，cosα.

問題2 在你所作圖形中，yr，xr，yx各表示什么？你能找到它們與任意角α的三角函數的關系嗎？

【設計意圖】對三角函數概念進行簡單應用.學生借助相似三角形的知識，得到任意角三角函數的另外一種定義，教師引導學生分析兩種定義的關系，并感知兩種定義方式是等價的．

3.5 關聯探究，史料融入

關聯：借助例1，觀察討論，得到銳角三角函數與任意角的三角函數的區別與聯系如下（見表1）.

師生活動：學生總結、歸納兩者在角的范圍、函數值的符號、對應關系方面存在著差異.同時，教師引導學生發現兩者在研究對象上也是不同的，故性質也就不同，再通過追溯三角學的發展史，建立起兩者的聯系，同時滲透數學文化.

【設計意圖】沿著概念學習的一般路徑，明確概念以及應用后，將其與相關概念建立聯系，納入概念系統.通過對比以及數學史料的融入，學生發現兩者的淵源關系，同時認識到不能將任意角三角函數僅僅看作是銳角三角函數在角的范圍上的推廣，兩者研究對象不同，性質也不同，感悟數學學習的嚴謹性.同時，通過追溯數學史，感悟數學發展的曲折性與前進性，激勵學生勇于開拓創新.

4 幾點思考

4.1 函數觀念引領

本文的教學設計希望突出三角函數的“函數性”，以研究函數的一般觀念作為研究的基本路徑，從實際問題出發，歸納概括，建立模型，抽象概念.在課堂伊始，筆者強調三角函數可以用來刻畫現實世界中的周期變化規律，在研究變量間的對應關系時，緊扣函數概念，并明確三角函數的三要素.

4.2 問題引導思考

思維從問題開始，思維活動又形成新的問題.筆者以“問題串”的形式，發揮學生主體地位，不斷引導學生思考、經歷現實背景—研究對象—對應關系—定義—簡單應用—概念間的聯系的過程，啟發學生歸納概括概念的本質，并建立相關概念的聯系，

加深對概念的理解.

4.3 文化融入課堂

在任意角的三角函數的學習中，學生易將其與銳角三角函數建立聯系，并出現“是銳角三角函數的簡單推廣”的錯誤認知.筆者通過追溯三角學發展史^［6］，滲透數學文化，讓學生知曉概念發展的歷程，體會知識發展的曲折與前進，同時體會數學的嚴謹性以及前人的科學精神，從而提升學生數學素養．

參考文獻

［1］［2］［4］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版 2020 年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［3］章建躍.為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數［J］.數學通報，2007（1）：15-18．

［5］沈源欽，肖勇鋼.貫徹新課標，立足新教材，凸顯新思考——“三角函數的概念”（第1課時）的教學新設計［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2021（16）：33-38．

［6］王淼生.追尋三角發展史 領悟主編意圖 理清教學困惑［J］.中國數學教育，2016（Z2）：3-7+17．