基于課堂視頻的青年教師橢圓課堂教學特征研究

【摘 要】 研究以TIMSS 課堂視頻分析框架為重要參考，通過定義教科書依賴參數（TDP）建立了涵蓋教科書、數學史和ICT的教學資源使用水平三維模型，進而構建了通用性與學科性兼具的課堂教學分析框架；基于該框架，使用MAXQDA軟件對10位青年教師的橢圓課堂視頻和相關文本數據進行分析.研究發現：教學目標存在淺表化、碎片化、形式化和標簽化的問題特征；教學線路體現了“具象化情境創設、幾何化數學實驗、抽象化合情推理和形式化代數推理”的學科特征；教學資源使用水平表現出橫向差異化和縱向極端化的理念沉默特征，“用教材教”的內涵異化已演變為教學實踐中的現實問題.為青年教師提出以下建議：深化素養導向的觀念轉變層次、尊重教科書的正當權威并提高解讀能力、加強課堂教學中的邏輯嚴謹性.

【關鍵詞】 課堂視頻；教學特征；青年教師；橢圓

1 問題提出橢圓知識在教學中具有特殊地位，這促使大量學者對其教學進行研究，相關討論主要集中在以下幾個方面：一是從不同的理論視閾對橢圓進行教學設計，如HPM視角、建構主義理論、范希爾理論、數學三個世界理論等^[1-3]；二是探討橢圓教學中核心素養的實踐路徑以及不同教學模式的應用^[4-5]；三是圍繞橢圓高考數學試題的解題研究^[6]；四是對橢圓教學中的微觀環節進行討論，這類研究往往內隱于教學設計中.如有學者認為，多數教師在創設情境時只注重橢圓外形的直觀，將學生強制代入發現橢圓定義的預設方案中，學生難以觸及橢圓的本質^[7]；教師在橢圓教學中追求快講多練，存在數學核心素養培養的短視行為，學生在課堂中存在數學運算困難等問題^[8].綜上所述，現有研究主要聚焦于經驗性的教學設計與優化，缺乏針對橢圓課堂教學特征的實證分析，尤其較少關注青年教師的教學實踐.基于此，本研究以10節橢圓課堂視頻為研究對象，深入探討青年教師在橢圓教學中的關鍵特征并提出改進建議，這對青年教師的成長和橢圓教學的優化具有重要意義.

2 研究設計

2.1 研究對象

本研究選取第十屆和第十一屆高中青年數學教師課例展示活動中的8節課堂視頻，以及B市某青年教師課例展示活動中的2節課堂視頻為研究對象.10位青年教師均使用人教版教科書，其中教師T8使用B版，其余9位教師使用A版，授課內容均為“橢圓及其標準方程”.具體而言，教師T1、T2、T3、T4使用2004版選修2-1，教師T5、T6、T7使用2019版選擇性必修第1冊，教師T8、T9、T10使用2004版選修1-1.

2.2 理論框架

課堂教學特征通常指課堂教學中體現出的有代表性且穩定的行為模式，涵蓋教學目標設定、教學內容組織以及教學資源使用等.本研究借鑒TIMSS1995和TIMSS-R中關于課堂教學特征的相關維度^[9]，從教學目標、教學線路和教學資源三個維度來分析青年教師的課堂視頻和文本數據.

“教學目標”指教師期望學生通過課堂學習得到哪些素養的發展，它是課程目標的具體化和細化.在高中數學教學中，課程目標的主要價值取向是發展學生的核心素養，這些核心素養主要體現在以下四個方面：情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思^[10]75.因此，教師在設計教學目標時應以這四個方面為基本依據和理論框架.此外，有學者建議應將必備品格與正確價值觀融入教學目標中^[11].綜合考慮，本研究將從上述五個方面進行教學目標維度的分析.

