高中數(shù)學(xué)概率問(wèn)題的求解技巧分析

【摘要】概率是高中數(shù)學(xué)中特殊的存在，概率問(wèn)題的選材來(lái)自生活，解決這類(lèi)問(wèn)題要求學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)思想和綜合素養(yǎng).故在學(xué)習(xí)過(guò)程中不僅要對(duì)生活進(jìn)行細(xì)致觀察和思考，也要掌握相關(guān)的解題策略與方法.本文主要分析三種不同求解概率問(wèn)題的方法，并結(jié)合對(duì)應(yīng)例題，幫助學(xué)生加深理解和掌握概率問(wèn)題的本質(zhì)，以期幫助學(xué)生更好地運(yùn)用這些方法解題.

【關(guān)鍵詞】概率；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

1幾何法

幾何法具體是指根據(jù)問(wèn)題條件將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何度量占比問(wèn)題，進(jìn)一步憑借相關(guān)結(jié)論求解得到具體值的方法.運(yùn)用幾何方法求解概率問(wèn)題的一般思路為：①?gòu)膯?wèn)題已知條件出發(fā)，將概率問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為幾何圖形的長(zhǎng)度、面積等占比問(wèn)題，②根據(jù)幾何圖形的相關(guān)結(jié)論與性質(zhì)，求出相關(guān)的長(zhǎng)度、面積具體值，③根據(jù)具體值的比例，得到問(wèn)題所求的概率大小.

例1甲乙兩人約定好第二天的8點(diǎn)至9點(diǎn)在某一地點(diǎn)見(jiàn)面，先到的人在原地等20min后即可離開(kāi)，則兩人能夠見(jiàn)到面的概率為.

分析分析問(wèn)題所給條件，解答的關(guān)鍵在于理解到達(dá)時(shí)間與離開(kāi)時(shí)間的聯(lián)系，可假設(shè)甲，乙的到達(dá)時(shí)間分別為x，y（8點(diǎn)x分，9點(diǎn)y分），則兩人見(jiàn)面的充要條件為x－y≤20，此時(shí)x－y≤20可在坐標(biāo)系中具體表示，即可得到相關(guān)面積.求出相關(guān)面積的占比，即可得知問(wèn)題所求的概率大小.

解析假設(shè)甲、乙的到達(dá)時(shí)間分別為x，y（8點(diǎn)x分，9點(diǎn)y分），

則有0≤x≤60，0≤y≤60，

根據(jù)題意，兩個(gè)人能見(jiàn)到面需要滿(mǎn)足|x－y|≤20，在坐標(biāo)系中表達(dá)如圖1所示.

所以P=SgSG=602－402602=59，

即兩個(gè)人能夠見(jiàn)到面的概率為59.

變式已知某公交車(chē)7：25發(fā)車(chē)，為了趕上公交車(chē)小張每次都在7：20-7：25到達(dá)公交車(chē)站臺(tái)，則他連續(xù)兩天提前到達(dá)公交站臺(tái)等待累積時(shí)長(zhǎng)超過(guò)3分鐘的概率為.

分析該問(wèn)題能夠運(yùn)用幾何方法求解，即將等待時(shí)間看作兩個(gè)變量，需要滿(mǎn)足的條件可轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系式，分別在圖形中表示并得知等待時(shí)間超過(guò)3分鐘的對(duì)應(yīng)面積，除以總面積即可得到概率大小.

解析設(shè)小張每天等待的時(shí)長(zhǎng)都在0－5min，連續(xù)兩天等待的時(shí)長(zhǎng)為x，y，

則0≤x≤50≤y≤5，

畫(huà)出不等式的可行域，如圖2所示.

已知x+y＞3，

S1，S2分別為陰影部分面積、正方形面積，

所以P=S1S2=5×5－12×3×325=4150.

2枚舉法

枚舉法是求解概率問(wèn)題的常用方法，枚舉法也叫窮舉法或列舉法，指將所有可能的情況一一列舉出來(lái)，可能發(fā)生的情況個(gè)數(shù)與所有情況個(gè)數(shù)之比即為概率大小.運(yùn)用枚舉法求解概率問(wèn)題，具體步驟一般為：①根據(jù)問(wèn)題所給條件，確定所有情況的有限性，并求出對(duì)應(yīng)情況個(gè)數(shù)A；②確定符合題目要求的可能情況個(gè)數(shù)B；③A與B的比值即所求的概率值大小.

