促進深度學(xué)習 提升運算素養(yǎng)

摘"要：在教師的引導(dǎo)下促進學(xué)生深度學(xué)習，是有效提升學(xué)生運算素養(yǎng)的一種行之有效的教學(xué)方法.本文以一道典型的解三角形習題教學(xué)為例，展示基于數(shù)學(xué)深度學(xué)習的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)方法，以提升學(xué)生運算素養(yǎng)為出發(fā)點，提出開展深度學(xué)習的四個教學(xué)策略：加深概念理解，明晰運算對象；揭示知識聯(lián)系，拓展運算思路；倡導(dǎo)解題反思，優(yōu)化運算方法；加強深度訓(xùn)練，提升運算品質(zhì).

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習；運算素養(yǎng)；教學(xué)案例；教學(xué)策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等.^［1］在日常教學(xué)中，教師抱怨現(xiàn)在的學(xué)生運算能力越來越差，稍微復(fù)雜一點的運算就無法得到正確結(jié)果.究其原因，筆者認為當前的教學(xué)普遍存在著急功近利的情況：急于進行解題訓(xùn)練，忽視基本概念和原理的教學(xué)；解題教學(xué)中盲目加大題量，忽視學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解；教學(xué)方法又過于簡單直接，忽視學(xué)生的獨立思考及反思的過程.

筆者認為在教師的引導(dǎo)下促進學(xué)生深度學(xué)習，是一種能夠有效提升學(xué)生運算素養(yǎng)的教學(xué)方法.深度學(xué)習是相對于淺層學(xué)習而言的，淺層學(xué)習是停留在知識和方法的記憶層面，簡單機械地模仿學(xué)習，而且知識是孤立的，難以形成系統(tǒng).深度學(xué)習是學(xué)生在教師引領(lǐng)下，圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習主題，全身心積極參與學(xué)習過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)習內(nèi)容的價值，體驗學(xué)習成功的感受，獲得核心素養(yǎng)發(fā)展的有意義的學(xué)習過程.數(shù)學(xué)課堂如果僅停留在淺層學(xué)習，對于數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升，無異于隔靴搔癢，起不到真正的作用.

下面筆者以一道典型的解三角形習題教學(xué)為例，展示基于數(shù)學(xué)深度學(xué)習的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)培養(yǎng)策略.

1"基于深度學(xué)習的教學(xué)案例

例題"在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b=acosC+33csinA.

（Ⅰ）求A的值.

（Ⅱ）若a=3，點D在邊BC上，且BD=2DC，求AD的最大值.

本題的（Ⅰ）容易得到結(jié)果A=π3，下面主要介紹（Ⅱ）的教學(xué)過程.

1.1"立足三角，固本培元

解法1：從解三角形角度，直接運算.

在△ABD中，由余弦定理可得cosB=AB²+BD²-AD²2AB·BD=c²+4-AD²4c.

在△ABC中，由余弦定理可得cosB=BA²+BC²-AC²2BA·BC=c²+9-b²6c.

c²+4-AD²4c=c²+9-b²6c，整理得AD²=23b²+13c²-2.由正弦定理可得b=23sinB，c=23sinC，AD²=23（23sinB）²+13（23sinC）²-2=8sin²B+4sin²C-2=4-4cos2B-2cos2C=4-4cos2B+2cos（π3-2B）=4+3sin2B-3cos2B=4+23sin（2B-π3）.

當sin2B-π3=1，即B=5π12時，AD²取得最大值4+23，此時AD取得最大值1+3.

本解法盡管運算過程不算簡單，但運算方法局限于三角函數(shù)范疇，無論是兩次余弦定理的使用，還是邊轉(zhuǎn)化為角、降冪公式和合一變形，對于大部分學(xué)生來說，還是熟悉的運算思路，只要多加訓(xùn)練，不難正確得到運算結(jié)果.

