圖說初中數學新教材

【摘 要】 隨著各版本初中數學新教材投入使用，數學教育界迎來了新一輪教材研究熱潮.借助圖形講解初中數學新教材的背景信息、編排結構、綜合實踐、習題系統、數學文化、使用建議等，幫助讀者直觀理解初中數學新教材的內容與特點，體現新教材與新課標的一致性，減輕教材相關理論學習負擔，更好地開展初中數學教學，充分發揮數學學科育人價值.

【關鍵詞】 圖說；初中數學；新教材；特點；建議

2024年9月，全國各地初中起始年級啟用數學新教材，這是新世紀的第三次義務教育階段數學教材改革.為幫助讀者直觀理解本次初中數學新教材的內容與特點，體現新教材與新課標的一致性，減輕教材相關理論學習負擔，更好地開展初中數學教學，充分發揮數學學科育人價值，筆者嘗試“圖說”初中數學新教材，即借助圖形講解初中數學新教材的背景信息、編排結構、綜合實踐、習題系統、數學文化、使用建議等.

1 新教材的背景信息

初中數學新教材嚴格依據教育部頒布的《義務教育課程方案（2022年版）》^[1]以及《義務教育數學課程標準（2022年版）》（簡稱“《課標（2022年版）》”）^[2]編寫，經國家教材委員會專家委員會審核通過后投入使用.

如圖1，教材是課程體系的重要一環，它是課程方案、課程標準的“執行者”，又是課堂教學的“組織者”，還是考試命題的“參照者”.教材的狹義理解是教科書，生活中常有“教科書式的操作”比喻，說明教科書（教材）具有規范性、權威性. 當然，教材（教科書）不是金科玉律，教師應創造性地用教材教，不能機械地教教材.

本次啟用的初中數學新教材有14個版本（詳見表1，均有配套教師用書），基本延續2011年版課標配套的教材格局，新增了供上海地區使用的滬教版新教材（復旦大學李大潛院士主編）^[3]，該套新教材為全國初中數學教材體系注入了新鮮血液.表1中，前11套為六三學制初中數學教材，每套教材包含七年級上冊至九年級下冊共6冊教材；后3套為五四學制初中數學教材，每套教材包含六年級上冊至九年級下冊共8冊教材.初中學段數學新教材有望三年內全覆蓋，如2024年9月上海地區初中六七年級同時啟用滬教版新教材^[4].

2 新教材的編排結構

翻閱各版本初中數學新教材，風格迥異、各美其美，但存在共通的編排結構.新教材各冊、各章、各節（課時）的通用編排結構分別如圖2，3，4所示.

2.1 新教材的冊結構

如圖2，新教材各冊均有“前言”，只是名稱不盡相同，還有諸如“致同學”“主編的話”等，內容主要是對初中數學課程和教材的總體介紹、對初中生的學習寄語等.

新教材各章分別選取《課標（2022年版）》“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”三個學習領域的某個主題^[2]1617，按章（單元）編寫，各章之間混合編排（不分代數、幾何等分冊），循序漸進、螺旋上升.

新教材的“綜合與實踐”是必學內容（過去被當作選學內容），多數版本新教材將其與章并列，即具有與章一樣的地位，這是本輪新教材編寫的一個重要變化，是落實《課標（2022年版）》要求的重要舉措.個別版本新教材（如華東師大版、冀教版等）使用的名稱是“項目學習”，這也是數學《課標（2022年版）》精神的體現.因為《課標（2022年版）》指出，落實“綜合與實踐”，小學以“主題活動”為主要形式，初中以“項目學習”為主要形式^[2]1617.少數版本新教材（如人教版、華東師大版、浙教版等）將“綜合與實踐”置于某章的末尾，這表明“綜合與實踐”內容與該章數學知識、方法的關聯度較高.

一些版本的新教材（如滬科版、滬教版、北京版等）各冊末尾還有“附錄”，包括中英文詞匯索引、計量單位符號等，體現教材與國際接軌. 北師大版新教材各冊末尾附有“學習印記”，引導學生對本冊教材的學習進行自我評價.

2.2 新教材的章結構

如圖3，新教材各章開頭有章頭圖和章引言，是對該章內容的總體介紹，具有學習導航功能，是實施單元教學的起點.蘇科版教材還特設章首活動.