例2現(xiàn)有兩個(gè)外形一致，質(zhì)地相同且6個(gè)面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6數(shù)字的小正方體，將這兩個(gè)小正方體拋出，則落到地面時(shí)正方體朝上的點(diǎn)數(shù)相加比5小的概率為.

分析首先根據(jù)題意列出兩個(gè)正方體落地后朝上的面為1，2，3，4，5，6時(shí)相加的所有情況，共有36種不同情況.此時(shí)問(wèn)題要求相加點(diǎn)數(shù)小于5，則分別對(duì)應(yīng)和為2，3，4的情況，找出和為2，3，4的情況總數(shù)，該情況個(gè)數(shù)與總情況個(gè)數(shù)之比，則為問(wèn)題所求的概率大小.

解析 由題意可得，這兩個(gè)小正方形拋出后落地，朝上的點(diǎn)數(shù)的和的所有情況如表1所示.

滿(mǎn)足題意的點(diǎn)數(shù)之和應(yīng)為4，3，2，每種情況出現(xiàn)的個(gè)數(shù)為3，2，1，故點(diǎn)數(shù)相加小于5可能出現(xiàn)的情況個(gè)數(shù)為1+2+3=6，

滿(mǎn)足題意的概率P=636=16.

故當(dāng)這兩個(gè)小正方體落地，且面向上的點(diǎn)數(shù)和小于5的概率為16.

3間接法

間接法也是求解概率問(wèn)題的有效方法，間接法指通過(guò)反面情況的概率從而得到問(wèn)題所求概率值的方法.運(yùn)用間接法解題的常見(jiàn)思路為：①分析題意與已知條件，找出與問(wèn)題所求相反的對(duì)應(yīng)具體情況，②求得對(duì)立情況發(fā)生的概率后，用1減去所求概率值，即可得到問(wèn)題所求的概率值大小.

例3衛(wèi)生部門(mén)要對(duì)市里5家餐館進(jìn)行衛(wèi)生檢查，執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)為：清潔衛(wèi)生不達(dá)標(biāo)，餐館停業(yè)整頓；整改以后還不符合要求，取消餐館營(yíng)業(yè)執(zhí)照.假設(shè)每一家餐館衛(wèi)生是否達(dá)標(biāo)是相互獨(dú)立的，且每一家餐館整頓以前達(dá)標(biāo)的概率都為0.5，整頓以后衛(wèi)生達(dá)標(biāo)的概率為0.8，試回答下列問(wèn)題（保留兩位小數(shù)）：

（1）剛好有兩家餐館衛(wèi)生不達(dá)標(biāo)的概率；

（2）至少取消一家餐館的營(yíng)業(yè)執(zhí)照的概率.

分析針對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行具體的分析，若按照題意對(duì)至少取消一家餐館的營(yíng)業(yè)執(zhí)照這一條件進(jìn)行分類(lèi)討論求解，容易出現(xiàn)錯(cuò)解與漏解現(xiàn)象，故考慮運(yùn)用間接法求解.先求解5家餐館都不被取消營(yíng)業(yè)執(zhí)照的概率，得到具體值后，用1減去所求概率大小即可得到問(wèn)題所求的概率值.

解析根據(jù)題意可知，本題直接求解比較困難，運(yùn)用間接法求解.

（1）P≈0.31（解題過(guò)程略）.

（2）由題意可得，每一家餐館都不被取消營(yíng)業(yè)執(zhí)照即達(dá)標(biāo)的概率為0.9，并且每一家餐館是否被取消營(yíng)業(yè)執(zhí)照也是相互獨(dú)立的.

因此，最少有一家餐館被取消營(yíng)業(yè)執(zhí)照的概率為P3=1－0.95≈0.41.

4結(jié)語(yǔ)

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，不僅要明確幾何法、枚舉法、間接法的適用范圍，還要明確每種方法對(duì)應(yīng)的基本思路.概率問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)知識(shí)之一，其題目形式靈活多變，解題方法多種多樣，因此掌握基本的解題方法有助于高效、快速解題.

參考文獻(xiàn)：

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