從學(xué)生的角度來說，上述運算過程大部分是機械化、套路式的，不需要很多關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識，屬于淺層學(xué)習.如果學(xué)生的學(xué)習到此為止，教師也不加以引導(dǎo)深化，那么學(xué)生的運算只能停留在一個較低的水平上，提升運算素養(yǎng)也無從談起.

這時注意到部分學(xué)生有一些不同的運算思路，也許并不成熟，還沒有形成確切的運算程序，教師要鼓勵學(xué)生積極發(fā)表自己的見解，在關(guān)鍵之處還可以給出適當?shù)奶崾荆瑤椭鷮W(xué)生完善自己的解題思路，直至得到正確的運算結(jié)果.

1.2"代數(shù)變形，百花齊放

部分學(xué)生有如下思考過程.

因為BD=2DC，所以AD=13AB+23AC，

｜AD｜²=19｜AB｜²+49｜AC｜²+49AB·AC=19c²+49b²+49bccosA=49b²+19c²+29bc，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=9.問題轉(zhuǎn)化為在b²+c²-bc=9條件下，求49b²+19c²+29bc的最大值.由于無法使用常規(guī)的方法消元，也很難轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)問題，學(xué)生束手無策.此時，教師應(yīng)發(fā)揮引導(dǎo)作用，鼓勵學(xué)生打破三角函數(shù)背景的桎梏，從不同角度去觀察運算對象，探究運算思路.

窮則思變，在沒有運算思路的情況下，必須對運算對象作出合理的變形，轉(zhuǎn)化成相對比較熟悉或者更為簡單的運算對象.本題的關(guān)鍵是怎樣把條件（二元二次方程）和目標（二元二次函數(shù)）結(jié)合起來，擦出火花.

1.3"從次數(shù)角度觀察，齊次變形

注意到條件與目標二元函數(shù)均為關(guān)于b，c的二次式，可以將條件轉(zhuǎn)為“1”，放到目標函數(shù)的分母上，使分子、分母齊次化，然后整體換元，可以在無法消元的情況下實現(xiàn)“減元”，達到簡化函數(shù)（運算對象）的目的，為后續(xù)求最值鋪平道路.

解法2：因為b²+c²-bc=9，

所以｜AD｜²=49b²+19c²+29bc=49b²+19c²+29bc19（b²+c²-bc）=4b²+c²+2bcb²+c²-bc=4bc²+2bc+1bc²-bc+1，

設(shè)t=bc（tgt;0），｜AD｜²=4t²+2t+1t²-t+1=4（t²-t+1）+6t-3t²-t+1=4+6t-12t²-t+1，

令u=t-12，則｜AD｜²=4+6uu+12²-u+12+1=4+6uu²+34=4+6u+34u≤4+6234=4+23，

當且僅當u=32，即t=bc=3+12時，｜AD｜²取得最大值4+23，此時AD的最大值為1+3.

1.4"從系數(shù)角度觀察，配湊定值

解決條件等式下求二元函數(shù)的最值問題的一個重要方法是基本不等式法，運用基本不等式求最值的一個關(guān)鍵所在是湊“定值”.本題根據(jù)不等式將條件中的bc項放縮成含b²與c²的項，與原來的項合并，再考慮系數(shù)和目標函數(shù)中的2b²+c²成正比，即可得到2b²+c²為定值.在無法直接觀察出b²和c²項系數(shù)的情況下，可以使用“待定系數(shù)法”來確定如何分解系數(shù).

解法3：由λb²+c²≥2λbc（λgt;0），得bc≤λ2b²+12λc²，

所以b²+c²-bc≥1-λ2b²+1-12λc²，令1-λ21-12λ=2，解得λ=3-1，于是9=b²+c²-bc≥3-32b²+3-34c²=3-34（2b²+c²），所以2b²+c²≤6（3+3），當且僅當bc=3+12時，等號成立，所以AD²=13（2b²+c²）-2≤2（3+3）-2=4+23，AD²取得最大值4+23，此時AD的最大值為1+3.

