R³ 上帶有凹凸非線性項(xiàng)的Schrodinger-Poisson系統(tǒng)的無窮多解

中圖分類號(hào)：0176.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-0033（2025）04-0019-08

Abstract：A class of Schrodinger-Poisson systems with concave-convex nonlinear terms is studied，in which the potential function v（x）∈C（R³，R） doesnot have to satisfy the mandatory condition.Under more general concave convex nonlinear conditions，by introducing the variational framework and combining the detailedestimationofnon-local terms，the fountain theoreminthecritical point theory isutilized to prove that forany μ∈R system，there exist infinitely many high Π-Π energy solutions.This breaks through the mandatory restrictions on the potential function in traditional studies and establishes the existence theory of multiple property solutions applicable to a wider range of concave-convex nonlinear conditions. It further expands the understanding of the solutions of such complex systems.

Keywords：Schrodinger-Poisson system; Fountain Theorem; high energy solution

薛定諤-泊松系統(tǒng)由薛定諤方程和泊松方程耦合而成，用于描述量子力學(xué)中粒子在勢(shì)場(chǎng)中的復(fù)雜行為。其中，Schrodinger方程作為非相對(duì)論性量子力學(xué)中描述單個(gè)粒子量子態(tài)的核心方程，是一個(gè)線性偏微分方程，其數(shù)學(xué)形式為：

其中， ψ 是波函數(shù)， V 是電勢(shì)， m 是粒子的質(zhì)量， ? 是約化普朗克常數(shù)。而Poisson方程則是一個(gè)二階偏微分方程，主要闡述了電勢(shì) V 和電荷密度 ρ

之間的內(nèi)在聯(lián)系，其數(shù)學(xué)式為：

其中， 是真空的電容率。薛定諤-泊松方程組通過波函數(shù)的模平方（即電荷密度）相互耦合，形成了一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。這種耦合不僅引入了非線性效應(yīng)，還涉及多尺度物理過程，極大地增加了問題分析與求解的難度。在半導(dǎo)體物理領(lǐng)域，該方程組對(duì)于理解電子在晶體中的輸運(yùn)性質(zhì)、設(shè)計(jì)新型半導(dǎo)體器件（如量子點(diǎn)、量子線和量子阱）至關(guān)重要。在量子化學(xué)中，它有助于揭示分子內(nèi)部電子結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)，以及化學(xué)反應(yīng)的動(dòng)力學(xué)過程。在量子信息科學(xué)中，薛定諤-泊松系統(tǒng)為量子比特的操控和量子糾纏的生成提供了理論基礎(chǔ)，是實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算和量子通信技術(shù)的關(guān)鍵工具。

本文研究 Schrodinger-Poisson系統(tǒng)：

其中， v（x）∈C（R³，R） 為勢(shì)函數(shù) I∈C（R³×R，R） 且 g∈ C（R³×R，R） ，該系統(tǒng)也稱為Schrodinger-Maxwell系統(tǒng)，已被研究者們廣泛研究-8。在眾多研究方向中，有關(guān)系統(tǒng)的正解[8-10]，非平凡解[7.I1-14，無窮多個(gè)高能量解[15-1，無窮多個(gè)負(fù)能量解，徑向解及一般解[18-2的存在性均已得到探討。然而，在這些研究中，眾多非線性項(xiàng)常被假定為超線性或次線性，對(duì)具有凹項(xiàng)和凸項(xiàng)組合的問題研究相對(duì)較少。凹凸非線性項(xiàng)的組合效應(yīng)最初由Ambrosetti等4在有界域的橢圓方程中研究，他們運(yùn)用變分法證明了此類方程存在無窮多個(gè)負(fù)能量解。近年來，Liu等[2在Schrodinger型方程中引入了凹項(xiàng)和凸項(xiàng)非線性組合，成功得到無窮多個(gè)節(jié)點(diǎn)解。劉林祥等在一定條件下，借助臨界點(diǎn)理論中的Ekeland變分原理和山路定理，證明了Schrodinger-Poisson系統(tǒng)存在兩個(gè)正解。尤其，Shao等利用噴泉定理證明了凹凸非線性Schrodinger-Poisson系統(tǒng)無窮多個(gè)高能量解的存在性。Chen[22在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上減弱了位勢(shì)函數(shù) σ_v 和非線性項(xiàng) f 的約束條件，利用 Z_2^- 山路定理獲得了式（1）的無窮多高能量解的存在性，推廣了文獻(xiàn)[16的結(jié)論。具體而言，文獻(xiàn)[22]給出的假設(shè)：

