數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透應(yīng)用研究

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法。初中數(shù)學(xué)研究的兩大核心“數(shù)”與“形”，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要價(jià)值。主要針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透應(yīng)用進(jìn)行分析，從“以形助數(shù)，將抽象問題直觀化”“以數(shù)解形，將直觀問題精確化”“數(shù)形結(jié)合，助力學(xué)生全面發(fā)展”三個(gè)維度著手，探討了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透應(yīng)用路徑，繼而以“直線與圓的位置關(guān)系”為例，展開案例探究，旨在為初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供理論支撐和實(shí)踐參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)實(shí)踐

作者簡(jiǎn)介：高金云（1975—），女，山東省臨沂市沂南縣第三中學(xué)。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形相結(jié)合，有助于人們更好地理解數(shù)學(xué)概念，解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、解題能力和創(chuàng)新能力等。本研究從以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形結(jié)合三個(gè)方面著手，結(jié)合相關(guān)實(shí)例，從多個(gè)維度探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透應(yīng)用路徑，以此引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的獨(dú)特魅力，走進(jìn)廣闊和絢麗多彩的數(shù)學(xué)世界。

一、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透應(yīng)用路徑

（一）以形助數(shù)，將抽象問題直觀化

“以形助數(shù)”是指將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形。初中生的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備相對(duì)有限，容易陷入煩瑣的計(jì)算中而忽略問題的本質(zhì)。通過“以形助數(shù)”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將代數(shù)式與幾何圖形聯(lián)系起來，使其深入理解算式的意義和結(jié)構(gòu)，從而更快找到解決問題的思路和方法。具體而言，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手畫圖，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何圖形，化抽象為直觀。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察圖形，分析其性質(zhì)，明確代數(shù)式與幾何圖形之間的聯(lián)系，由此逐漸形成符號(hào)意識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用“以形助數(shù)”的方法解決代數(shù)問題［1］。

（二）以數(shù)解形，將直觀問題精確化

“以數(shù)解形”是指借助精確的數(shù)式來描述圖像的某些屬性。在初中階段，部分學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的幾何問題時(shí)，容易局限于對(duì)圖形的直觀理解和主觀判斷，難以形成精確的解決方案。為了克服這一問題，教師可以通過“以數(shù)解形”的方法，引導(dǎo)學(xué)生將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用代數(shù)方法和數(shù)學(xué)定理進(jìn)行求解，幫助學(xué)生更加系統(tǒng)地分析和解決問題。其中，建立坐標(biāo)系是實(shí)現(xiàn)“以數(shù)解形”的基礎(chǔ)。通過建立坐標(biāo)系，學(xué)生能夠?qū)缀螆D形問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的點(diǎn)、線、面等問題，從而運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行求解。在此環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生注意坐標(biāo)系的單位、原點(diǎn)以及坐標(biāo)軸的方向等要素，確保坐標(biāo)的準(zhǔn)確性和問題分析的正確性。在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以建立代數(shù)表達(dá)式來描述幾何圖形的性質(zhì)，繼而利用代數(shù)方法對(duì)幾何圖形進(jìn)行分析和計(jì)算，最終得出精確的解決方案。

（三）數(shù)形結(jié)合，助力學(xué)生全面發(fā)展

數(shù)與形的結(jié)合是數(shù)形結(jié)合思想的最高境界，將圖形的直觀性和數(shù)的精確性有機(jī)結(jié)合，能夠讓數(shù)學(xué)問題更加簡(jiǎn)潔、直觀。通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生能夠從多個(gè)角度分析問題、解決問題，提高解題效率和質(zhì)量。在初中數(shù)學(xué)中，許多問題需要同時(shí)運(yùn)用“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”的方法進(jìn)行求解［2］。在具體教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析圖形，從圖形中提煉出數(shù)量關(guān)系，或是利用圖形的直觀性和形象性輔助理解抽象的代數(shù)問題。此外，教師可以設(shè)計(jì)一系列探索性的實(shí)踐活動(dòng)，如剪紙、拼圖、設(shè)計(jì)圖案等，讓學(xué)生在動(dòng)手操作的過程中感受圖形與數(shù)量的關(guān)系，潛移默化地提升空間想象能力和創(chuàng)新意識(shí)。在解決實(shí)際問題時(shí)，教師也應(yīng)該重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用圖形進(jìn)行分析、求解，這不僅有助于學(xué)生提高解決問題的能力，還能使他們體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的價(jià)值與應(yīng)用。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透應(yīng)用路徑——以“直線與圓的位置關(guān)系”為例

（一）以形作橋，跨越抽象界限

直線與圓的位置關(guān)系包括相交、相切和相離。為了幫助學(xué)生更好地理解和解決與這一概念相關(guān)的問題，教師可以運(yùn)用“以形助數(shù)”的方法，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形進(jìn)行分析。具體而言，教師可以從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2入手，引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng)直線y=kx+b與圓方程聯(lián)立時(shí)，會(huì)出現(xiàn)什么情況？基于問題驅(qū)動(dòng)，教師可以組織學(xué)生以小組為單位，通過動(dòng)手畫圖等方式深入觀察圖形，探討圖形的各種特性，以此明確直線與圓的位置關(guān)系。此時(shí)，代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，學(xué)生能通過圖形的變化更直觀地理解問題的本質(zhì)［3］。