接下來的各章正文分為若干節，節與節之間按照“概念—性質（運算、判定）—應用”的基本結構排列.這正是學科知識的一般結構及思維認知的基本邏輯.

節之后的拓展內容是對本章正文內容的有益補充，其呈現形式豐富多樣，如“閱讀材料”“閱讀理解”“閱讀與思考”“閱讀與欣賞”“讀一讀”“多知道一點”“數學史話”“圖說數學史”“數學文化”“數學活動”“數學拓展”“數學探究”“探究與發現”“探究學習”“問題解決策略”“信息技術應用”“現代技術應用”等，旨在通過數學史料或數學在科技、藝術、生活中的應用等內容拓展學生的數學視野，引導學生體會數學思想方法，感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值、審美價值，激發學生的創造力^[4].這些數學拓展內容與正文內容具有緊密的邏輯關系、渾然一體，部分拓展內容還承擔了一定的“綜合與實踐”功能，這些都體現了新教材編寫的整體思考^[5].

各章末尾的小結和復習題也是精彩紛呈，各版本新教材的小結就有“內容提要”“小結與思考”“小結與反思”“小結與評價”“回顧與思考”“回顧與整理”等多種名稱，其功能已從傳統的數學知識技能、思想方法的文字總結、框圖展示，擴展到了學生數學學業質量的自我評價或小組互評，這是落實《課標（2022年版）》要求的重要體現^[2]8083.

2.3 新教材的節（課時）結構

如圖4，新教材各節（課時）的內容結構遵循數學學習的基本過程（也有人稱其為基本套路、一般方法等），主要分為“新知學習”“知識應用”兩大環節，其本質是廣義邏輯推理的三種基本形式（類比、歸納、演繹，如圖5）的多次、反復應用.

其中，新知學習環節主要是合情推理（類比、歸納）的過程，即通過組織數學活動，從一些特殊的問題情境（包括生活情境、數學情境、科學情境、文化情境等）中類比、歸納得到一般的規律，抽象出數學概念，獲得數學結論（需經演繹推理證明后成為性質、法則、公式、定理等）.該環節重在培養學生的抽象能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、模型觀念、創新意識等數學核心素養，發展學生發現問題、提出問題的能力.

知識應用環節主要是演繹推理的過程，即應用獲得的一般性數學結論解決具體問題或情境.其中，例題（包括新知學習環節使用的問題情境）由教師引導分析、示范解答過程；習題（包括練習題、習題、復習題等）由學生自主解答（這里有對例題求解的類比推理），教師給予評價反饋^[4]. 該環節重在培養學生的推理能力、運算能力、數據觀念、應用意識等數學核心素養，發展學生分析問題、解決問題的能力.

除了上述有形的編排結構，各版本初中數學新教材還存在許多無形的內容結構，比如綜合實踐、習題系統、數學文化等，通篇貫徹了《課標（2022年版）》提出的課程內容結構化理念^[2]23，詳見下文論述.

3 新教材的綜合實踐

《課標（2022年版）》要求，初中“綜合與實踐”主要采用項目學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現實問題，感受數學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科領域的融合，積累數學活動經驗，體會數學的科學價值，提高發現與提出問題、分析與解決問題的能力，發展應用意識、創新意識和實踐能力^[2]77.

對于習慣了傳統數學教學內容與教學方式的初中數學教師來說，“綜合與實踐”無疑是新的教學難點，可能無所適從.為此，各版本新教材就“綜合與實踐”展開了創造性的功能設計與結構設計.

功能設計主要聚焦三個方面：一是定位于數學學習功能，通過現實情境激發學生的學習興趣和動機；二是定位于數學應用功能，通過數學知識解決實際問題體現數學在社會生活中的應用價值；三是定位于跨學科應用功能，通過數學與其他學科知識、方法的綜合應用解決問題^[6].

結構設計主要包括三個要素：活動情境、活動規則、活動清單^[7]，如圖6所示.

（1）活動情境是活動的“起點”，既可以由教師事先指定，也可以由學生自主創設.活動情境包括生活情境、科學情境、數學情境、文化情境等，旨在吸引學生參加活動，激發學生提出有價值的問題或活動任務.