1.5nbsp;從項的角度觀察，旋轉(zhuǎn)變換

條件b²+c²-bc=9中含有bc項，比較復(fù)雜，如果利用旋轉(zhuǎn)變換b=x+y，

c=x-y，消去bc項，則運算對象變得更為熟悉，從軌跡的角度來看實質(zhì)就是一個橢圓，接著利用橢圓的參數(shù)方程（三角換元），同樣可以達到“減元”的效果，運算思路就十分明顯了.

解法4：設(shè)b=x+y，

c=x-y，則b²+c²-bc=（x+y）²+（x-y）²-（x+y）（x-y）=x²+3y²=9，

設(shè)x=3cosθ，

y=3sinθ，則AD²=23（x+y）²+13（x-y）²-2=x²+y²+23xy-2

=9cos²θ+3sin²θ+23·3cosθ·3sinθ-2=3sin2θ+3cos2θ+4

=23sin（2θ+π3）+4，當θ=π12時，AD²取得最大值4+23，此時AD取得最大值1+3.

1.6"回歸圖形，洞若觀火

上面的幾種解法不僅需要具備很強的轉(zhuǎn)化變形能力，還具有較大的計算量.這時，教師可以追問學(xué)生“有沒有更好的處理方法？能不能避免如此煩瑣的運算過程”.上述解法更多的是從“數(shù)”（計算）的角度考慮，可以引導(dǎo)學(xué)生再次觀察運算對象，從“形”的角度來思考.發(fā)現(xiàn)這個問題的前提條件是三角形的一邊及其對角確定，由此聯(lián)想到三角形的外接圓也可以確定.

解法5：從解析幾何角度，減少運算.

以△ABC的外接圓圓心O為原點，BC的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標系（如圖1）.由正弦定理得△ABC外接圓直徑為2r=asinA=23，則圓的方程為x²+y²=3，B-32，-32，C32，-32，D12，-32，設(shè)A（3cosθ，3sinθ），則AD²=3cosθ-12²+3sinθ+32²=3sinθ-3cosθ+4=23sinθ-π6+4，當θ=2π3時，AD²取得最大值4+23，此時AD的最大值為1+3.

善于在事物的變化中找出不變性，這樣才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).本題中△ABC的頂點A的位置在變化，但由于邊BC長度和對角A的大小不變，得到其外接圓不變，即頂點A的軌跡是圓，這就是問題的本質(zhì).在明確運算對象本質(zhì)的情況下，可以更好地利用其變化規(guī)律，選擇合適的運算方法（圓的參數(shù)方程），大大減少了運算過程.

解法6：從平面幾何角度，直觀觀察.

作出△ABC的外接圓O（如圖2），△ABC外接圓直徑為2r=asinA=23，點A在圓周上運動，當線段AD經(jīng)過圓心O時，AD最大，圓心O到直線BC的距離為r²-12BC²=（3）²-32²=32，OD=12²+32²=1，此時AD=AO+OD=1+3.

在發(fā)現(xiàn)頂點A在圓上，由于點D是邊BC上的一個定點，運算對象轉(zhuǎn)化為圓上一動點到圓內(nèi)一定點的距離，根據(jù)幾何直觀，顯然是當兩點連線經(jīng)過圓心時距離最大，這樣的方法幾乎沒有什么運算量，整個過程沒有用到什么運算方法和技巧，可以說是“無招勝有招”.

2"基于深度學(xué)習的教學(xué)策略

上述例題的各種運算方法百花齊放，精彩紛呈，都是建立在具備較高的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)基礎(chǔ)之上.數(shù)學(xué)運算方法眾多，思路各異.要想達到信手拈來、爐火純青的地步，學(xué)生的學(xué)習就不能徘徊在低水平的淺層學(xué)習.教師在教學(xué)活動中需要采用合理的方式，促進學(xué)生的深度學(xué)習，不斷提升學(xué)生的運算素養(yǎng).