例如，在探究直線與圓的相交問題時(shí)，學(xué)生可以通過作圖找到直線與圓的交點(diǎn)，得到兩個(gè)解。當(dāng)直線與圓相切時(shí)，學(xué)生可以通過作圖找到直線與圓的切點(diǎn)，此時(shí)代數(shù)問題便轉(zhuǎn)化為求切線的問題。通過觀察圖形，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即d=r。進(jìn)一步地，學(xué)生可以通過作圖觀察兩圓相離的情況，此時(shí)方程組無解。由此，學(xué)生可以得出結(jié)論：當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離。在這一系列活動(dòng)中，學(xué)生運(yùn)用“以形助數(shù)”方法，用圖形來輔助解決代數(shù)問題，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)綜合能力。

（二）以數(shù)織網(wǎng)，捕獲直觀精髓

直線與圓的位置關(guān)系是初中幾何教學(xué)的重要組成部分，也是培養(yǎng)學(xué)生“以數(shù)解形”能力的重要載體。在具體教學(xué)中，教師可以采用“以數(shù)解形”的方法，將直觀的幾何圖形問題投射到坐標(biāo)系的點(diǎn)、線、面上，鼓勵(lì)學(xué)生利用代數(shù)方法進(jìn)行求解，進(jìn)而幫助學(xué)生更深刻、全面地理解和掌握直線與圓的位置關(guān)系［4］。

首先，教師需要引導(dǎo)學(xué)生建立坐標(biāo)系。在此環(huán)節(jié)，教師可以選擇直線與圓的交點(diǎn)或其他已知點(diǎn)作為原點(diǎn)，將該直線定義為x軸。在建立坐標(biāo)系時(shí)，教師要指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注坐標(biāo)系的單位、原點(diǎn)位置以及坐標(biāo)軸的方向等基本要素。其次，建立坐標(biāo)系后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生通過代數(shù)表達(dá)式描述直線和圓的性質(zhì)。例如，對(duì)于直線方程y=kx+b，教師可以幫助學(xué)生理解斜率k和截距b的幾何意義；對(duì)于圓的方程x2+y2=r2，教師則可以幫助學(xué)生理解半徑r的含義。最后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生利用代數(shù)方法分析和計(jì)算直線與圓的位置關(guān)系。具體而言，教師可以組織學(xué)生研究直線和圓的方程，判斷它們是否有實(shí)數(shù)解。若方程組有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，說明直線與圓相交；若僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，說明直線與圓相切；若無實(shí)數(shù)解，則說明直線與圓相離。在求解過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)立直線和圓的方程組，運(yùn)用消元、化簡(jiǎn)、解方程等代數(shù)技巧，求得解的個(gè)數(shù)，以此判定直線與圓的位置關(guān)系。

（三）數(shù)形相生，共鑄數(shù)學(xué)之魂

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的璀璨瑰寶，它將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形巧妙融合，為學(xué)生鋪設(shè)了一條理解數(shù)學(xué)知識(shí)的坦途。作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，直線與圓的位置關(guān)系集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。透過圖形這一窗口，學(xué)生可以直觀地觀察直線與圓的相交、相切和相離關(guān)系，結(jié)合代數(shù)語言，深入探索背后的數(shù)學(xué)奧秘。這一過程不僅能夠鍛煉學(xué)生的邏輯思維和問題解決能力，更為他們打開了通向廣闊數(shù)學(xué)世界的大門。

1.觀察圖樣，解析幾何，領(lǐng)悟直線與圓的微妙關(guān)系

首先，教師可以展示一些日常生活中與直線和圓相關(guān)的實(shí)物圖片，如火車軌道、圓形鐘面等，引起學(xué)生的興趣，然后引導(dǎo)他們思考直線與圓之間可能存在的位置關(guān)系。其次，教師可以讓學(xué)生動(dòng)手繪制一些直線與圓，觀察它們?cè)诓煌闆r下的位置關(guān)系。在這個(gè)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言描述觀察到的現(xiàn)象，從而培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和語言表達(dá)能力。最后，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提煉出直線與圓在不同位置關(guān)系下的數(shù)量特征［5］。具體見表1。

2.設(shè)計(jì)探究性活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力

直線與圓的位置關(guān)系是一個(gè)經(jīng)典的幾何問題。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的過程中，教師應(yīng)該切實(shí)把握學(xué)生的興趣愛好，著眼于學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，設(shè)計(jì)一系列探索性實(shí)踐活動(dòng)。以活動(dòng)為載體，讓學(xué)生動(dòng)手操作，觀察、分析和探究直線與圓的不同位置關(guān)系，由此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心，使其在多維度、多層面上培養(yǎng)空間想象力和解決問題的能力。具體活動(dòng)設(shè)計(jì)如下。