“教學線路”指教師在課堂教學中為達成教學目標而精心設計的教學環節與流程^[12].利用《普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）》（以下簡稱新課標）在詳盡程度和清晰程度上的優勢建立該維度的分析框架.新課標建議，平面解析幾何的教學應經歷以下過程：背景分析→概念形成→方程建立→問題解決^[10]45.由于問題解決環節主要會出現在本課例的后續學習內容中，故本研究選取前三個環節作為本課時課堂教學的分析框架." 圖1 教學資源使用水平三維模型

“教學資源”指為教學活動提供支持和幫助的各種工具、材料和技術等資源的集合，是課堂活動順利開展的必要支撐和保障.信息通信技術（ICT）、數學史和教科書是開展橢圓課堂教學的核心資源^[13]714，研究將其作為分析教學資源使用水平的三個子維度（如圖1）.需要說明的是，本研究認為，教科書內容的增刪、修改和再創并非教學活動的必要行為，教師應尊重教科書的正當權威^[14]，人教版教科書中的例題與習題，其編選的原則是幫助學生深入理解圓錐曲線的幾何特征，通過解題感悟解析幾何蘊含的數學思想，教學中應充分利用教科書中的例題和習題^[13]264.

因此，在橢圓教學中，教師對教科書的忠實程度越高，說明其對教科書的理解與運用水平越高.借鑒章全武的已有研究^[15]，我們定義“教科書依賴參數（Textbook Dependency Parameters，TDP）”，用于量化教師對教科書的使用情況①.將上述三個子維度分別劃分為低（A1，B1，C1）、中（A2，B2，C2）、高（A3，B3，C3）三個水平，見圖1.這三個子維度在實踐教學中會相互結合，形成AiBjCt（i=1，2，3；j=1，2，3；t=1，2，3）27種組態情況，基于此將教學資源使用水平定義為低、中、高三個類別，見表1.

2.3 研究方法與流程

本研究采用課堂視頻分析與文本內容分析相結合的方法.首先，對10節課堂視頻進行逐字轉錄，生成文本數據；隨后，使用MAXQDA軟件對數據進行分析與編碼；最后，基于編碼數據的定量分析，結合文本數據，從三個維度對青年教師的橢圓課堂教學進行深入的定性分析，以期為教學改進提供實證依據.

3 研究結果與分析

3.1 現實的困境：從三維目標到核心素養的繼承與超越

自新課標頒布以來，教學目標的定位逐漸從三維目標轉向核心素養，核心素養的培育成為教學的核心導向和價值追求.在設計教學目標時，青年教師應更加注重知識、能力與情感態度的整合，以促進學生的全面發展.分析表明，盡管青年教師在教學目標的價值取向上已有所調整，但整體上仍未超越三維目標，尚未完全實現素養導向的目標設計.

一是教學目標淺表化，內容設計仍以三維目標為主，較少涉及思維與表達以及交流與反思兩個維度的目標.在10位教師中，只有1位預設了不同表征間的轉化目標（例如，學生能夠用文字和符號描述橢圓定義）；此外，作為單元的起始課，只有3位教師設計了單元教學目標.二是教學目標碎片化，大部分青年教師在設計教學目標時能夠逐條描述，但各條目標缺乏明確主題，存在內容重疊和邏輯不清的問題.三是教學目標形式化，部分青年教師以新課標中的相關要求為基礎，采用“教學目標+目標分析”的形式進行設計；但也有部分教師忽視學生的現實水平，對新課標中的相關要求或教師用書中的教學提示照搬照抄，使教學目標的設計流于形式，缺乏現實意義.四是教學目標標簽化，部分教師將與本課時無必然關聯的核心素養目標全部列入教學設計，顯示出青年教師對授課內容與核心素養具體表現之間的對應關系認識模糊，對課程內容的整體認識有待進一步加強.

3.2 路徑的循證：以外層“四階段”為本質表征的實踐樣態

通過對課堂視頻的迭代分析，發現青年教師的橢圓課堂教學線路可以歸納為四個階段：具象化情境創設→幾何化數學實驗→抽象化合情推理→形式化代數推理，見圖2.

3.2.1 背景分析：基于新課標的具象化情境創設

依托合適的教學情境，使抽象的數學知識獲得豐富的意義，是發展學生核心素養的內在要求與應然追尋.分析發現，在背景分析環節，絕大部分教師能按新課標中的相關要求設計教學情境.主要方式是利用圖片或視頻展示行星和人造衛星的軌道、橄欖球、卡塞格倫天線、中國天眼等物體的形狀，觀察水杯傾斜后斜截面的形狀等，以幫助學生形成對橢圓的概念表象，了解橢圓在科研、生產和日常生活中的重要應用.這些情境涵蓋數學、生活和科學等方面，是青年教師對新課標的創造性實踐.

