數字化資源和數學方法論協同的高等代數線上線下課程建設探索

摘 要 高等代數是飛行器動力工程專業的基礎必修課程，在專業培養體系中起著重要作用。文章針對一直以來學生表現出的抽象概念缺乏數學方法論、引例缺少數字化資源和自主學習缺少數字化工具等問題，闡述如何通過構建數字化資源，并借助線上課程將數學方法論及其他啟發性內容融入線下課程主體的方式，建設一門面向抽象思維能力和自主學習能力培養的高等代數課程，為卓越航空工程師的培養提供參考和借鑒。

關鍵詞 數學方法論；數字化資源；高等代數；課程建設

中圖分類號：G424 " " " " " " " " " " " " " " 文獻標識碼：A " " DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.29.028

Construction of online and offline courses in Advanced Algebra under the"combination of Mathematical methodology and digital resources

LIU Wenran， XU Dengming

（Civil Aviation University of China， Tianjin， 300300）

Abstract Advanced Algebra is a fundamental and compulsory course in Aircraft Power Engineering， playing an important role in the professional training system. The article aims to address the problems of abstract concepts lacking mathematical methodology， examples lacking digital resources， and self-learning lacking digital tools that students have always shown. It elaborates on how to construct digital resources and integrate mathematical methodology and other inspiring content into the main body of offline courses through online courses， in order to build an advanced algebra course that focuses on the cultivation of abstract thinking ability and self-learning ability， providing reference and inspiration for the cultivation of outstanding aviation engineers.

Keywords Mathematical Methodology; digital resources; Advanced Algebra; Course Construction

在新工科背景下[1]，高等代數作為飛行器動力工程專業的本科基礎課程，是為學生打下堅實數理基礎的關鍵，也是培育未來工程師的重要基石。中國民航大學中歐航空工程師學院（以下簡稱“學院”）借鑒法國精英工程師培養模式，以培養數理基礎深厚，系統掌握航空發動機及衍生領域專業知識的國際化科技創新人才為目標。在這一目標指引下，學院對全部課程均提出了明確的工程科學屬性要求。

筆者主講的課程“高等代數”，作為飛行器動力工程專業本科二年級學生的必修課程，其教學內容雖相較于數學專業的代數課程有所精簡與調整，但在培養抽象思維能力和自主學習能力的目標上是不變的。然而，從過往教學實踐反饋中發現，盡管學生在知識掌握層面表現尚可，但在思維塑造與能力提升方面仍有待加強，這凸顯了深化課程改革、優化教學體系的緊迫性。為此，課程組創新性地提出了將數學方法論的內容與課程內容融合起來[2-3]，同時數字化資源的輔助下[4]，開展線上線下課程建設，力求在傳授知識的同時，更加注重對學生嚴謹科學思維的塑造與學習能力的提升。本文旨在探討如何沿著這一創新思路，構建線上線下相結合的一流課程建設方案。

1" 課程教學中的主要問題

1.1" 抽象概念缺少方法論

抽象的數學概念往往是由某個具體的概念通過數學方法抽象得到的。以“向量空間”的概念為例，它是將中等數學中具體的“平面向量”的概念通過“公理化方法”抽象得到。同樣，“投影”的概念是由“平面向量向坐標軸投影”通過“弱抽象方法”得到，“最大公因式”的概念是由“最大公因數”通過“類比方法”得到。數學概念的由來和數學方法論存在聯系。因此，讓學生先理解數學方法論再學習概念更符合學習心理學[5]，有助于學生更深刻地理解和掌握抽象的概念。

1.2" 引例缺少數字化資源

“弱抽象方法”定義的概念抽象度普遍較高。所謂“弱抽象方法”，簡單地說就是概念變得更一般化了。對于這樣由具體到一般的過程，學生理解起來自然難度很大。因此，在給出概念前設置若干引例是必不可少的。而僅靠板書講解引例會顯得十分呆板，數字化資源可讓其更加形象和直觀地呈現。這不僅提高了教學效率，還激發了學生的學習興趣，使教學事半功倍。

