“情境—問題—思維”視域下的數學教學探索

摘"要：數學起源于人類早期的生產活動，與生活中的問題相伴而生.數學學習離不開真實情境的創設，“情境—問題—思維”教學模式的開展，就是力求在情境創設中讓學生引發認知沖突，提出問題疑惑，探尋方法路徑，促成思維的深度發展．

關鍵詞：情境創設；問題提出；思維發展

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出：“通過數學的思維，可以揭示客觀事物的本質屬性，建立數學對象之間、數學與現實世界之間的邏輯聯系.”^［1］用數學的眼光觀察現實世界，需要創設真實熟悉的情境，讓學生身臨其境，發現沖突點，激發好奇心和探究動力；用數學的思維思考現實世界，需要有基于真實情境產生待解決的問題，以問題為導向，在思考中促成新知生成；用數學的語言表達現實世界，需要學生發展并形成較為完備的結構化數學知識體系，用數學語言包括文字語言、符號語言、幾何語言、圖形語言等表述想法和觀點.基于此，本文以蘇科版《義務教育教科書數學九年級上冊》第2章“對稱圖形——圓”的第一課時為例，探索從情境創設到問題激發再到思維提升的有效路徑．

1"教學分析

1.1"內容分析

本節為蘇科版《義務教育教科書數學九年級上冊》第2章“對稱圖形——圓”的章節起始課，在教師問題引導下，通過圖形運動感知圓的形成過程，讓學生經歷“情境—問題—思維”的發展過程.教學設計以物體旋轉軌跡引入圓的形成，使學生從點與圓的位置關系觀察得出點到圓心的距離與半徑的數量關系，在圓環的制作中感受點在同心圓中的區域分布，形成并發展空間意識．

1.2"目標分析

經過學習，學生要理解圓的描述定義，了解圓的集合定義，會用數學語言表述，經歷探索點與圓的位置關系的過程，確定點和圓的三種位置關系，初步滲透數形結合與轉化思想，學會用數學的眼光和運動、集合的觀點去認識現實世界、解決現實問題．

1.3"學情分析

學生在小學階段已掌握圓心、半徑、周長、面積等知識，在八年級“軸對稱圖形”章節的學習中對圓的對稱性有一定了解，初步知曉圓上各點到圓心的距離即是圓的半徑，但缺乏成體系理論知識.圓的描述定義和集合定義在理解上有一定難度，是教材中首次明確出現集合概念，是發展圖形運動觀念和空間意識的良好契機．

2"教學設計

2.1"視頻情境，躍動思維

數學是為解決生活問題而產生的，數學知識本質上都是人為定義的.本課開場播放計時工具的發展歷史，在指針的旋轉中，感知圓的生成過程.旋轉是生活中最常見的一種物體運動現象，鐘表指針也是和學生生活、學習息息相關的，從最普通的事物入手，激發學生思考，從平常之中見不凡．

視頻導入：播放計時工具的演變歷史，從古代的日晷到近代的機械鐘，再到現代各式各樣的手表鐘表，在指針的旋轉中初步感知其軌跡形狀．

問題1"同學們，時間本無形跡，是古人用智慧將時間的奔流從無形化有形，你從視頻計時工具的指針旋轉中領略到了哪種數學圖形的動態美？

師：指針可看做一條線段，你能說說它在旋轉時兩個端點的運動狀態嗎？

生1：一個端點位置固定不變，另一個端點繞著該固定端點旋轉，運動軌跡是一個閉合的曲線．

師：兩端點之間的距離是否發生變化，請你用旋轉的知識來闡釋．

生2：旋轉只改變圖形位置，大小形狀不變，圖形前后全等，因此指針旋轉過程中，兩端點距離不變，動端點到定端點的距離為指針長度，也就是圓的半徑．

師：非常好.古人將這種關系用“一中同長”四字描述，你能用現代的數學語言為動端點的軌跡下定義嗎？

生3：線段OA的動端點A繞著定端點O旋轉1周，其運動所成的封閉曲線叫作圓，定端點O叫作圓心，線段OA叫作圓的半徑．

【設計意圖】鐘表指針是學生經常接觸的物品，但對其發展由來又知之甚少，最易調動學生興趣.視頻介紹計時工具的演變歷史，向學生科普相關知識，其中日晷的晷針所形成的影在晷面上的運動，就是旋轉，后來人們將虛無的光影實物化為轉動的指針.華羅庚先生曾說：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要.”教師通過合理的問題鏈設置，引導學生用數學的眼光去審視思考生活現象，從旋轉的視角出發，嘗試給出圓的描述定義，將物體的運動轉化成數學圖形，滲透轉化思想．