活動(dòng)一：剪紙活動(dòng)。在這個(gè)活動(dòng)中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生使用不同顏色的紙張剪出一個(gè)圓和一條“直線”（長(zhǎng)條狀）。首先，學(xué)生將直線放置在圓上，觀察直線穿過圓的情形，并比較圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關(guān)系。其次，學(xué)生移動(dòng)直線，使其與圓相交，比較圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系。最后，學(xué)生將直線與圓相切，比較圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關(guān)系。通過這一過程，學(xué)生可以直觀地感受到直線與圓在不同位置關(guān)系下的數(shù)量特征，深化對(duì)直線與圓位置關(guān)系的理解和掌握。

活動(dòng)二：拼圖活動(dòng)。在此活動(dòng)中，教師準(zhǔn)備不同大小和形狀的圓形紙片以及一些代表直線的細(xì)長(zhǎng)紙片，要求學(xué)生利用這些紙片拼出各種有趣的圖案，如房子、樹木、動(dòng)物等。在拼圖過程中，學(xué)生需要不斷調(diào)整直線與圓的位置關(guān)系，使圖案完整。活動(dòng)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維會(huì)得到一定啟發(fā)，這有利于他們對(duì)直線與圓的位置關(guān)系展開更加多元化的探究，在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)幾何圖形之間的聯(lián)系，提升空間想象力。

活動(dòng)三：設(shè)計(jì)圖案活動(dòng)。教師可以鼓勵(lì)學(xué)生自己設(shè)計(jì)包含直線與圓的圖案，如“陽光下的花園”，圖中包含太陽（圓形）、花朵（不同大小的圓形）和陽光（直線）。學(xué)生可以先在紙上畫出草圖，然后將圖案剪出來。在這一活動(dòng)中，學(xué)生能夠充分發(fā)揮想象力與創(chuàng)造力，將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活相結(jié)合，增強(qiáng)審美能力和創(chuàng)新意識(shí)。

3.實(shí)問結(jié)合數(shù)形，彰顯數(shù)形結(jié)合思想魅力

直線與圓的位置關(guān)系不僅涉及幾何學(xué)的基礎(chǔ)概念，還與解析幾何、代數(shù)等有著密切的聯(lián)系。為了讓學(xué)生更好地理解和掌握這一知識(shí)點(diǎn)，教師可以采用數(shù)形結(jié)合的方法，將實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，幫助學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，感受數(shù)形結(jié)合思想的魅力。

其一，數(shù)形結(jié)合思想在交通問題中的應(yīng)用。在交通問題中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過建立平面直角坐標(biāo)系，將道路、車輛、信號(hào)燈等元素抽象為點(diǎn)和線，用代數(shù)方程表示它們之間的關(guān)系。例如，在十字路口的情境下，可以用直線表示車輛的行駛方向，用圓形表示信號(hào)燈的范圍，通過求解方程，分析車輛是否能夠順利通過十字路口。

其二，數(shù)形結(jié)合思想在環(huán)保問題中的應(yīng)用。在環(huán)保問題中，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決污染物擴(kuò)散、生態(tài)平衡等問題。具體而言，學(xué)生在研究污染物擴(kuò)散時(shí)，可以將污染物的濃度抽象為函數(shù)，用圖形表示污染物的擴(kuò)散過程，通過建立和求解相關(guān)的數(shù)學(xué)方程，預(yù)測(cè)污染物的擴(kuò)散趨勢(shì)，為環(huán)保決策提供科學(xué)依據(jù)。

其三，數(shù)形結(jié)合思想在建筑問題中的應(yīng)用。在建筑問題中，教師可以組織學(xué)生以小組為單位，利用平面直角坐標(biāo)系，將建筑物的位置、高度、形狀等信息抽象為點(diǎn)、線、面，用代數(shù)方程表示它們之間的關(guān)系［6］。例如，學(xué)生可以用直線表示建筑物的邊緣，用圓形表示建筑物的輪廓，通過計(jì)算圖形的面積和周長(zhǎng)，優(yōu)化建筑物的設(shè)計(jì)方案。這樣的學(xué)習(xí)方式既能幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，也能進(jìn)一步培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力和知識(shí)遷移能力。

三、總結(jié)

新課改背景下，數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的重要性不言而喻。尤其是在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想。作為初中數(shù)學(xué)的核心思想之一，數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問題有著不可估量的價(jià)值。本研究探討了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透應(yīng)用路徑，結(jié)合“直線與圓的位置關(guān)系”這一重要知識(shí)點(diǎn)，從以數(shù)助形、以形助數(shù)、數(shù)形結(jié)合等方面展開案例探究。未來，相關(guān)教育工作者應(yīng)進(jìn)一步探究數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的創(chuàng)新應(yīng)用，為 學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展貢獻(xiàn)力量。

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