1.3" 自主學習缺少數字化工具

自主學習是學生提升自我、深化理解的重要途徑。學生之前的學習多依賴于紙筆完成課程習題和作業。然而，從長遠來看，這種單一的學習方式并不利于學生適應未來的數字化環境。因此，在建設課程的自主學習模塊時，我們應積極融入數字化工具[6]，培養學生的數字化技能，讓他們在實踐中理解所學的知識。特別是在如高等代數這樣的基礎課程中，部分習題既可用紙筆求解，又可用數字化工具進行求解。一題雙解豐富了學習方式，也使學生接觸到了更多學習資源。從另一方面看，這也是為參加大學生數學建模競賽提前作了準備。

可見，課程建設有其必要性和緊迫性，關鍵在于抽象的數學概念，因為概念的抽象度高一直是學生學習的主要障礙也是教師講授的難點[7]。因此，在課程建設中，我們需特別注重這些概念的起源、所涉及的數學方法，以及它們之間的內在邏輯關系。

2" 課程建設的內容與特色

本課程選用的教材為中國民航大學“十四五”規劃卓越工程師培養系列教材之《高等代數》[8]。在飛行器動力工程專業的本碩一貫制培養體系中，學生將經歷“學―做―研”三個階段。在本科階段僅涉及“學”和“做”。以往，學生大多局限于教材和課程習題。通過課程建設，數字化資源包含的豐富學習材料和互動學習平臺讓“學”變得多元化。數字化工具的引入激發了學習興趣，拓寬了學生的視野，讓“做”不再是枯燥的“做題”， 而是一個尋找解決辦法的過程。這種過程既包括查閱書籍資料也包括學習使用數字化計算工具（如一些網站和程序設計軟件），十分貼近未來的科研工作狀態。課程建設內容總體架構如圖1所示。

2.1" 線上課程建設方案與融合策略

本課程共有理論課84課時和習題課52課時，整體上分為前六章代數基礎和后五章線性代數兩個部分。代數基礎部分以“自然數集”“整數集上的算術”和“基本代數結構（群、環、域）”為主要內容，線性代數部分講解“向量空間”“線性映射”“矩陣”“線性方程組”和“行列式”。筆者將課時與知識內容綜合考慮構建出一套線上線下結合的課程體系及配套資源。代數基礎部分的知識難度適中，在歸納、抽象和類比等數學方法的融入和引導下，學習過程不再僅限于知識的增長，更是數學思維的訓練。前導課程“數學中的論證和表達”的設置是為了系統性地簡介論證方法和數學表達規范。這是學生在以前學習中所欠缺的。空間解析幾何知識設置在兩個部分之間，起銜接作用。既是對代數基礎部分涉及的數學方法做了一個總結，又是為接下來的 “向量空間”“線性映射”等抽象概念作一個鋪墊。在線性代數部分，線上課程內容取自教材中適合自主學習的章節。在保持教材框架的基礎上，課程組對一些內容進行了適當的拓展和深化，以滿足不同層次學生的學習需求。

2.2" 數字化資源的構建

課程建設完成構建線上理論課八次、習題課六次、前導課一次。理論課分別為輾轉相除法（歸納方法）、環與模n剩余類環（抽象方法）、多項式環上的算術（類比方法）、空間解析幾何知識選學、投影與對稱（類比與抽象方法）、線性方程組、行列式定義的由來、總結與展望。習題課分別為費馬小定理和中國剩余定理、循環群和拉格朗日定理、一元三次方程的求根公式、仿射空間簡介、分塊矩陣及其應用、矩陣的LU分解。