（2）活動規則是活動的“司儀”，能引導師生有序完成活動方案.活動規則包括活動目標（即期望學生通過活動達成的核心素養表現或變化）、活動準備（包括知識技能、工具材料、場地平臺等）、活動任務（即明確要解決的問題或任務并適當進行分解）、活動過程（包括小組分工、方案設計、方案實施、成果展示等環節）、活動評價（提供多主體、多形式的評價工具或方案，供學生自評、小組互評、教師綜合評價等）.

（3）活動清單是活動的“賬本”，能如實記錄活動的全過程.活動清單主要是指記錄清單（包括問題類、調查類、設計類、報告類的清單等，人教版、北師大版、滬科版、冀教版等新教材均有具體示例）、引導清單、問題清單、評價清單等，最好由教師在活動開始前就提供給學生.

據此，各版本初中數學新教材在每冊教材（每學期）中設計了2—3個有質量的“綜合與實踐”案例，供教師引導學生開展有濃郁數學味道的，兼顧綜合性、實踐性、開放性的跨學科學習活動，幫助學生增長“四能”、積累數學活動經驗、發展“三會”核心素養，也就是“基于問題、成于經驗、達于素養”^[7].

4 新教材的習題系統

依據學習的基本規律，習題訓練是學習不可或缺的環節.數學教材歷來重視習題訓練系統的組建.該系統包括兩大部分：一是例題系統，為學生理解新知、應用新知搭建平臺、做好示范；二是習題系統，包括每課時的練習題、每節的習題、每章的復習題，個別版本新教材（如魯教版）還配有期末總復習題，為學生搭建自主學習、循序漸進、分層提高的平臺，具有鞏固基礎知識、提升綜合能力、激發學習潛力的功能^[4].

關于初中數學新教材習題系統的研究，可從定性（習題的分類、功能定位等）與定量（習題的數量、難度分析等）兩個方向開展深入研究.

例題與習題是按教學活動的形式劃分的兩類數學題，它們都是數學教材的重要組成部分，都是數學教學活動的重要內容，功能不同、本質相同.數學教材的例題系統、習題系統具有雙向關聯、協調統一的關系，如圖7所示，例題是習題的基礎、示范、典型，習題是例題的遷移、鞏固、變式，它們都緊緊圍繞教材正文中的數學知識（包括思想方法），貫穿教學活動始終^[8].

關于例題與習題的功能，北師大版新教材編寫組構建了指向學生核心素養發展的新教材例題與習題系統功能框架，如圖8所示^[9].其中，“示范引領”是指教材例題的示范功能和引領功能，示范學生規范答題，引領學生分析思考；“診斷反饋”是指習題的評價功能要更全面、更精準，即教材設計的習題對核心素養的考查要全面且有效；“拓展延伸”是指從難度和類型兩個維度拓展教材習題的設計，如特殊化、一般化、類比與推廣等，多角度延伸習題的教學功能；“關聯結構”是指教材的習題設計要能引領學生形成知識結構與思維結構，使結構化從教學走向評價；“文化育人”是指教材要設計多元形態的習題，如閱讀類、寫作類、操作類、科技類、文化類習題等，豐富習題的育人方式.實際教學中，教師可結合上述功能框架以及傳統的“雙向細目表”，對新教材的例題與習題展開統計、分析，將能極大地優化新教材的習題系統.

關于數學習題難度分析，可借鑒研究者們構建的數學課程綜合難度的概念與模型，如圖9所示^[10].

該模型被廣泛應用于習題難度分析，它從“背景”“探究”“知識含量”“推理”“運算”這五個維度（難度因素）對一組習題進行考察，每個維度可劃分為若干個不同水平并賦分（如1-5分），再根據等級權重利用公式計算出一組習題在每個因素上的加權平均，計算公式如下：

di=∑jnijdijn（∑jnij=n;i=1，2，3，4，5;j=1，2，…）.

其中di表示每個難度因素的取值，dij表示第i個難度因素的第j個水平的權重，nij表示一組習題中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數，其總和等于該組習題的總數n.得到五個di值就可畫出反映該組習題難度的五邊形雷達圖，根據圖形整體態勢可以開展定性分析與反思.

相對于新教材正文在教材編寫過程中的關注度和所花費的氣力，可以預見新教材習題系統的研究空間其實更大.