3.2.2 概念形成：幾何化數學實驗與抽象化合情推理的協同推演

概念形成是橢圓教學的核心環節.在10位教師中，有3位（T1—T3，以下稱A組）在該環節采用了發生教學法，7位（T4—T10，以下稱B組）選擇了一般教學法；A組教師的平均用時約為25.6 min（占總時的59%），B組教師約為11 min（占總時的24%）.分析發現，該環節具有以下兩個特征：一是幾何化數學實驗，即在現實世界或虛擬網絡空間中，通過幾何手段探索、驗證和應用數學概念、定理或方法的教學活動，這體現在觀看旦德林雙球模型實驗（視頻或動態幾何軟件演示）和動手操作兩釘一線實驗兩個環節；二是抽象化合情推理，即通過對實驗現象或具體數學情境的分析、歸納或類比，抽象出具有一般意義的數學概念、定理或規律，并借助數學語言進行形式化表達的過程.這一過程體現在橢圓軌跡定義的兩種形成方式中：一種是通過焦半徑的性質，直接抽象出橢圓的軌跡定義；另一種是通過類比圓的定義，推導出橢圓的軌跡定義.

在實踐教學中，兩種教學法的基本路徑是：在截線定義的基礎上，通過幾何化數學實驗得到橢圓的焦半徑性質，探索焦半徑之和需大于焦距這一限制條件，最終通過抽象化合情推理得到完整的軌跡定義.有研究指出，從截線定義到焦半徑性質的教學過渡存在較大困難^[1].本研究發現，兩組教師通過滲透數學史或在幾何特征和研究方法上建立圓與橢圓的數學關聯，較為自然地實現了這一過渡.此外，在完善定義條件時，B組教師的過渡更為流暢，部分學生在開展兩釘一線實驗時就發現了“兩釘間的距離需小于繩長（焦半徑之和大于焦距）”這一限制條件.相比而言，A組教師的課堂需先完成由“空間實驗”向“平面實驗”的幾何過渡，進而才能得到完整的軌跡定義.總體來看，幾何化數學實驗與抽象化合情推理這兩個環節遞進互補、緊密銜接，共同促進了橢圓概念的形成.

3.2.3 方程建立：基于形式化代數推理的內層四階段模型

橢圓作為刻畫現實世界的一種重要數學模型，其方程建立過程實質上是一種形式化的代數推理過程.深入分析發現，橢圓教學中的這一環節可以進一步劃分為直觀化幾何感知→主體性數學運算→主觀性教材呈現→互逆化數形結合四個內層階段.

其中，直觀化幾何感知是借助幾何直觀感知事物的形態與變化，進而為建立數與形的聯系奠定基礎的直覺思維過程.在橢圓教學中，這表現在通過幾何直觀感知橢圓的對稱性，進而利用這一特性建立平面直角坐標系的過程.在教學實踐中，大部分青年教師能夠引導學生對橢圓進行直觀感知，思考怎樣建立坐標系最合適.但是，也有部分教師（T1、T10）沒有設計這一環節，導致學生在建立坐標系時出現差異，如有學生以焦點為原點建立坐標系，且由于時間原因，該問題未能在課堂中充分討論.

主體性數學運算是學生在明確運算對象的基礎上，通過自主探究運算思路并獨立進行數學運算，最終求得結果的過程.在橢圓教學中，這表現為學生根據橢圓的軌跡定義列出代數式并進行化簡的操作過程.分析發現，大部分青年教師能夠為學生提供一定的時間進行自主探索、構造與推導，這一過程的平均時間約為4分鐘.在運算過程中，大部分學生選擇了移項平方法，這表明他們能夠針對具體數學問題形成并選擇合適的運算思路.但是，當教師“喊停”時，10位教師的課堂中仍有學生在運算，這一方面表明教師為學生預留的運算時間不夠充裕，另一方面也反映出學生的數學運算能力較低.

主觀性教材呈現是指教師在教學環節中嚴格遵循教科書的教學觀念和編排方式，忠實呈現教科書內容，以確保教學的一致性和規范性.在橢圓教學中，這主要體現在對長半軸、短半軸和半焦距幾何意義的探究上.分析發現，10位教師在這一環節中完全按照教材編排進行教學，見圖3，這是合理且必要的，反映了青年教師在該環節中對教材內容的高忠實度.