歸納、抽象、類比三種數學方法分別在第四、五、六三章融入。學生能熟練運用輾轉相除法求解最大公因數還不夠，還要領悟其背后的歸納思想。抽象方法用于定義“環”的概念，“模n剩余類環”是一個具體的例子。類比方法將多項式環與整數環上的算術對照起來，但慣性思維導致學生更多關注兩個類比對象的相似之處而忽視其區別，特別是在理論架構層面。因此，筆者在課程視頻中著重講解理論架構在多項式環與整數環上的區別。線性代數部分的“投影與對稱”是類比和抽象兩種方法的綜合應用。

每節線上理論課程平均錄制40分鐘講授視頻，將時長分配至知識主體和方法論、隨堂練習及參考材料導讀三個部分。知識主體和方法論約25分鐘，隨堂練習約5分鐘，用于檢驗學生的學習成果，及時發現并糾正理解上的偏差。參考材料導讀約10分鐘，是學生必須完成的學習任務點。筆者選取適當的參考資料經過提煉制作成課程材料，并通過導讀的方式引導學生閱讀。這種設置拓寬了學生的知識視野，更重要的是教會了他們自主學習的方法，同時鼓勵學生在課后自覺進行探究和學習。

2.3" 線上線下內容的整合

從知識傳授的角度看，線下課程是主體，面授確保學生扎實掌握核心知識，線上課程扮演了輔助與補充的角色。從自主學習能力培養的角度看，線上課程是主體。它鼓勵學生獨立思考，通過完成任務點，不斷提升自主學習能力。線下部分的答疑和指導變成了輔助，教師為學生提供必要的幫助和支持。這種線上線下有機結合的教學模式，優化了學習資源的配置，提高了學生的學習效率。另外，線上課程具備獨立性的特點，可以單獨構成一門講解數學方法論的迷你課程。這一特點為未來的課程建設與轉型留下了可能。

線上內容與線下的整合有三種類型：總結升華型、開放拓展型、課程思政型。“投影與對稱”“分塊矩陣及其應用”設置于第七、九章末尾，屬于總結升華型。這種類型先鞏固線下課程，對前面章節知識進行梳理和整合，再進一步提煉和升華。學生在一章知識的末尾處站在更高的視角去審視所學知識，促進深度理解和應用。

“仿射空間簡介”“矩陣的LU分解”屬于開放拓展型。這種類型基于課程大綱，通過引入新的概念和方法拓寬知識面。仿射空間作為向量空間概念的拓展，為學生提供理解線性方程組解的結構定理的新視角。LU分解作為另一種求解線性方程組的方法有助于整合梳理由矩陣至線性方程組這一段的知識。“費馬小定理和中國剩余定理”屬于課程思政型，以思政導向進行構建。值得強調的是，在線上線下內容的整合中，必須確保核心章節、重要概念、命題、定理的主體地位，切勿本末倒置。這些內容是課程的根基，均放在線下課程中采用板書與幻燈片相結合的方式講授。

2.4" 作業形式多樣化

在本次課程建設之前，課程作業存在時間節點固定、題型單一、學生書面作答的數學表達不規范等問題。 針對數學表達，前導課程視頻對數學中常用的邏輯字詞及規范的語言表達作了講解，也作了具體的示范。預習作業和課后小結作業依托學習通平臺布置。預習作業讓學生在聽課前對重要概念先有一個初步認識，為線下課聽講打一個基礎。課后小結作業針對易混概念進行鞏固訓練，幫助學生及時糾正錯誤認知。此外，線上計算網站Wolfram的使用練習及參考材料的查找練習，為學生提供了豐富的學習資源和實踐機會。這些突破傳統解題型的作業模式讓學生感到新穎有趣，增強了自信心和成就感，培養他們的自主學習能力和信息檢索能力。

