概念教學中培養高中生數學抽象素養的策略

摘"要：數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中。數學抽象素養是數學核心素養的重要組成部分，對于學生的個人成長和發展具有重要作用。數學概念是根植于數學研究對象本質屬性的思維產物，是整個數學知識體系中占比最大、最為重要的一部分，因此做好數學概念的教學是十分重要的。本文以高中數學人教A版教材為例，通過具體的實例說明了概念教學中培養抽象素養創設教學情景、建立知識框架、增強自主學習的三種策略。這些策略旨在幫助學生更好地理解和運用數學概念，提升他們的數學抽象思維能力和解決問題的能力。

關鍵詞：數學抽象素養；概念教學；策略

1"概述

隨著教育改革的不斷深化，數學教育的重要性日益凸顯。在高中數學六大核心素養中，數學抽象素養位居首位，它是學生運用數學視角和思維觀察、解讀世界的基石。數學概念作為數學知識體系的基礎，是學生學習數學、理解數學本質的起點。數學概念教學的質量直接關系到學生對數學問題的深層次理解和對數學基本思想的領悟。因此，數學概念教學不僅傳授知識，更是培養學生數學抽象素養的重要途徑。

2"數學抽象素養與概念教學

2.1"數學抽象素養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》針對抽象素養提出了具體概念：數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養［1］。主要涉及以下方面：通過對數量及其相互關系、圖形及其間關系的抽象，提煉出數學概念及其相互聯系；從具體事物的背景中提取出普遍的規律和結構，并采用數學語言進行描述。

史寧中教授指出數學抽象能力的核心是舍棄非本質屬性，把握數學對象的本質屬性［2］。從中我們可以看出抽象在數學中起著至關重要的作用，通過舍棄非本質屬性，我們能夠更加深入地理解數學對象的本質，進而發現新的規律和解決新的問題。在數學教學過程中，要從數學抽象素養的核心要素出發培養學生的抽象思維、邏輯推理、符號化處理、創新聯想以及應用實踐能力。

2.2"數學概念教學

數學概念作為數學思維的基礎構件，是我們對客觀世界中數量關系、空間形式的深入洞察與高度抽象的產物。數學概念教學的核心不僅在于傳授知識，更在于引導學生理解概念的起源、發展和演變。學生通過教學應能準確把握概念的內涵和外延，理解概念間的邏輯關系，從而構建出一個完整、系統的概念體系。

在實施數學概念教學時，教師應采用靈活多樣的教學方法、生動的實例和形象的比喻，可以幫助學生形成對概念的初步感知。通過引導學生進行深入的思考和討論，可以進一步加深他們對概念的理解。在教學過程中教師應創設適當的情境，設計具有挑戰性的問題，鼓勵學生在探索中發現問題、在問題中找尋規律、在規律中提煉概念［3］。

3"數學概念教學中培養抽象素養的方法

3.1"創設教學情境，感受數學抽象過程

史寧中教授提出“研究數學的本質，即對一些抽象的事物進行理解，以簡單駕馭復雜，最終可以將這些抽象的思想方法應用于實際問題之中［2］”。在現實世界中發現問題、提出問題，并利用已有知識嘗試解決問題，在解決問題的過程中總結升華。下面以指數函數的概念為例，說明創設教學情景在抽象、總結出數學概念教學中的重要作用。

《指數函數的概念》是新教材人教A版普通高中課程標準教科書必修第一冊第四章的知識，從內容上看它是學生學習了一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數以及函數性質基礎上，通過對實際問題的探究建立起的一個新的函數模型。要引入指數函數的概念，教師可以設計具體的案例從而幫助學生抽象出函數的概念，從而畫出函數圖像，探究函數性質。案例1：紙張對折實驗。拿出提前準備好的紙張探究能否對折9次以上，體會在對折過程中，對折次數和紙張頁數的關系，總結兩者之間的函數關系式，感受指數函數來源于生活并且對指數函數有一個大概的認識。案例2：在《莊子·天下篇》中寫道：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！崩谜壑袑Π肽Ｐ?，通過計算觀察第一次、第二次、第三次尺子剩余的長度，總結出另外一個指數函數關系式。通過上述兩個案例，師生共同歸納出指數函數的概念：將形式為y=ax（a＞0且a≠1）的函數定義為指數函數，其中x表示自變量，定義域為全體實數。并且學生也能夠更加全面地探究指數函數增減性的關系，為后續學習打下基礎。