2.1"加深概念理解，明晰運算對象

深度學(xué)習是理解性的學(xué)習，反對機械化的記憶.在概念教學(xué)過程中，教師要舍得花時間，讓學(xué)生經(jīng)歷識別、比較、感悟、歸納、抽象等一系列過程，才能實現(xiàn)對基本知識、概念、原理等的深入理解，從而對概念的內(nèi)涵和外延有全面的認識.這樣，學(xué)生在運算過程中才能更快地明晰運算對象，進一步探究運算思路.

例如，在等差數(shù)列教學(xué)中，對于等差數(shù)列的前n項和公式S_n=na₁+n（n-1）2d，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點來觀察，可以將S_n=d2n²+a₁-d2n=An²+Bn視為關(guān)于n的函數(shù)，它是常數(shù)項為0的二次函數(shù).學(xué)生熟悉這一特征后，在將來的解題中，如果遇到形如S_n=An²+Bn的數(shù)列，就會很快明確這是一個等差數(shù)列.

2.2"揭示知識聯(lián)系，拓展運算思路

深度學(xué)習是體系化的學(xué)習.數(shù)學(xué)知識之間存在很多的聯(lián)系，有數(shù)與形的聯(lián)系，有特殊與一般的聯(lián)系，有函數(shù)與方程的聯(lián)系，有數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.教師將這些聯(lián)系揭示出來，并在原有知識的基礎(chǔ)上，對新獲取的信息進行整合，形成知識的網(wǎng)絡(luò)體系，有利于學(xué)生在一種運算思路受阻的情況下，及時轉(zhuǎn)變方向，探索可行的運算方法.例如，根據(jù)向量的數(shù)量積a·b=|a||b|cos〈a，b〉，可以得到不等式|a·b|≤|a||b|，用坐標來表示即可得到柯西不等式（x₁x₂+y₁y₂）²≤（x²₁+y²₁）（x²₂+y²₂）.在教學(xué)過程中，教師揭示這種聯(lián)系，可以使學(xué)生掌握向量的一個重要應(yīng)用，也強化了學(xué)生對柯西不等式的幾何認識，從而使學(xué)生對這兩個知識的理解更加豐滿，為提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

2.3"倡導(dǎo)解題反思，優(yōu)化運算方法

深度學(xué)習是反思性的學(xué)習，在得出運算結(jié)果后，應(yīng)該倡導(dǎo)解后反思.教師不僅要對學(xué)生的運算方法和運算結(jié)果及時點評，還應(yīng)創(chuàng)設(shè)學(xué)生之間積極交流、互相評論的課堂氛圍，將不同的運算方法進行比較、分析，甚至辯論，以尋求最優(yōu)的運算方法.上文展示的各種運算思路，單憑一己之力，學(xué)生很難想得那么全面，正是在師生積極交流的過程中不斷涌現(xiàn)出來的，這一過程使學(xué)生開闊眼界，打開思路，還可以培養(yǎng)反思的習慣，為提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)提供助力.

2.4"加強深度訓(xùn)練，提升運算品質(zhì)

良好的運算品質(zhì)，表現(xiàn)在運算前沒有畏懼心理，在運算過程中遇到簡單問題不輕視，遇到復(fù)雜問題不急躁，始終保持平和的心態(tài)，運算受阻時有調(diào)整思路的轉(zhuǎn)化意識，一旦確認運算程序后有不得運算結(jié)果不罷休的強大意志.這些良好的運算品質(zhì)不是與生俱來的，需要通過科學(xué)訓(xùn)練來逐漸提升，一般的淺層訓(xùn)練，作用僅限于促進數(shù)學(xué)知識的掌握和運算方法的熟練.深度學(xué)習，并不是實行題海戰(zhàn)術(shù)，而是教師通過選擇高質(zhì)量、有代表性和挑戰(zhàn)性的問題，給學(xué)生提供一定的獨立思考的時間和空間，并及時組織評價和反思交流.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.