3" 實施效果反饋

3.1" 依托知識圖譜的形成性反饋

課程組采用超星學習通知識圖譜中的知識點掌握率功能模塊觀察學生的掌握程度。舉例來說，課程組從第8至第10章分別選取難度由低到高的三個知識點“向量空間的基”“初等變換的應用”“線性映射的表示矩陣”。同時，按時間先后選取 “階段作業”“復習題一”“復習題二”“期末測試”四個時間節點來觀察。通過作業的批閱數據評估知識點的掌握率。為了使評估更加客觀和準確，掌握率以作業批閱分數與難度系數的乘積計算，得到下面的知識點掌握率與時間節點的關系表。

表1 知識點掌握率與時間節點的關系表

考慮到學習能力的個體差異，對“階段作業”“復習題1”和“復習題2”完成的過程給予一定靈活性。在兩周時間內，學生既可獨立完成也可小組討論完成，抑或獨立完成基礎部分，有難度的部分合作完成。從期末測試的數據反饋來看，簡單知識點無須教師過多介入。針對中等難度知識點，教師的介入幫助效果比較明顯，這反映了適時的指導和反饋對于學生學習的重要性。而對于難度大的知識點，線下答疑的效果具有延遲性，這提醒教師要有耐心地給予學生更多的時間和空間去思考和理解。總體上，實時跟蹤的掌握率和期末成績一致，這也說明了依托知識圖譜的評估體系的有效性。

3.2" 期末測試反饋和存在的問題

通過分析期末測試得分數據得知，學生在不同知識點上的掌握情況存在差異，同時也揭示出后續需要重點關注的問題。線性方程組一題雖然難度超出課程習題，但得分率達83.7%，說明大部分學生已完全掌握線性方程組的求解要領。涉及向量組的線性無關性、過度矩陣這兩個抽象概念的題目得分率分別為67%和60%，反映出學生已經理解這些概念，但應用起來尚不嫻熟。一方面，這些概念本身較為抽象、難以理解，另一方面說明教學中應對這些概念的講解配備更多的實例和練習，幫助學生加深理解。測試也反饋出了薄弱環節。筆者命有一道證明題，需使用矩陣的秩的定義，得分率僅為31%。這暴露了學生在使用定義完成論證方面的短板。在今后的教學中，應更加注重引導學生理解定義的本質和內涵。

4" 結語

課程原先存在的問題源自數學概念的高抽象度。在數學方法論的幫助下，學生了解了概念的由來，理解得自然更深刻。受課時所限，單獨講解數學方法論并不可行，所以將數學方法論的內容和課程內容融合起來，隨課程章節的推進逐步講授。我們通過構建一套既系統又富有啟發性的線上課程及其配套資源，依托數字化工具初步建設了一門線上線下融合的課程。這在一定程度上解決了一直以來課程存在的一些問題，在實踐中取得了一定效果，但也有不盡如人意之處。未來，我們將繼續關注學生的學習反饋和需求變化，不斷優化和完善課程內容與形式。

基金項目：2023年中國民航大學課程分級卓越建設項目（B1類）“線上線下混合式一流課程‘高等數學（4）’”（CAUC-2023-B1-021）。

參考文獻

[1] 袁怡佳.面向新工科卓越工程師培養的基礎課程跨學科實踐[J].高教學刊，2024，10（20）：13-16.

[2] 官運和.數學方法論[M].北京：清華大學出版社，2020.

[3] 徐利治.徐利治數學科學選講數學方法論[M].大連：大連理工大學出版社，2018.

[4] 杜秀清.基于應用驅動的高等數學數字化教學資源庫建設研究與實踐[J].數字技術與應用，2020，38（12）：223-225.

[5] 唐衛海，劉希平.高等教育心理學[M].天津：南開大學出版社，2014.

[6] （美）斯蒂芬J.查普曼.MATLAB程序設計[M].北京：機械工業出版社，2018.

[7] 劉文然，徐登明.淺談新工科背景下代數學課程面臨的挑戰及應對策略[J].科教導刊（電子版），2023（33）：96-98.

[8] 徐登明，劉文然.卓越航空工程師培養系列教材之高等代數[M].北京：北京航空航天大學出版社，2023.