3.2"建立知識框架，設計完整知識單元

在進行教學設計時應該統觀整個高中數學的知識體系，構建知識框架，將前后知識內容進行有效的聯系，使新舊知識能夠在一定的范圍內進行有效的轉換，體會數學知識系統呈現出的是一種螺旋式的結構。以函數思想與數列的結合為例，建立知識框架，將其與其他數學知識相結合，從而增加學生的學習與解題效率。

我們熟悉的等差、等比數列是一類自變量不連續的特殊函數，與函數思想是密切相關的。而當今的數列問題中，比如一些數學競賽、高考題目，將數列知識和函數思想結合起來的題目也越來越多。針對某些情況下不能用簡單的數列知識直接解決的數列問題，我們可以嘗試利用函數的相關知識來解決。可利用函數解析式、圖像、單調性等性質解決數列相關題目。

例1：數列an的前n項和是Sn=23n2+12n+3，求an。

分析：該題目沒有明確說明此數列是哪一類數列，因此不能直接求解。我們可以觀察題目，其給出了數列an的前n項和公式，因此我們猜想可以運用遞推關系式an=Sn－Sn－1來求解此題，但應注意等式成立的條件是當n≥2時，需要驗證n=1時是否滿足，用到了分段函數思想。

解：當n=1時，a1=S1=23+12+3=256，當n≥2時，有an=Sn-Sn-1=23n2+12n+3-23（n-1）2+12（n-1）+3=43n-16。

驗證：當n=1時，不滿足上式，所以an=256，n=143n-16，n＞1。

注意：當我們運用遞推關系式an=Sn－Sn－1求解數列通項公式的問題時，應注意n的范圍。若當n=1時不滿足所求公式，此時應該想到用分段函數的思想去解答。

例2：等差數列an，設它的前n項和為Sn，如果有Sk－1=－2，Sk=0，Sk+1=3，則k等于多少？

分析：此類問題可以由數列的常規解法求解出d，進而通過列方程求出k，顯然采用這樣的方式能夠求解此問題，但求解過程較為復雜，很容易出現計算錯誤。如果我們利用函數思想，借助函數圖像，由Snn=a1+n－12d=d2n+a1－d2，容易知道數列Snn為n的一次函數，由函數的圖像直觀可得點Ann，Snn共線，使問題簡單明了，較常規解法更易快速且準確地得到答案。

解：因為an為等差數列，則Snn=a1+n－12d=d2n+a1－d2為n的一次函數，在幾何畫板中構造出此函數圖像，如圖1所示：

由圖可見，點A1，A2，A3共線，即A1k－1，－2k－1，A2k，0k，A3k+1，3k+1三點共線，則有－2k－1－0（k－1）－k=3k+1－0（k+1）－k。

解得k=5。

例3：存在數列an，它的通項公式為an=83×18n－3×14n+12n（其中n∈N），且該數列中最大項為ap，則p等于多少？

分析：因為它不與等差數列的通項公式、等比數列的通項公式直接聯系，而且它的格式也比較新穎，因此，學生很難入手。如果代入用數字來計算，計算量很大。但是，如果我們深入研究上式指數式的底數之間的關系，把它們轉化為同底的量，然后把相應的函數寫出來，再進行求導，就可以得出這個函數的單調性。

解：將數列an的通項公式化歸到同底的形式：

an=83×123n－3×122n+12n

此時我們可以認為該數列對應的函數為：

fx=83x3－3x2+xx∈0，12

再求其導數：

f′x=8x2－6x+1=8x－12x－14

則可得該函數在0，14上單調遞增，在14，12上單調遞減。

故有x=14為其極大值點，即n=2時，該數列取得最大值，所以有p=2。

3.3"增強學習自主性，培養抽象概括能力

隨著教育理念的進步，學生的學習方式也正經歷著深刻的變革。傳統的“填鴨式”教學已逐漸被淘汰，取而代之的是以學生為中心的自主學習模式。這種轉變不僅體現在教學方法上，更體現在學生的學習態度和思維方式上。數學學科的特點在于其概念的抽象性和理論知識的豐富性，這使得學生在學習過程中往往感到困難重重，難以提起興趣，然而這并不意味著數學是一門枯燥無味的學科，相反，數學中蘊含著無盡的奧秘和美感，只待有心人去發掘。因此，教師在教學過程中應該注重引導學生發現數學中的樂趣，激發他們的學習興趣。