2.2"情境變式，生成思維

變式情境：2024年巴黎奧運會首金由黃雨婷和盛李豪組成的中國隊獲得. 他們在10米氣步槍混合團體賽中擊敗了韓國組合，為中國隊贏得了本屆奧運會的首枚金牌.這也是中國射擊隊連續兩屆奧運會獲得首金.小明和小慧在觀看比賽后非常激動，對射擊產生極大興趣，于是兩人在A4紙上畫了一個半徑為5cm的圓，制作了一張簡易射擊靶紙.如圖1所示，兩人用玩具槍各射擊3次，黑點為小明成績，白點為小慧成績，其中A，B兩次射擊成績恰好在圓周上．

問題2"觀察射擊靶紙，6個點在位置上與圓有什么關系？它們到圓心O的距離與半徑存在怎樣的數量關系？

學生觀察猜想，用帶刻度的直尺測量，討論總結三種位置關系.

師：我們常說點動成線，線動成面，點動成直線，亦可成曲線.圓是閉合的曲線，由無數個點集合而成，你能從點到圓心的距離這一角度對圓再次下定義嗎？

生4：圓是到圓心的距離等于半徑的點的集合．

師：按照這樣的方法，你能對圓外與圓內兩平面下定義嗎？

生5：圓外部是到圓心的距離大于半徑的點的集合，圓內部是到圓心的距離小于半徑的點的集合．

【設計意圖】問題是推動思維前行的原動力.學生在問題2的引導中經歷“觀察—猜想—驗證”的過程，歸納點與圓的三種位置關系.在對點A，B的觀察猜想中，得到點到圓心的距離與半徑的數量關系，發展學生基礎的圖形空間意識和集合觀念，在用直尺測量的驗證中，涵育嚴謹、理性的數學精神.接下來對圓、圓外、圓內的集合定義闡述也就水到渠成．

2.3"活動操作，發展思維

常規數學教學側重于知識記憶和考題解答，導致學生在遭遇現實性問題時手足無措，做不到將數學知識和方法轉化成操作性的動作技能.教學中操作式環節的設置，可以很好地激發學生探索欲，在動手操作的過程中，以問題為錨點，在思考、探究、操作、反思、再執行的過程中讓知識激烈碰撞，進而生成個性化的方法路徑，在應用與再應用中校正對知識的理解，無形中培養了創新思維．^［２］

問題3"觀察圖1，你能區分出小明和小慧誰的射擊成績更好嗎？若不能，請你設計一個有效的方法．

問題4"小明和小慧在設計好的靶紙上又進行了一次射擊比賽，成績如圖2所示，你能對這些射擊點進行準確描述嗎？

【設計意圖】問題3和問題4的提出，是對點與圓位置關系的進一步探索.學生在思考中發現，若是采用直尺測量點到圓心的距離這一方法，雖有效卻不實用，不能做到簡便快捷.小組討論后想出，圓心不變，半徑等量增減，用大小不同的圓對靶紙精細劃分，最終用圓環來快速計算兩人射擊成績.此時，教師可以以圖片的形式展示奧運賽場的靶紙，并適當普及靶紙的變遷.問題3的解決，實際上是對數據進行的一次處理，發展了學生的數據意識；問題4對射擊點的描述，是將點與圓的位置關系表述的進一步精準化，將圓外、圓內這一籠統的描述范圍縮小，發展學生的圖形空間意識.同時，在畫圓的過程中，向學生滲透確定唯一圓的條件需要同時確定圓心與半徑，做好章節起始課的統領作用．

2.4"拓展提升，踐行思維

應用是數學最有價值的屬性.將所學知識外顯解答基礎題目，是學生必備的一個基本能力，但對學有余力的學生來講，又是遠遠不夠的.秉持最近發展區理論，需給學生留足向上發展的空間，能在復雜抽象的綜合問題中，靈活應用知識理論，踐行更高層級的思維能力．

問題5"平面上兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）之間的距離表示為｜P₁P₂｜=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，也稱為平面內兩點間的距離公式.根據該公式，如圖3所示，設P（x，y）是圓心坐標為C（a，b）、半徑為r的圓上任意一點，則點P適合的條件可表示為（x-a）²+（y-b）²＝r²，我們稱其為圓心為C（a，b），半徑為r的圓的標準方程.例如，由圓的標準方程（x-1）²+（y-2）²＝25可得它的圓心為（1，2），半徑為5.根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列各題．

（1）圓心為C（3，4），半徑為2的圓的標準方程為"""".

