問題驅動探究 活動助力成長

探究式教學強調學生主體地位，鼓勵其在觀察、討論、實驗等探究活動中主動求知，進而促進能力發展，提升綜合素養．在高中數學教學過程中應用探究式教學，不僅能夠激發學生的學習動機，增強學生學習的主動性和積極性，還能激活學生的思維活力，加深學生對數學本質內容的認識.在“等比數列的概念\"教學中，教師結合實際教學創設探究活動，引導學生通過類比探索發現等比數列的相關概念和知識，充分體現了學生的主體地位，有效促進了學生數學能力和思維能力的發展．現將教學過程呈現如下，以供參考.

能順著這張紙爬上月球.\"請大家拿出一張A4紙試試看，說說你的發現.（記紙張厚度為 0.5mm ）

師生活動：教師讓學生將一張紙對折5次，每次對折后記錄紙的層數，并計算紙的厚度.學生通過動手操作與計算，得出了兩個數列：2，4，8，16，32（表示每次對折后紙的層數），以及1，2，4，8，16（表示每次對折后紙的厚度）.

情境2莊子云：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.\"如果用數來表達，你想如何表達？

師生活動：在教師的啟發和指導下，學生得到一個數列：

生2：數學是一門追求嚴謹的學科，我覺得這樣描述更準確：從第二項起，每一項與它的前一項的比是同一個常數.

師：很好！那你們覺得給這個數列起個什么名字比較合適呢？

生3：在等差數列中，相鄰兩項的差是常數；而這些數列里，相鄰兩項的比是常數，所以我認為可以把這些數列命名為等比數列．（其他學生紛紛點頭表示贊同）

師：那該如何定義等比數列呢？（教師鼓勵學生發言，最后歸納并板書.）

設計意圖結合教學內容創設問題情境，激發學生思維，快速引導學生進入學習狀態．以教師為主導、學生為主體，通過類比等差數列，引導學生歸納總結等比數列的定義，培養學生的歸納概括能力與數學表達能力.

教學過程

1.創設情境，激發興趣

情境1有一位數學家曾經豪言：如果你能將一張紙對折38次.

師：觀察以上數列，能看出它們具有什么特點嗎？

生1：這些數列中，后一項與前一項的比都是常數.

2.思考辨析，歸納感悟

師：下列數列是等比數列嗎？若是，請寫出其公比；若不是，請說明理由.

（1）1，1，1，1，1;

（2）0，2，4，8，16;

（3）81，27，9，3，1;

（4）8，16，32，64，128;

（5）a，a，a，a，a.

師生活動：學生獨立思考后，教師點名讓學生給出自己的答案.

生4：（1）是，公比是1;（2）不是， 無意義;（3）是，公比是 ；（4）是，公比是2；（5）是，公比是1.

師：大家有不同的意見嗎？

生5：（5）不一定是等比數列.例如，當 a=0 時，它就不是等比數列.

師：分析得很有道理.結合以上分析過程，你認為判斷一個數列為等比數列需要注意什么？

生6：數列的第一項不能為0生7：每一項都不能為0

生8：若首項和公比不為0，所有項均不為0.

師：大家說得非常好，可見若 {a_n} 是等比數列，則 ∣a₁≠0，q≠0 ，從而 （2號

設計意圖通過實例引導學生深入思考辨析，深化對等比數列概念的理解.教師避免直接給出答案，而是創造機會鼓勵學生思考、交流和爭論，通過有效互動使學生將知識內化，從而提升思辨能力，培養嚴謹的思維習慣.

3.變式訓練，鞏固新知

師：結合數列的通項公式，說說它們是否為等比數列.

（1）a_n=3ⁿ;（2）a_n=4×2^3n-1;（3）a_n= （-3）^-n;（4）a_n=0.

師生活動：學生獨立完成，教師巡視，并點名讓學生回答

生9：我們小組認為第（1）題里的數列是等比數列，因為 a_n=3ⁿ ，所以 a₂ =3，故{an}是等比數列.

師：誰來點評一下.

生10：結論是對的，但是過程存在問題，這里僅說明前3項中每一項與前一項的比是同一常數，理由不夠充分.

師：點評得非常好，該如何完善呢？

生10;因為 ，所以 {a_n} 是等比數列.

師：下一題誰來說說？

生11： 4x21=4，所以{n是等比數列.

生12：思路是對的，但是計算有問題，應該是， a_n+1=4×2^3（n+1）-1=4×2³ⁿ⁺² 0所以 4x2=8.所以{a是等比數列.

