幾何背景下的線段最值模型探究指導

【摘要】幾何背景下的線段最值模型在解題時應用廣泛，常見的有垂線段最短模型、將軍飲馬模型和旋轉最值模型.教學指導時建議深入分析模型原理，探索構建策略，再結合實例強化訓練.同時開展解法評析，總結破題策略.

【關鍵詞】線段最值；初中數學；解題技巧

幾何背景下的線段最值問題較為常見，問題解析需要確定具體模型，再選用對應定理解析構建.常見的模型有三類：一是垂線段最短模型，二是將軍飲馬模型，三是旋轉最值模型.下面結合實例探究模型，總結破題策略.

1垂線段最短模型

垂線段最短模型是關于“直線與點”的幾何模型，教學中可借助具體直觀圖形引導學生理解何為垂線段.如圖1所示，垂線段的一端為一個點，另一端為垂足，顯然垂線段就為垂線的一部分.問題探究時確定模型后，作垂線，明確垂線段，進而判斷線段最值.

例1如圖2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點D是BC的中點，而點P是AC上的一個動點.連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，再連接CQ，則CQ的最小值是_____.

解題指導求CQ的最小值，其中△PDQ為動三角形，總體思路為借助全等三角形性質來等線段轉化，構造垂線段模型求線段最值.

解析在CD的上方作等邊△CDM，連接PM，DM，CM，過點M作MH⊥CB，設垂足為點H，如圖2中的虛線所示.通過線段和角度分析，可證△DPM≌△DQC（SAS），可推知PM=CQ，則只需求PM的最小值即可.

分析可知，當PM⊥MH時，PM為最小值，此時最小值等于CH=1/2CD=1，即CQ的最小值為1.

解法評析上述解析過程中借助了垂線段最短模型，整體上分為兩步：第一步，全等轉化，轉化為探究線段PM；第二步，構建垂線段模型，求解最小線段.對于該模型的教學指導，建議按照“模型判斷→作垂線段→列式計算”的流程開展.

2將軍飲馬模型

將軍飲馬模型，即探究“定點1—直線上動點—定點2”的線段最值，呈現形式為線段和的最值.模型破解的核心知識為“對稱轉化+兩點距離最值”.問題呈現的形式多樣，解析時需要關注兩點與直線之間的相對位置關系.

例2如圖3所示，在等腰三角形ABC中，已知其底邊BC=6，其腰AC的垂直平分線EF與三角形的兩條腰AC和AB交于點E和F.其中點D為BC上的中點，點M為線段EF上的一個動點.

如果△CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為.

解題指導本題目以等腰三角形為背景進行逆向探究，即探究周長最值情形下的面積大小，實際上依然為線段最值問題，其關鍵是確定點M的位置，可以借助將軍飲馬最值模型來分析.

解法評析上述問題采用逆向探究的思路，即根據周長最值確定關鍵點位置，求解三角形面積.教學指導時，引導學生掌握“對稱轉化”的兩種思路：一是主動進行對稱轉化，即作對稱點；二是挖掘圖形中的對稱關系，關注其中的垂直平分線、角平分線等.

3旋轉最值模型

旋轉最值模型，即根據“旋轉+點共線”構建與線段相關的最值模型.解析過程中，關注其中的幾何角、線段長，通過圖形旋轉的方式來進行等線段轉化，再利用“共線定理”來求解最值.該方法模型適用于“費馬點”問題和三角形三邊關系問題.

解法評析上述解析三線段的最小值時采用了旋轉轉化的策略，通過構建“旋轉最值模型”，即將△APC繞著點C順時針60°得到△DFC，將三條線段轉化到同一條直線上.解析指導時，需要引導學生關注線段所涉點的位置，根據相關關系及目標直線來提取旋轉角，確定旋轉方案.

4結語

總之，上述所呈現的垂線段最短模型、將軍飲馬模型和旋轉最值模型在解題時應用廣泛.教學中要引導學生總結常見的最值模型，構建解題流程，指導學生按照“問題分析→模型判斷→作圖轉換→列式計算”的流程開展問題分析.