5 新教材的數學文化

《課標（2022年版）》指出，數學承載著思想和文化，數學是人類文明的重要組成部分，數學是自然科學的重要基礎.數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用.數學的思想、精神、語言、方法、觀點以及它們的形成和發展，構成了豐富的數學文化^[2]1.

初中數學新教材普遍加強了數學文化（尤其是中華優秀傳統數學文化）的融入，融入的素材、點位、方式、水平多種多樣（如圖10）^[11]，但概況起來主要有兩種融入形式及相應的教育功能.

一是引展結合.新教材既適時引入數學文化作為學習新知、例題習題的問題情境，激發學習興趣、激活思維通道，又適當介紹數學文化作為閱讀材料、探究活動，拓展學生文化視野、指引學生職業發展.數學文化從課外走進課內，又延伸到課外.

二是古今輝映.新教材既介紹古代中國輝煌的數學成就以及科技、歷法、建筑、藝術、生產、生活等領域中的數學元素，如關于計算、負數、圓周率、算籌、方程、度量、面積等的認識與應用取得世界領先的地位，幫助學生增強民族自信、文化自信；又介紹新中國成立以來社會主義建設取得的巨大成就，從中編擬恰當的數學問題^[6]，引導學生樹立道路自信、制度自信.

數學文化不僅豐富了初中數學新教材的內容，還催生了新的教學方式，如HPM教學法^[12]、基于數學文化的教學法^[13]等，本文不做展開.

6 新教材的使用建議

為充分發揮初中數學新教材的功能，還需要廣大數學教師、數學教育工作者更加深入地領悟《課標（2022年版）》精神，理解新教材的變化，大膽實踐，深入研究，辯證思考，平穩有序地開展新教材教學.下面給出幾點建議.

6.1" 參照課標，落實素養

本輪《課標（2022年版）》的基本思路是以“立德樹人、核心素養”為目標，以“結構化課程內容培養學生的數學素養”及“跨學科綜合實踐提升學生的綜合素養”為過程，以“學業質量評價”為結果^[14].新教材如何與《課標（2022年版）》保持一致？需要逐一對照《課標（2022年版）》規定的課程性質、課程目標、內容要求、學業要求、教學提示等^[15]，加以理解并落實.比如，蘇科版新教材以“三會”核心素養為導向，設計了豐富多彩的數學活動；以核心素養主要表現為抓手，凸顯課程發展主線；以學業質量標準為依據，實現教、學、評的一致性^[16].浙教版新教材注重數學知識的關聯及整體理解，體現學科本質；基于認知邏輯選編教材內容，力爭易教易學；基于學生視角設計教材欄目、內容及評價，讓學生主動探、彈性學、全面評；在學習活動中滲透數學問題解決的方法論，培養學生解決問題的能力；設計跨學科學習，讓學生在做中學、用中學、創中學；多角度展現數學的價值及數學課程的育人功能^[6].

6.2 重組教材，單元教學

大單元教學與跨學科教學同為《課標（2022年版）》倡導的兩種新教學方法^[14].雖然新教材采用的混合編排方式（不是按代數、幾何等分冊編排），但《課標（2022年版）》已將數學課程內容劃分為若干個主題^[2]1617，便于教師分析“主題—單元—課時”的數學知識與核心素養的表現，適時重組教材，進行大單元整體教學^[17].以人教版新教材為例，“數的運算”就是跨越各冊新教材的一個大單元，可以用運算律和運算法則、類比思想等來統攝有理數的運算（七年級上冊）、實數的運算（七年級下冊）、二次根式的運算（八年級下冊）等相關內容，開展大單元教學的設計與實施^[1819].

6.3 設計作業，夯實評價

作業設計及布置、批改是教學的重要一環^[20].各版本初中數學新教材普遍提供了一定量的作業內容（如習題、復習題等），但還不夠系統和完備，尤其是缺少評價的環節和要求.浙教版新教材的做法特別值得借鑒，該教材將傳統的章末復習題創新設計為“目標與評定”欄目，該欄目對照《課標（2022年版）》中的“內容要求”“學業質量標準”逐條設置若干問題，以考查學生對該章內容目標的學習達成情況，并引導學生進行自我評價^[6].這為教師開展初中數學作業設計及其評價提供了重要參考.