互逆化數形結合是指從數的角度理解形的屬性，從形的角度推導數的性質，從而實現數與形之間的相互轉化和逆向推理.在橢圓教學中，這主要體現在焦點在y軸上的標準方程的推導過程.在這一環節的處理上，一部分教師引導學生分析焦點位置與橢圓圖象的關系，并從“數”的角度驗證這些“形”的推測.另一部分教師則從“數”的角度進行分析，如通過引導學生對比代數式 （x+c）2+y2+ （x-c）2+y2=2a和 （y+c）2+x2+ （y-c）2+x2=2a的結構，類比得到焦點在y軸上的標準方程.這樣的處理方式可能會影響學生感悟數形結合思想的機會，限制他們對數與形之間關系的理解，也使得“思維與表達”維度的教學目標難以實現.

3.3 理念的沉默：橫向差異化和縱向極端化下的轉變瓶頸

分析發現，10位青年教師中，有3位的教學資源使用水平為低水平，7位為中水平，無高水平.以各子維度達到的水平（1，2，3）為賦分依據，發現使用2019版、2004版選修2-1和2004版選修1-1的教師平均得分依次為：5.33、5.25和4.00，見表2.從這個角度來看，面對課程改革中的理念變化，青年教師保持沉默，幾乎沒有“回應”.深入分析發現，青年教師的教學資源使用水平具有橫向差異化和縱向極端化的特征.

從橫向來看，雖然10位青年教師在每個子維度的總得分相近（17、17、15），但每個子維度內部的得分情況差異明顯.例如，教科書和數學史兩個維度的總得分一致，但數學史維度的得分明顯更為均衡，這表明大部分青年教師能有意識地在課堂中滲透數學史，這一行為通常發生在課堂前半段，主要體現在課堂引入和由截線定義向數學實驗過渡兩個環節.可以發現，數學史的使用水平不高，以水平1、2為主，這是因為課堂中的史實滲透較為零碎和混亂，部分教師對“圓錐曲線的發展史”和“平面解析幾何的發展史”任意截取和重組，忽視了史料的銜接和重組的邏輯性，史實滲透流于形式，數學的文化價值未能充分體現.

從縱向來看，不同青年教師在教科書和ICT使用方面的得分具有極端化現象.在教科書使用水平方面，10位教師中有7位的TDP低于66.67%，這其中有5位的TDP為0%，另外3位教師的TDP為100%.這3位教師中，展示的例題局限在例1、例2，例3無人使用.可見，不同青年教師的教科書使用水平差異較大，同時也表明青年教師群體對教科書客觀內容的忠實程度較低.在ICT使用水平方面，有7位教師為低水平，1位中水平，2位高水平.大部分青年教師的ICT使用水平仍停留在利用圖片或視頻進行直觀呈現的層面，使用動態幾何軟件演示數學實驗的教師較少，能展示方程中參數變化對曲線影響的更是寥寥無幾（僅T4、T7）.整體來看，青年教師在教科書和ICT使用方面表現不佳，且使用水平差異極端，與課程改革理念不符.

4 研究建議

基于上述教學特征，在對數學教育領域的專家和教研員進行咨詢后，研究給出如下建議：

4.1 由被動到內化：青年教師應深化素養導向的觀念轉變層次

從教學目標的預設和教學資源的使用水平來看，青年教師的教學觀念與課程改革理念存在一定偏差.5.25到5.33的變化表明，青年教師的觀念轉變仍停留在表面層次，更多體現為對課程改革理念的被動反應，而非內化后的理性應然行為.青年教師應以學生的素養發展為根本邏輯出發點，用新觀念或科學觀念及時置換舊觀念，進一步深化素養導向的觀念轉變層次.

在橢圓教學中，青年教師應注意：第一，教學目標設計由知識向素養轉變，堅決破除“四化”困境.要關注橢圓教學在引導學生感悟數學的通性通法、提升思維品質、形成正確的價值觀念、發展數學語言能力等方面的重要價值，促進學生在知識、能力、情感態度等方面的全面發展.第二，教學資源使用由孤立向整合轉變.要重視史料截取和重組的邏輯性，加強信息技術與數學內容的深度融合.利用信息技術展示參數的變化對方程所表示的曲線的影響，加深學生對方程與曲線相互刻畫關系的認識；注重不同教學資源的整合（如利用動態幾何軟件重現歷史數學實驗），增強資源使用的策略性和創新性，提升學生的學習體驗和課堂教學質量.