η（v1） v（x）∈C（R³，R） 滿足 inf_x∈R³v（x）gt;0 并且存在 常數(shù)滿足： lyl-→∞ ?Mgt;0，r₀gt;0 。

）存在常數(shù) 112lt;2 和函數(shù) （i=1，2）滿足： （204號(hào)g （20（f 并且存在常數(shù) 2?=6 c₀gt;0 ，滿足： （204號(hào) 對(duì) x∈R³ 一致成立，這里 ，并且 （204號(hào)（f3^′） 存在常數(shù) L₀gt;0，θ?4 和 c₁?0 滿足： （24號(hào)（f4） f（x，-z）=-f（x，z），?（x，z）∈R³×R° 注1條件 η（v1） 由Bartsch等[23給出，用于保證工作空間的緊性嵌入；由條件 （g2） 和條件（f4）可知 φ 是偶函數(shù)。

定理 1^[22] 假設(shè)條件 、（f2^′），（f3^′） 和（f4）成立，則存在 使得當(dāng) |μ|?μ₀ 時(shí)式（1）有無窮多個(gè)高能量解。

鑒于此，本文考慮在文獻(xiàn)[22]的基礎(chǔ)上相應(yīng)減弱位勢(shì)函數(shù) V 及非線性項(xiàng) f 和 g 的約束條件，綜合使用噴泉定理、Fatou引理、Holder不等式和反證法，克服工作空間嵌入失緊的困難，探討Schrodinger-Poisson系統(tǒng)式（1）在任意的參數(shù) 的條件下解的存在性和多重性，豐富和推廣文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[22]的結(jié)論。

1預(yù)備知識(shí)

1.1符號(hào)說明與重要引理

記號(hào)： 是通常的Sobolev空間，其上的范數(shù)為：

L^s（R³） （1?slt;+∞ 表示通常的Lebesgue空間，其上的范數(shù)為：

c_i（i∈N） 表示不同的正常數(shù)。

假設(shè)條件 、 （f2） 人 （f3） 和 （f5）～（f7） 成立：

存在常數(shù) 112lt;2 和函數(shù)

（204號(hào)其中， 使得

（20（f2） （20 Fxz）=+∞關(guān)于x∈R2一致成立。（f3） ）存在常數(shù) L₀gt;0 和 c₁?0 使得 （f5）存在常數(shù) θgt;4，c₁^'gt;0 ，使得 （f6） 存在常數(shù) θgt;4，L^'gt;0 ，使得 （f7） 對(duì) ?s∈[0，1] ， ?θ?1 ，使得 （204號(hào)其中， F（x，z）=zf（x，z）-4F（x，z）， 。

注2條件 和條件 （g2） 限制了凹項(xiàng) g 的性質(zhì)，條件 （f1）～（f7） 限制了凸項(xiàng) f 的性質(zhì)。其中條件 控制凹項(xiàng) g 的增長速度，使 Π_g 滿足變分框架下的有界性或緊性條件，結(jié)合條件 和條件 （f1） 確保非線性項(xiàng)在Sobolev空間中可積。