（2）若已知⊙C的標準方程為（x-2）²+y²＝2²，圓心為C，請判斷點A（3，-1）與⊙C的位置關系．

【設計意圖】圓的標準方程是高中學段知識，是由兩點之間距離公式推導得來，本環節關注到初高學段的銜接.學生從材料中提取關鍵信息，在第（2）問中確定圓心坐標C（2，0），利用兩點間距離公式求出點A到圓心C的距離d，然后與半徑r相比較，若d＞r，點在圓外；d=r，點在圓上；d＜r，點在圓內，即可判斷點A與圓的位置關系．

2.5"類比猜想，創新思維

類比猜想是數學持續變革的強大動力，數學史上諸多猜想的證明，創造出了新的思想和方法.合理猜想是數學研究的重要模式，學生在完成“猜想—驗證”后，心中對知識的合理猜想有了大概方向，這正是將猜想推向另一個數學高峰的契機.教師還應設置“再猜想—再驗證”環節，促使學生從不同角度思考問題，激發探索欲和創新性思維．

問題6"類比點與圓位置關系，你認為直線與圓存在怎樣的位置關系，圓心到直線的距離與半徑有哪些可能的數量關系？圓與圓之間呢？兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑和有什么數量關系？

【設計意圖】本課是一節章節起始課，在教學設計中應承擔起架構章節整體教學的作用.問題6從點與圓位置關系，猜想直線與圓、圓與圓的位置關系，從點到圓心的距離猜想圓心到直線的距離、兩圓心之間的距離，在類比思考中發散思維，為后續課時的學習作好鋪墊.學生類比猜想的過程，也是個人思維特質展現的過程，將因學習新知而聚合的思維再度發散，從中培養學生個性，產生創新性思維．

3"教學思考

3.1"關注情境變式生長

一線教學中，教師雖已達成“無情境不入教”的共識，但在運用上不徹底、不準確，往往只是將情境充當導入環節的一種手段，導入完成，情境即終止.后續仍回歸常規教學，情境探索淺嘗輒止，甚至與整節課明顯割裂，無法最大化情境價值.本課在運用“情境—問題—思維”教學模式時，以小明和小慧制作射擊靶紙的情境貫穿始終，在情境變式中逐步深入，推動思維持續發展．

3.2"關注知識融合應用

生活問題是復雜的，不是單一知識點就可以順利解決的，因此從情境催生的問題，指向的雖是本課新知，但也要兼顧到舊知轉化和與后續課時銜接.本課以視頻開場，由物體旋轉的運動軌跡引出圓的描述定義，由旋轉的性質生成圓的集合定義，在射擊成績比較的思考中繪制圓環，回顧數據的處理方法，同時滲透確定唯一圓的條件.線與圓、圓與圓位置關系的猜想則為后面課時學習做好先行性預設.本課以圓的定義、點與圓位置關系為主線，串聯新舊知識，做好舊知融合、新知拓展，發展學生處理綜合問題的能力．

3.3"關注問題循序漸進

學生思維的發展是漸進式的，問題設置要注重循序漸進，柔和銜接、螺旋過渡，平滑引導學生去思索問題.在視頻情境環節，從旋轉的性質引出動端點到定端點距離不變，順勢展示古人用“一中同長”對圓的定義，并以此為基礎，由學生再下定義，歸納得到一致認同的描述定義.教師用遞進式問題，推動學生漸進式思考．

3.4"關注思維深度發展

新知的探究過程，本質就是以問題為基礎總結一套行之有效的方法論，是將混亂的分散性思維，梳理、整合成適用的聚合性思維，得到一般的通性通法.在此過程中，學生從猜想的感性認知逐步走向直指事物本質的理性精神，但其中短板亦不能忽視，如此容易形成思維定式，消磨學生群體特有的奇思妙想和創新意識.因此，本課收尾環節再度回歸猜想，從聚合思維走向創造思維，一收一放中，培養學生思維的深度發展．

“情境—問題—思維”模式的數學課堂，用真實情境的變式生長，觸發問題漸進式展示，發現和提出有價值的數學問題，探究可行性方法，總結一般性數學規律，在思維的聚散中發展數學核心素養、形成科學精神與理性思維．

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］胡連成.“情境—問題—思維”視角下的問題鏈教學［J］.中學教研（數學），2023（3）：1-5．