加減法“逆向還原問題”的學習診斷與結構化干預

引用格式.加減法“逆向還原問題”的學習診斷與結構化干預[.教學與管理，2025（20）：56-59.

加減法是一年級數學教學的核心內容，其“還原減法運算，解決問題。

問題”作為學生首次接觸的逆向思維問題，是培養幾何直觀與模型意識的關鍵載體，也是學習難點。人教版《數學》一年級上冊“20以內數的認識”單元中的還原問題，以數量關系為核心，要求學生逆向推導。學生在前期學習中雖積累了加減法概念、圖畫表征等經驗，但面對逆向情境時，常因數量關系理解模糊、表征能力不足而受阻。本研究以教材例題為前測工具，通過診斷學生問題表征與運算選擇的障礙，構建“學習診斷一結構化干預”的實施路徑，旨在為一線教師提供可操作的教學策略，助力學生突破逆向思維瓶頸，深化對加減法本質的理解。

一、問題診斷：三級水平精準定位

一步加減法問題通常被細分為合并、變化和比較三種類型。其中，還原問題屬于變化型，它涉及原始量、變化量和結果量三個關鍵數量。在解決問題的過程中，學生需要準確地識別這些數量，理解變化的過程，并明確它們之間的關系，以便合理地選擇加法或

1.初次診斷“顯”問題

為確保問題診斷的可靠性和有效性，盡量降低偶然因素的影響，除了現行的2024版教材例題外，教師還增加了2022版教材中的例題進行前測，以評估學生問題表征和解決問題的能力。鑒于一年級學生識字量有限，為控制這一因素對學生解決問題的影響，評估過程中教師首先進行范讀，接著讓學生領讀和齊讀，確保學生清楚知道問題中每個字的讀音后，再獨立完成各項任務。測試卷的問題及應答要求示例見表1。

*該文為2023年度浙江省教師教育規劃課題“基于學習診斷的小學數學典型問題干預教學研究”（SMZX2023230）、2025年度浙江省教育科學規劃課題“診斷·歸因·干預：基于數學典型問題學習障礙的教學研究”（2025SC297）的研究成果

原始量（如圖1）。例題以圖文結合的形式呈現，其中“領走了6個籃球”表示減少的數量，即變化量，“剩下5個”是結果量，“原來有多少個籃球”則是需要求解的原始量。測試卷通過“畫一畫”，分析學生對三個數量的識別情況，通過“填一填”初步評估學生對三個數量關系的理解，通過“列一列”分析學生算法的選擇情況。

統計初次評估數據顯示， 81.08% 的學生能夠通過圖畫準確地表達問題中的已知量，然而在解決問題時目標不夠明確； 29.73% 的學生僅能按照數量變化的順序列出算式，例如“ 11-6=5³ ；盡管 56.76% 的學生能夠列出正確的算式，但只有 9.52% 的學生能夠同時利用圖畫和圖示準確地表征問題。這表明學生在問題表征的轉換上存在困難。通過訪談進一步確定，大部分能寫出標準算式的學生，對題目的理解也僅限于表面，僅僅機械記憶了“求原來用加法”的規則。

2.再次追測“定”層級

首次評估發現，僅用例題難以準確評估學生的能力水平，進而指導教學干預。因此，我們編制問卷對學生實施二次追測。問卷中設計減少型和增加型求原始量以及減少型求變化量各一題，以甄別依賴機械記憶解題的學生并考查他們的問題自標定位能力。

根據國內相關研究[-3將一年級學生用一步加減法解決變化型問題的能力劃分為三個水平級（見表2），并進一步確定每位學生的水平層級及各個層級占比。

3.問卷分析“明”障礙

學生在解決一步加減法問題時，其認知過程分為三個關鍵階段：第一，情境表征。學生依據圖文信息，結合個人生活經驗，在頭腦中構建問題情境的具體畫面。第二，識別數量，建立關系。基于情境表征，學生確定問題中的原始量、變化量及結果量，并建立“原始量 ± 變化量 Σ=Σ 結果量”的關系。第三，選擇算法。學生確定求解的目標，將上面的數量關系轉化為運算。這一系列過程涵蓋了從問題理解到抽象思維，再到具體運算的完整過程，深刻反映了學生認知能力的逐步深化與精細化發展。