以《橢圓的標準方程》為例，可以將“橢圓”的定義劃分成四種不同的形式并舉例說明，讓同學們對其有一個明確的認識，進而對橢圓的標準方程進行抽象總結，建立起幾何和代數之間的關系。

橢圓的第一種定義為距離之和，即平面內與兩個定點F1，F2（焦點）的距離之和等于常數2a（2a＞|F1F2|，長軸的長度）的點的軌跡叫作橢圓。教師可基于這一定義，提出如下問題：在平面直角坐標系中，對于圖2所示的橢圓，應該如何建立它的標準方程？

對于這個問題，設點A的坐標為（x，y），橢圓的焦距為2c，兩焦點坐標為F1（－c，0），F2（c，0），距離之和（即F1A+F2A）為2a（a為長軸的一半），可以推導出b=a2－c2（b為短軸的一半）。根據定義，我們可以得到橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）（焦點在x軸上）。

橢圓的第二種定義是指平面內到定點F與到定直線距離d之比為常數e（0＜e＜1）的點的軌跡，e為橢圓的離心率。用數學語言表示為|MF|d=e（0＜e＜1）。其中定點是橢圓的焦點，定直線是橢圓的準線。在此基礎上，通過引入相應的例子，借助“幾何畫板”等數學工具，使其對這一定義有一個更直觀的理解。

橢圓的第三種是“截面定義”。截面定義是指用不過圓錐的頂點且與圓錐軸線的交角大于圓錐半頂角的平面截圓錐得到的截線為橢圓。根據這一定義，教師通過展示圓錐曲線與平面各個角度的截面圖，不僅可以幫助學生加深對橢圓定義的理解，還能直觀觀察出高中課程中橢圓、拋物線、雙曲線這三種圓錐曲線的區別與聯系，從而探究圓錐曲線的本質。

橢圓的第四種定義是“壓縮定義”。壓縮定義指出橢圓是圓沿著任意直徑方向均勻壓縮所形成的曲線［4］。這一定義將橢圓與圓聯系了起來，在后續性質的學習過程中，教師可以引導學生將橢圓的性質與圓的性質相聯系，通過類比推理得出橢圓性質。

這四個定義構成了《橢圓的標準方程》大單元的中心部分，分別從代數和幾何兩個角度對橢圓進行了概念的提煉，為整個課程的學習奠定了一個明確的框架。在今后的學習中，學生可以從這四個定義出發，具體問題具體分析，以此來了解橢圓的實質，進而改善其教學效果，并加深對概念的認識。

結語

本文通過詳細闡述數學概念教學策略，并結合具體案例，清晰地展現了數學抽象素養在概念教學中的實際應用與效果。在新課標的指引下，我們認識到，數學教學不僅是知識的傳授，更是思維能力的培養。教師在課堂上的角色也應從單純的知識傳授者轉變為學生思維發展的引導者和促進者。教師通過引導學生進行豐富的互動與交流，激發學生的積極性，使他們在參與中感悟數學的魅力，提升抽象思維能力，進而培養全面的數學學科核心素養。綜上所述，數學抽象素養的培養是數學概念教學的核心任務之一，也是提高學生整體數學素養和解決實際問題能力的關鍵所在。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中.《義務教育數學課程標準（2022年版）》的修訂與核心素養［J］.教師教育學報，2022，9（03）：9296.

［3］段會敏.基于數學抽象素養培養的高中數學概念教學策略研究［D］.武漢：華中師范大學，2023.

［4］王晗.新課標背景下高中數學大單元教學設計：以“橢圓的標準方程”教學為例［J］.數學大世界：下旬，2023（02）：35.

基金項目：延安大學研究生教學改革研究項目（YSZ"202213）

作者簡介：倪新元（2001—"），女，漢族，陜西咸陽人，碩士研究生，研究方向：數學學科教學；段雨欣（2000—"），女，漢族，山西運城人，碩士研究生，研究方向：學科教學（數學）。

*通信作者：王小霞（1978—"），女，漢族，陜西商洛人，副教授，碩士生導師，主要從事模糊拓撲和數學教育理論研究。