師：很好，第（3）題呢？

生13：由于 ，根據定義可 a_nn （20 知 {a_n} 是等比數列.

生14：計算有問題.為了便于計算，可以將 a_n=（-3） 轉化為 所以 故 {a_n} 是等比數列.

師：補充得非常好，變形后再計算可以有效減少錯誤的發生．對于第（4）題，是我們前面探討的問題， a_n= 0不是等比數列，這里我們不再重復.

隨后，教師請學生列舉幾個常數列，并分享他們的觀察結果.學生積極參與，通過思考和交流得到如下結論：所有非零常數列既是等差數列，也是等比數列．常數列0，0，0，0，0僅是等差數列.

設計意圖通過變式問題引導學生辨析、比較，進一步深化學生對等比數列概念的理解．在此過程中，教師有意識地呈現學生的錯誤，并提供機會讓學生析錯、糾錯，通過辨析矯正學生的錯誤，形成正確的認識，提高學生分析和解決問題的能力.

4.應用拓展，提升能力

師：請結合已有經驗思考這樣一個問題：已知 ^2，a，8 是等比數列，求 a 的值.

生15：根據等比數列定義可知， 所以 a²=16 ，故 a=±4.

師：回顧等差數列，若 ^2，a，8 是等差數列，我們將a稱為什么？

生齊聲答：稱為2，8的等差中項

師：與等差數列相類比，你認為上一等比數列中的 可以稱為什么？

生齊聲答：2，8的等比中項

師：結合等差中項的定義，給出 等比中項的定義.

師生活動：教師預留時間讓學生思考、交流、類比，學生迅速給出了等比中項的定義，教師隨即板書記錄.

師：你認為等差中項與等比中項有何區別呢？

生16：兩個數的等差中項只有一個，而等比中項有兩個.

生17：兩個數若是異號，等差中項存在，等比中項不存在.

師;非常好！在等差數列中，an-1，a_n，a_n+1 有什么關系？

生齊聲答：2an=an-1+an+1

師：很好，由 2a_n=a_n-1+a_n+1 ，能否說明 {a_n} 是等差數列呢？

生齊聲答：可以.

師：與之相類比，在等比數列中，你又能得到怎樣的關系呢？

生18：若 {a_n} 是等比數列，則 a_n²= a_n-1a_n+1 ；反之，若 a_n²=a_n-1a_n+1 ，則 {a_n} 是

等比數列.

師：通過類比得到了類似的結論，非常好．你認為這一結論是否成立呢？ （學生積極思考）

生19：我們可以進一步驗證.若{a_n} 是等比數列，則 ，所以d=1n;；反之，若=n則 成立，所以數列 {a_n} 是等比數列.

生20：前半部分的證明沒有問題，但后半部分的證明存在問題．因為若 a_n=0（n∈N^*） ，此時 a_n²=a_n-1a_n+1 成立，但是數列 {a_n} 不是等比數列.

設計意圖在應用新知的基礎上，通過拓展延伸自然地引出等比中項的概念，讓學生充分體會類比在數學研究中的價值，逐步提高學生的自主探究能力．在教學中，教師有意識地引導學生分析等差中項和等比中項的區別，以此在強化知識理解的同時，鍛煉學生的說理能力，培養學生思維的嚴謹性.

5.歸納總結，感悟升華

師：本節課我們重點學習了哪些內容？你有哪些收獲？還有哪些疑惑？

設計意圖教師預留時間，鼓勵學生自主歸納與反思，同時提供平臺讓學生展示個人見解與疑惑，通過互動交流深化知識理解，優化認知結構，進而拓寬學生的知識視野.

教學思考

數學學習是一種經歷、一種體驗、一種感悟，而不是簡單識記和套用.在高中數學教學中，教師應勇于放手，將第一次思考的時間交給學生，將第一次表達的機會讓給學生，引導學生經歷知識的形成過程，讓學生在過程中將相關知識、思想方法等內化于心，逐步提高數學思維能力，發展數學學科核心素養.

在本節課教學中，教師摒棄直接講授定義的方式，而是依據教學內容與課堂實際，巧妙設問，引導學生在問題引領下積極參與動手操作、自主探索及合作交流，從而在主動實踐中掌握知識技能，提煉思維方法，進而促進思維發展和數學能力的提升.

總之，在高中數學教學中，教師需兼具講授者、指導者、啟發者等多重角色，勇于放手，激勵學生自主探究，從而在獲取知識的同時，培養其可持續發展的學習能力.