感悟中考穩中有變，傳承創新提升能力

【摘要】本文對2017～2024年這8年的安徽省中考數學選擇壓軸題，進行梳理歸納總結，可以發現呈現一定的傳承性與創新性，在此基礎上挖掘問題的數學價值，可以提升學生的數學核心素養與實踐能力.

【關鍵詞】最值問題；初中數學；解題技巧

1問題背景

近幾年中考數學選擇壓軸題主要以幾何最值、函數圖象分析、幾何圖形多結論等為主.其中幾何最值問題考查居多，內涵也很豐富，可謂匠心獨運，一般處于第10題的位置，作為選擇壓軸題.下面以安徽省中考試卷為例，從2017～2024年這8年中，幾何最值問題考查了4次.本類題型重在考查學生的邏輯推理能力、探索能力以及邏輯表達能力.本文闡述深入研討此類問題后的收獲.

2真題剖析

例1（2017安徽·10）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動點P滿足S△PAB＝13S矩形ABCD，則點P到A，B兩點距離之和PA+PB的最小值為（）

（A）29.（B）34.（C）52.（D）41.

分析首先由S△PAB＝13S矩形ABCD，得出動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，兩線段和的最小值從而轉化為“將軍飲馬”問題，此問題的本質是確定“河”的位置或軌跡是核心．

解答設△ABP中AB邊上的高是h．

因為S△PAB＝13S矩形ABCD，

所以12AB·h=13AB·AD，

所以h=23AD=2，

所以動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖2，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．

在Rt△ABE中，因為AB＝5，AE＝2+2＝4，

所以BE=AB2+AE2=52+42=41，即PA+PB的最小值為41．

故選（D）．

例2（2019安徽·10）如圖3，在正方形ABCD中，點E，F將對角線AC三等分，且AC＝12，點P在正方形的邊上，則滿足PE+PF＝9的點P的個數是（）

（A）0.（B）4.（C）6.（D）8.

分析本題考查了正方形的性質，以及最短路徑問題，與2017年的考查點有相似之處，但也有創新之處，沒有明確求兩條線段和的最小值，而是給出一個定值讓學生去判斷分析，所以在BC上找到點H，使點H到點E和點F的距離之和最小是本題的關鍵．

解答如圖4，作點F關于BC的對稱點M，連接FM交BC于點N，連接EM，交BC于點H.

因為點E，F將對角線AC三等分，且AC＝12，

所以EC＝8，FC＝4＝AE.

因為點M與點F關于BC對稱，

所以CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°，

所以∠ACM＝90°，則在線段BC存在點H到點E和點F的距離之和最小為45＜9.

在點H右側，當點P與點C重合時，則PE+PF＝12，

所以點P在CH上時，45＜PE+PF≤12，

在點H左側，當點P與點B重合時，BF=FN2+BN2=210.

因為AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，

所以△ABE≌△CBF（SAS），

所以BE＝BF＝210，

所以PE+PF=410，

所以點P在BH上時，45＜PE+PF＜410，

所以在線段BC上點H的左右兩邊各有一個點P，使PE+PF＝9，同理在線段AB，AD，CD上都存在兩個點使PE+PF＝9．

即共有8個點P滿足PE+PF＝9，故選（D）．

例3（2022安徽·10）已知點O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，則線段OP長的最小值是（）

（A）332.（B）532.

（C）33.（D）732.

分析本題考查等邊三角形的性質、解直角三角形、三角形的面積等知識，解題的關鍵是自主畫出圖形，證明△PAB的面積是定值．如圖5，不妨假設點P在AB的左側，證明△PAB的面積是定值，過點P作AB的平行線PM，連接CO延長CO交AB于點R，交PM于點T．因為△PAB的面積是定值，推出點P的運動軌跡是直線PM，求出OT的值，可得結論．

解答如圖5，不妨假設點P在AB的左側，

因為S△PAB+S△ABC=S△PBC+S△PAC，

所以S1+S0=S2+S3，

因為S1+S2+S3=2S0，

所以S1+S1+S0=2S0，

所以S1=12S0，

因為△ABC是等邊三角形，邊長為6，

所以S0=34×62=93，

所以S1=932，過點P作AB的平行線PM，連接CO，并延長CO交AB于點R，交PM于點T．

因為△PAB的面積是定值，

所以點P的運動軌跡是直線PM，

因為O是△ABC的中心，

所以CT⊥AB，CT⊥PM，

所以12AB·RT=932，CR=33，OR=3，

所以RT=332，

所以OT＝OR+TR＝RT=532，

因為OP≥OT，

所以OP的最小值為532，故選（B）．

例4（2023安徽·10）如圖6，點E在線段AB上，△ADE和△BCE是位于直線AB同側的兩個等邊三角形，點P，F分別為CD，AB的中點，若AB=4，下列結論錯誤的是（）

（A）PA+PB的最小值為33.