注3條件 （f1） 和條件 （f2） 保證了在合適的空間中， φ 是 C¹ 泛函，進(jìn)而可以使用噴泉定理來尋找方程的解；條件 （f3） 中的不等式關(guān)系有助于構(gòu)造泛函 φ 的幾何結(jié)構(gòu)，使得在應(yīng)用噴泉定理時(shí)，能夠證明 φ 存在多個(gè)臨界點(diǎn)，這些臨界點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)式（1）的多個(gè)解。條件 （f5）～（f7） 中對(duì)非線性項(xiàng) f 與相應(yīng)的原函數(shù) F 之間的關(guān)系作出規(guī)定，這不僅保證了解具有高能量，還可用于調(diào)控解的能量增長速度，從而在證明解的存在性和多重性過程中提供重要的能量估計(jì)。

定義：

則 E 是一個(gè)Hilbert空間，其上的內(nèi)積為：

范數(shù)為：llu=

顯然，在條件 η（v1） 下，空間嵌入 E?L^s（R³） （2?s?6） 是連續(xù)的，從而對(duì)任意 s∈[2，6] ，存在常數(shù) τ_sgt;0 ，使得

u_s?τ_su_E，?u∈E°

引理 1^[23] 在假設(shè)條件 Π（υ1） 下，對(duì)任意 s∈[2，6） ，空間嵌入 E?L^s（R³） 是緊的。

用符號(hào) D^1，2（R³） 表示函數(shù)空間 C₀^∞（R³，R） 在范數(shù) |?|_D^1，2=|??|₂ 下的完備化空間，很清楚，空間D^1，2（R³） 是能夠連續(xù)嵌入到空間 L⁶（R³） 。

引理 2^[24] 對(duì)每一個(gè) u∈H¹（R³） ，存在唯一的?_u∈D^1，2（R³） ，其是式（1）第二個(gè)方程的解并且滿足（20號(hào) ?_u≥0 此外， 且 其中 c₁gt;0 不依賴于 u （204號(hào)

引理 3^[25] （Fatou引理）若 {f_n} 是 Ω 上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則

引理 4^[25] （Holder不等式）當(dāng) p?1，q?+∞ ，1+1=1。如果u∈（Ω），∈L（Ω），那么

定義泛函 φ：E?R ，

φ（u）=

其中， 。根據(jù)引理 2，φ 是明確定義的。此外， φ 是 C¹ 泛函，并且對(duì)任意 u，v∈E ，有

?φ^'（u），v?=

眾所周知 （u，?_u）∈E×D^1，2（R³） 是式（1）的解當(dāng)且僅當(dāng)u∈E 為 φ 的臨界點(diǎn)。

定義 1^[26] 設(shè) X 是Banach 空間，且 φ∈C¹（X，R） 如果對(duì)任意 {u_n}?X 滿足 φ（u_n） 有界，并且 S^'（u_n）?0 可推得 {u_n} 存在一個(gè)收斂子列，則稱 φ 滿足Palais-Smale（PS）條件。

1.2Palais-Smale條件的證明

引理5假設(shè)條件 （v1）、（g1）、（f1）、（f2） 和（f3） 成立，則泛函 φ 滿足（PS）條件。

證明：設(shè)序列 {u_n} 是泛函 φ 的一個(gè)Palais-Smale序列，即對(duì)某個(gè) c∈R，φ（u_n）?c 并且 φ^'（u_n）?0 （n?∞） 。斷言 有界，否則，則存在一子序列（仍記為 （u_n）） 滿足： |u_n|_E?∞（n∈∞） 。