4.2 由“反叛”到忠實：青年教師應尊重教科書的正當權威并提升解讀能力

長期以來，教育領域倡導“用教材教而不是教教材”的理念，強調教材使用功能的充分發揮.作為國家意志的象征和教學資源中的核心要素，教科書可以幫助教師更好地學習和應對課程改革中的新理念、新變化^[16].青年教師應尊重教科書的權威屬性，深刻解讀、準確理解，充分利用教科書的知識結構和主題框架開展教學活動.在橢圓教學中，青年教師要注意教科書中的兩點變化.

第一，先講理論還是邊用邊學.在人教2004版選修2-1中，“曲線與方程”是單獨的一節，這部分內容的抽象程度較高，為了降低學生的學習難度，同時體現“邊學邊用”的理念，新課標刪去了曲線與方程的概念，要求在建立圓錐曲線的標準方程后，就方程的建立過程討論“曲線上點的坐標都是這個方程的解”“以方程的解為坐標的點都是曲線上的點”^[13]249.使用2019版教科書的三位教師中，只有教師T6設計了這樣的討論任務.這個環節不僅有助于學生理解曲線與方程間的相互刻畫關系，還能讓數形結合的思想深入實踐教學，建議在橢圓教學中加入這一環節.

第二，發生教學還是一般教學.兩種教學法的區別在于是否使用旦德林雙球模型.在人教2004版教科書中，旦德林雙球模型實驗被設置在“探究與發現”部分，2019版教科書則刪去了這一內容；此外，發生教學法中所需的“球的切線性質”也未在正文中編排，這說明人教版教科書更傾向于采用一般教學法.然而，這并不否定發生教學法的重要教學價值，如何運用、何時運用是青年教師值得探索和研究的問題.

4.3 由直觀到論證：青年教師要加強課堂教學中的邏輯嚴謹性

在橢圓教學中，青年教師應加強課堂教學中的邏輯嚴謹性.

第一，課前布置“球的切線性質”探究活動.教師引導學生回憶圓的切線性質，并通過類比推導球的切線性質，這是一種基于學生已有知識和經驗的直觀判斷.教師應該讓學生意識到確認其正確性的必要性，并可以提出對這一性質進行嚴謹論證的要求.考慮到時間問題，教師可以在課前發放探究任務卡，要求學生在課前完成這一任務，這樣做不僅可以保證這一環節的嚴謹性，從平面到空間的轉變對于培養學生的直觀想象素養也具有重要意義.

第二，增加“推導”和“驗證”兩個環節.在探究焦點在y軸上的標準方程時，學生已有一定的運算經驗，青年教師應給予學生時間進行自主推導，讓學生體會數學的嚴謹性，進而發展其數學運算素養.此外，青年教師引導學生利用橢圓的對稱性來建立坐標系是合理的，但此時學生關于橢圓對稱性的認識是感性的，是通過直觀感受得到的，當得到橢圓的標準方程后，教師有必要引導學生從數的角度重新認識和驗證橢圓的對稱性.

注：①TDP=（N1*1+N2*2/3+N3*1/3+N4*0）/（N1+N2+N3+N4）；其中，N1指教師在課堂中呈現的數學問題與教科書完全相同的問題數量，N2指大部分相同的數學問題數量，N3指小部分相同的數學問題數量，N4指完全不同的數學問題數量，詳見文[15].特別指出的是，由于教師對教科書主觀內容（教學任務、學習活動）的忠實程度會在教學線路中討論.因此，本研究依據教師對教科書客觀內容（例習題的題目內容、解題方法和呈現方式）的忠實程度來劃分教科書使用水平.

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作者簡介

常海斌（1999—），男，吉林公主嶺人，博士研究生;主要研究方向為數學教育.

劉曉玫（1962—），女，遼寧沈陽人，教授，博士生導師;主要研究方向為數學教育、教師教育.

林子植（1983—），男，江西九江人，副教授;主要研究方向為數學教育.

徐思迪（1994—），女，新疆昌吉人，博士研究生;主要研究方向為數學教育.