6.4 辯證思考，做好銜接

教材是一種期望課程^[16]，初中數學新教材還有許多需要完善與辯證處理的地方.比如，從課程結構化的角度來說，初中教材中的函數內容結構不夠完整，即與數、式、方程相比，存在分式型有理函數、無理函數的缺失，這從圖11的初中數學“數與代數”內容結構圖可以清晰地看到.

雖然初中教材中的反比例函數是最基本的分式型有理函數，但初中教材不講反比例函數圖象的平移，且一些版本新教材（如人教版、浙教版等）將反比例函數移到二次函數之后再講，因此初中的分式型有理函數幾乎是空白（圖中畫成虛線框）.初中的無理函數也是空白（圖中也畫成虛線框）.另外，從高中數學新課標與新教材來看，也沒有分式型有理函數、無理函數的專門內容.這就造成了初高中函數教學的脫節，需要開展銜接教學，引導學生完善基本初等冪函數的知識結構與思維結構.再比如，關于初高中數學核心素養的內涵、外延（具體表現）不完全一致的問題，需要開展銜接研究^[2123]，并經過初高中數學新教材的教學實踐來檢驗.

以上關于本輪初中數學新教材背景信息、編排結構、綜合實踐、習題系統、數學文化、使用建議等內容的“圖說”，僅是一次初步探索，希望能將教材理論變得知心可人，啟發讀者研究“既熟悉又陌生”的數學新教材，為教材改革的順利實施貢獻智慧.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育課程方案：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]姜澎.好的數學教材往往“單刀直入”[N].文匯報，20241118（9）.

[4]陳軼，劉祖希.滬教版初中數學新教材的理念特點及使用建議：以六七年級上冊為例[J].中學數學雜志， 2024（12）：1014.

[5]王建波，馬復.關注學生數學活動過程的教材欄目設計及實施建議[J].數學通報，2024，63（8）：1822.

[6]唐恒鈞，華瓊.依據課標精神，立足學科本質，著眼學生發展：浙教版初中數學新教材的特色分析[J].中學教研（數學），2024（11）：58.

[7]秦德生，姜天卓.數學綜合與實踐活動結構化：樣態、范式與設計[J].課程瘙簚教材瘙簚教法，2024，44（4）：97102.

[8]吳立寶，洪夢，王富英.數學教科書例、習題的關系研究[J].中學數學教學參考，2021（8）：7578.

[9]顧繼玲，章飛，馬復，等.基于素養發展的初中數學教科書例習題創新設計[J].數學通報，2024，63（10）：13，49.

[10]鮑建生.中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002，31（9）：4852.

[11]郭華佳，童莉.中華優秀傳統數學文化融入初中數學教科書的內容分析[J].數學教學通訊，2023（5）：35，13.

[12]劉祖希，陳飛.HPM與MM教育方式的耦合初探：兼談當代中國數學教育流派[J].數學通報，2020，59（11）：3134，49.

[13]張維忠，徐曉芳.基于數學文化的教學模式構建[J].課程·教材·教法，2009，29（5）：4750，70.

[14]劉祖希.圖說數學跨學科教學[J].中學數學雜志，2023（10）：1922.

[15]劉祖希.圖說數學課程標準[J].中學數學雜志，2022（10）：15.

[16]鮑建生.蘇科版初中數學新教材落實新課標的一些舉措[J].教育研究與評論（中學教育教學），2024（9）：49.

[17]劉祖希.圖說數學單元教學[J].中學數學雜志，2022（7）：1317.

[18]李海東.突出數學本質，重視思維過程，發展核心素養：2024年人教版《義務教育教科書·數學》解讀[J].中學數學教學參考，2024（20）：27.

[19]李海東.突出數學本質，重視思維過程，發展核心素養（續）：2024年人教版《義務教育教科書·數學》解讀[J].中學數學教學參考，2024（23）：27.

[20]劉祖希.圖說數學作業設計[J].中學數學雜志，2024（6）：1922.

[21]劉祖希.我國數學核心素養研究進展：從數學素養到數學核心詞再到數學核心素養[J].中小學教材教學，2016（7）：3540.

[22]劉祖希.訪史寧中教授：談數學基本思想、數學核心素養等問題[J].數學通報，2017，56（5）：15.

[23]劉祖希.我國數學核心素養研究新進展：從“六核”觀到“三會”觀[J].中學數學雜志，2022（11）：14.