水平1的學生在表現上呈現出兩種主要傾向。一是過分關注“數量”這一關鍵因素，卻忽略了將數量與個人生活經驗相融合，未能在頭腦中構建出問題的情境表征。他們難以辨識數量的增減變化，在應對“減少”情境的問題時，將其視為“增加”情境來處理。二是依賴“提前學”的經驗，面對問題時直接套用“求原來用加法”的口訣，簡單地將已知的兩個數量相加來求解[4]

水平2的學生能清晰地構建問題表征，明確數量變化，區分原始量、變化量和結果量，理解它們的關系。但他們在解題時難以建立符合問題自標的集合關系或僅將加、減法作為記錄數量增、減變化的工具，未能將問題中的集合關系精準地對應到運算上，導致無法正確構建算式，給出非標準答案。這表明他們在將情境理解轉化為數學運算時存在障礙。

水平3的學生需突破的關鍵障礙在于建立抽象的“部總關系”圖式。雖然他們能區分原始量、變化量和結果量，但在理解三者間的“整體一部分”關系，并脫離具體動作或關鍵詞進行靈活運算時，還存在認知門檻。具體表現為：在減少情境中，難以內化“原始量 Σ=Σ 減少量 + 結果量”的整體性；在增加情境中，難以抽象出“原始量 Σ=Σ 結果量－增加量”的逆向關系。能否超越運算的表層記錄功能，構建整體與部分關系模型，構成水平二與水平三之間的認知門檻。

二、精準干預：三維策略搭建階梯

按照學生解決問題的思維過程，針對各能力水平學生的學習障礙，我們著重從情境表征、圖畫表征以及算法選擇三個方面進行教學干預。

1.情境表征：從生活事件到數學問題的實景教學針對一年級學生以具體形象思維為主的特點，結

合認知心理學關于“動作表征先于符號表征”的規律，我們設計了“具身化實景教學三部曲”（如圖2）。

抽象模型遷移 遷 事，借出5本總數反而增加，移 可能嗎？ 矛盾辨析 連接通道：元認知提示語

（1）具身操作建立動作表征。在課堂教學中，教師創設獎勵小紅花的真實場景，手持一個裝有小紅花的不透明盒子，讓學生親自從盒子中取走小紅花5。同時，教師提出“小朋友仔細觀察，你能發現哪些數學信息？能用三句話提出一個完整的數學問題嗎？”的要求，之后展示盒子中剩余的小紅花數量。不透明盒子的使用實現了“原始數量未知”的效果；學生親自操作或觀察“取花”的過程，使得動作可視化，幫助學生形成直觀的視覺印象；展示剩余花朵的數量，即結果量的具象化。在用三句話描述問題時，提出“原來盒子里有多少朵小紅花？”這一核心問題，成功地將學生熟悉的日常情境轉化為一個數學問題。

（2）情境變式對比建立模型。當學生成功解決較少情境的還原問題后，教師以盒子內小紅花數量不足為由，再次開展實景模擬。學生又放入3朵小紅花，與全班學生一起數出此時盒子里小紅花總數為9朵。教師引導學生提出“盒子里原來有一些小紅花，陳紅又放進去3朵，現在一共有9朵，原來盒子里有幾朵？”并對比之前的問題，關注數量的變化。第一個問題是從盒子里取走小紅花，朵數變少，而新問題是往盒子里放入小紅花，朵數變多。通過對比，教師引導學生區分不同的數量變化類型，深化對數學問題的理解。

（3）雙通道轉化助力模型遷移。研究兩個實景問題后，大部分學生仍停留在具體情境中，未實現自主抽象。為此，教師開展“一變三編”和“雙向轉化\"訓練。鼓勵學生替換問題中的物品、數量或人物，提出結構相同的新問題，并列出對應算式，將情境泛化。隨后，教師指定一道算式引導學生講數學故事，使學生明確今天面臨的問題和以前問題的區別和聯系，進而自主構建問題模型。教學過程中，教師以“這里為什么用加（減）法？”“借出后反而增加了，可能嗎？”等問題，引導學生自我監控，促進深度思考。

2.圖畫表征：基于情境生成的思維可視化路徑

圖形表征教學干預的重點放在輔助學生利用圖畫來表達問題，明確不同集合之間的數量關系，從而實現問題的去情境化。

（1）逐句生成，示范構建圖畫過程。靜態文字與圖畫表征精準對應是助力學生構建還原問題數量關系的有效途徑。學生借助實景表演提出數學問題后，教師應適時引導他們將問題轉化為圖畫。教師收集并展示不同層次的學生作品，通過“你的圖畫能還原問題嗎？”促使其完整呈現問題的各個要素。教師可以采用集合圈替代大括號，因其整體感更強，用以表示“原來”，并逐步示范將文字轉化成圖形的過程，可參考圖3。