（B）PE+PF的最小值為23.

（C）△CDE周長的最小值為6.

（D）四邊形ABCD面積的最小值為33.

分析本題以“雙等邊三角形”為背景，考查等邊三角形的性質，本題的難點在于確定點P的運動路徑，此種思路利用三角形的中位線來確定，從而轉化為“將軍飲馬”問題來進行解決，考查了學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力．

解答如圖7，延長AD，BC交于點G，易得△ABG為邊長為4的等邊三角形，四邊形CEDG為平行四邊形．因為點P為CD的中點，可知點P為平行四邊形CEDG的對角線交點，從而可得G，P，E三點共線，且點P為GE的中點．作PM∥AB交AG于M，交BG于N，由滬科版八下教材第81頁推論得M，N分別為AG，BG中點，故點P在中位線MN上．

如圖8，補全等邊三角形ABG，過點P作AB的平行線，作點B關于直線MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′為PA+PB的最小值，FG=BB′=23，AB′=42+（23）2=27，故選（A）選項錯誤．

如圖9，由（1）知，點P在直線MN上，作點E關于直線MN的對稱點E′，則PE=PE′，則PE+PF=PE′+PF≥FG，根據垂線段最短，得PE+PF的最小值為GF=23，故（B）選項結論正確．類似的可得出（C）（D）選項結論正確，所以選（A）.

3教學啟示

3.1悟透原理挖本質，培養學生創新思考的能力

新課標下的教學設計要整體規劃，立足于單元整體教學，培養學生的創造性思維．教師不僅要從整體上把握知識點之間的關系、概念之間的關系，還要把握知識的定位.近幾年雖然多以幾何最值為主，但是每年的考題不同，引發學生思考的角度也不同，有傳承也有創新，對于現在學生的要求更高，需要學生站在更高的視角去審視問題，教師也要引導學生理解問題本質，挖掘問題根源，審清題意，找出問題的考查點，深度研究數學問題原型，提升思辨和創新能力.

3.2重視操作技能，提升學生綜合分析的能力

初中學業水平考試命題依據各學科課程標準，在全面檢查學生基礎知識和基本技能的基礎上，注重考查學生綜合運用所學知識分析、解決實際問題能力，引導發展素質教育，體現課程標準中堅持立德樹人目標的根本要求.所以要注重數學學習思維活動的過程，“學會思考”是要自己“悟”出來、自己“學”出來的，教師要教會學生思考問題的方法和策略，自己要能用學到的方法和策略，在解決具有新情境問題的過程中，感悟出如何進行正確的思考，遷移運用，提升學生綜合分析問題和解決問題的能力.幾何離不開畫（作）圖，幾何最值往往需要自己畫圖，或添加適當的輔助線幫助解題，考查學生的動手操作能力，所以平時教師要積極引導學生自主規范畫圖，并提升對圖形的分析能力.

3.3抓住問題結構，培養學生歸納總結的能力

核心素養視域下，教師開展數學教學時，應該積極轉變教學理念，并尊重學生主體地位，積極創新數學教學模式，對于同一類型的數學問題，要引導學生自主歸納總結，從而掌握解決一類問題的基本路徑，培養學生邏輯思維能力，助力提升數學教學質量，從而培養學生的學科核心素養.

【基金項目：1.本文系2023年安徽省合肥市包河區教育規劃課題“基于學科育人的初中數學大單元教學策略實踐研究”的研究成果，立項編號為BJG2318.2.本文系2023年安徽省合肥市教育信息技術課題“信息化助推初中數學學生運算能力提升的實踐探究”的研究成果，立項編號為HDJ23010】

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2022．

[2]朱浩.自主構建數學模型 促進學生思維生長——以一次函數解決實際問題的教學為例[J].中學數學教學，2022（04）：10-14.