設(shè) ，則 |w_n|_E=1 存在一子序列滿足：

情形1 。設(shè) 則meas（Ω）gt;0

由條件 （f2） 得：存在 r₁gt;0 使得

∣w_nw 在 E 中弱收斂

在 L^s（R³） （ 2?slt;6 強(qiáng)收斂， F（x，z）≥0

（204號(hào) ?x∈R³ |z|?r₁

∣w_n（x）?w（x）a.e.x∈R³

由條件 （f1） 可得

其中， c₂=c₀（1+r₁^-2） ，對(duì)所有的 x∈R³，z?r₁ 成立。結(jié)合式（5）和式（6）可推出：

令 ，有

若 w（x）≠0 ，則當(dāng) 時(shí)，有 。因此對(duì)充分大的 n，Ω?Ω_n（r₁，+∞） ，由條件 （f2） 和Fatou引理可推出：

由引理2和式（2），可得

另外，結(jié)合條件 、Holder不等式和式（2），可得

注意到 112lt;2

從而

因此，結(jié)合式（3）、式（7）＼～式（9）和式（11）可得

矛盾。

情形2 w=0 。由條件 ?f1? 和 pgt;2 ，可得

從而

因此

這里 c₅=3c₀（1+L₀^p-2）

結(jié)合條件 （f3） 可得

此外，由條件 、Holder不等式和式（2）可推出：

其中，

注意到 q₁，q₂∈（1，2） ，有

因此，由式（3）式（4）、式（12）和式（13）可知，

1+o（1）-（c₁+c₅）|w_n|₂²，

這意味著 0?1 ，矛盾。故 {u_n} 在 E 中有界，則通過取子列，不妨設(shè)

∣u_n（x）?u（x）a.e.x∈R³°

由式（4）可得

φ^′（u_n）-φ^′（u），u_n-u=

由于 在 E 中弱收斂，有

?φ^′（u_n）-φ^′（u），u_n-u??0

從式（2）和引理2可得

并且由 {u_n}?E 的有界性可得 {?_un} 在 D 中是有界的。因此，從Holder不等式，嵌入 D（R³）?L⁶（R³） 由式（2）和 u_n?u 在 L^s（R³）（2?slt;6） 中成立，可得當(dāng)n?∞ 時(shí)有

|?_un-?_u|₆|u_n-u|₃|u_n|₂?0

和

因此，當(dāng) n?∞ 時(shí)有

由條件 不等式和 sup_n|u_n|_Elt;+∞ ，可知當(dāng) n∞ 時(shí)有

同理可得，

當(dāng) 時(shí)也有

因此，當(dāng) n∞ 時(shí)有

由條件 （f1） 和Holder不等式可知當(dāng) n∞ 時(shí)有

同理可得，

因此，當(dāng) 時(shí)有

結(jié)合式（14）＼～式（18）可得當(dāng) 時(shí)有

|u_n-u|_E?0：

故 u_n?u 在 E 中強(qiáng)收斂。

設(shè) E 為可分的Banach空間，則存在 {x_n}_n=1^∞（E） {f_n}_n=1^∞?E^*， 使得：

（i） ?f_n，x_m?=δ_n^m ，其中，當(dāng) |n=m 時(shí)， δ_nⁿ=1 當(dāng) 時(shí)， δ_n^m=0 。

（ii） （iii） （204號(hào)

今：

則有引理6和引理7。

引理 6^[24] 假設(shè)條件 η（v1） 成立，則對(duì)任意2?s?2^* ，有

引理 7^[27] （噴泉定理）設(shè) E 為Banach空間，Y_k，Z_k 按式（19）定義， φ∈C¹（E，R） 且 φ（-u）=φ（u） ?u∈E 若對(duì)任意的 k∈N， 存在常數(shù) ρ_kgt;r_kgt;0 ，使得：

（i） （iii）_φ 滿足（PS）條件。 則泛函 φ 有一列趨于 +∞ 的臨界值。

2基于噴泉定理的無窮多高能量解存在性的證明

定理2假設(shè)條件 （v1）?（g1）～（g2） 及 （f1） ＼～（f4）成立，則對(duì) ?μ∈R ，式（1）有一列解 {u_n} 滿足：

φ（u_n）?∞（n?∞）

證明：顯然，由條件 （g2） 和條件 （f4） 可知 φ 是偶函數(shù)，并且 φ（0）=0 0

先證明對(duì)任意的 k∈N ，存在常數(shù) ρ_kgt;0 ，使得

取 V₀=inf_x∈R³V（x） ，由條件 η（v1） 知 V₀gt;0 ，并且

由于有限維空間 Y_k 上各種范數(shù)等價(jià)，則存在c_kgt;0 ，使得

由條件 （f2） 知， ?R_kgt;0 ，使得當(dāng) |z|?R_k 時(shí)，

F（x，z）?c_k|z|⁴°

由條件 （f1） 有

F（x，z）?c_k|z|⁴-M_k|z|²，?（x，z）∈R³×R

結(jié)合引理2和式（10）、式20）＼～式（22），對(duì)u∈Yk，有

注意到 q₁，q₂∈（1，2） ，因此，對(duì)充分大的 ρ_kgt;0 ，有

再證明對(duì)任意的 k∈N ，存在常數(shù) ，使得

由引理 4，β_k²?0（k?∞） ，則 ?k₀gt;0 ，使得當(dāng)kgt;k₀ 時(shí)，

則結(jié)合式（10）、式（23）和條件 （f1） ，對(duì) u∈Z_k ∥u∥?1，q₁2 有

從而對(duì) u∈Z_k，|u|_E=r_k ，有（204號(hào) （24注意到 β_k^p?0（k?∞） ，有 r_k?∞ 則由式（24）可得（204號(hào) 根據(jù)噴泉定理， φ 有一列臨界點(diǎn) {u_n}_n=1^∞ 使得φ（u）?+∞（n?∞）

注4事實(shí)上，條件 是確保工作空間緊性嵌入的一個(gè)經(jīng)典強(qiáng)制條件，很容易知道條件（f2）比條件 （f2^′） 弱得多；條件 （g1） 和條件 （f3） 改進(jìn)了條件 和條件 （f3^′） 。在研究薛定諤-泊松系統(tǒng)的無窮多高能量解時(shí)，凹項(xiàng)通常被視為攝動(dòng)項(xiàng)，具體而言，當(dāng)參數(shù) μ 很小時(shí)，定理1的結(jié)果依然成立。這意味著即使引入凹項(xiàng)作為攝動(dòng)，系統(tǒng)的高能量解的存在性仍然可以得到保證。此外，尋找無窮多個(gè)高能量解時(shí)，凸項(xiàng) f 在0處未作出任何特定假設(shè)。

另外，容易驗(yàn)證結(jié)合（f2）和（f5）可推出（f3），結(jié)合 （f2） 和 （f6） 可推出 （f3） ， （f7） 可推出 （f3） 。因此，有以下推論。

推論1若將定理1中的（f3）替換為（f5），則定理1的結(jié)論仍然成立。

推論2若將定理1中的（f3）替換為（f6），則定理1的結(jié)論仍然成立。

推論3若將定理1中的（f3）替換為 （f7） ，則定理1的結(jié)論仍然成立。

3結(jié)語

本文在更具一般性的假設(shè)條件下，針對(duì)位勢(shì)函數(shù) V 及非線性項(xiàng) f 和 g 展開研究，借助噴泉定理，證明了Schrodinger-Possion系統(tǒng)式（1）存在無窮多高能量解。在研究過程中，將泛函限定于工作空間 E ，運(yùn)用反證法，結(jié)合空間緊嵌入性質(zhì)與Fatou引理，克服了因空間無界性導(dǎo)致的嵌入緊性缺失及方程非局部項(xiàng)帶來的（PS）序列有界性驗(yàn)證難題，論證了能量泛函滿足噴泉定理所需條件。本研究成果不僅豐富和拓展了文獻(xiàn)[22]的相關(guān)結(jié)論，更為后續(xù)探索此類復(fù)雜系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ)。然而，Schrodinger-Possion系統(tǒng)的研究領(lǐng)域廣袤無垠，本文的探索僅是開端。后續(xù)可嘗試運(yùn)用本研究方法，深入探究R上帶有凹凸非線性項(xiàng)的四階Kirchhoff-Schrodinger-Possion方程無窮多解的存在性；也可借助對(duì)偶噴泉定理，挖掘Schrodinger-Possion系統(tǒng)無窮多負(fù)能量解的存在規(guī)律，為該領(lǐng)域研究開辟新方向。

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