（2）看圖說題，習得圖畫表征技能。構建問題的圖畫表征，借助圖畫分析問題的數量關系，是解決問題的基本策略。然而，一年級學生尚處于表征技能的初步習得階段，他們需要在文本與圖形間不斷地比對校驗，從而精準地表征問題，逐步構建表征規則。在教師示范之后，學生先模仿作圖，再引導他們交換作品，依據圖畫復述問題，以此檢驗圖畫是否涵蓋問題的所有信息且可以達成目標。

（3）鼓勵創新，培養幾何直觀意識。圖形表征需要學生不斷地重復練習，以便在各種問題情境中逐漸培養出自主構建圖形表征的能力。當遇到“增多求原來”的問題時，教師重復上述教學步驟，示范構建圖畫表征后（如圖4），鼓勵學生創造符號，利用自己喜歡的方式畫圖，并揭示符號規則，培養學生幾何直觀意識，建立不同情境中“原始”“變化”“結果”三個數量間的關系。

3.關系構建：正視差異定制分層干預策略

在用圖畫表征問題后，學生對解決還原問題的算法選擇顯現出經驗、程序、概念三個水平層次。處于前兩個層次的學生，往往將加減運算視為記錄數量變化過程的一種方式，對運算的理解停留在表面。因此，在進行干預時，需根據各層次水平學生的特點設計教學過程。

（1）構建“圖畫一動作—符號”三者聯系。對經驗層的學生，教師要引導學生再次觀察圖畫，發現“小圓片分為去掉和剩下兩部分”，并鼓勵學生由圖畫回到實景表演，解釋兩部分的實際含義。例如，“原來的小紅花被分成了季明拿走的3朵和剩下的8朵兩個部分”。教師用“？”代表未知的原始量，指導學生將“？”“3”“8”填入分與合圖示中，并詢問填寫理由，形成求解問題的圖式。從而構建圖畫、動作、符號三者的聯系。最后，學生借助10以內數的分與和的經驗列出算式。

（2）三個關鍵問題引導正逆問題對比。程序層的學生處理問題時，會先對問題進行逆向思考，隨后依據逆向思考后數量的變化情況列出算式。以“從盒子里拿走了3朵花，還剩8朵，求原來有多少朵花？”這一問題為例，教師可以設計三個關鍵性問題，深化對數學運算本質的認識：

問題一：“明明是拿走了3朵，為什么不用減法反而用加法？”該問題旨在引導學生清晰地闡述自己的思考步驟，促使他們深人反思解題思路的形成過程。

問題二：“這時，求原來盒子里小紅花的朵數，就是把拿走和剩下的兩部分”此問題直接切入加法運算的本質，拓寬學生對加法概念的理解。

問題三：“現在，再來想一想，這里為什么用加法？”這一問題可以輔助學生構建“原始量 Σ=Σ 減少量 + 結果量”這一重要的數量關系，強化他們的理解與運用能力。（3）適度追問深化運算意義理解。概念層的學生已經能夠認識到在減少變化問題情境中，原有數量等于剩余量加上減少量；而在增加情境中，原有數量等于結果量減去增加量。教學中，教師可以把握時機適度引導學生從“部總關系”的角度闡述加減法：“加法是已知兩個部分，求總數”“減法是已知兩個部分的總數與其中的一部分，求另一部分”。

教學干預實施后的學后評估顯示， 7.14% 的學生從水平一晉升至水平二，能夠采用“逆轉動作”策略正確解題； 42.86% 的學生從水平二晉升至水平三，使得共有 61.11% 的學生能基于“部總關系”自主分析問題。針對剩余 38.88% 未達水平三的學生，教師實施了二次迭代干預，通過導學單引導問題解決，并對思維能力薄弱者強化“逆轉變化過程”的動作思維訓練，以提升個體適應性。學期末保持性追測數據進一步揭示，減少情境問題正確率高達 95.23% ，顯著高于增加情境的 73.81% ，印證了“兒童更易表征減少情境”的研究共識[]

參考文獻

[1]徐敏毅.兒童解決算術應用題時認知加工過程的實驗研究[J].心理發展與教育，1994（02）：33-39.

[2]徐敏毅.4-8歲兒童解決算術應用題認知加工過程的實驗研究（II）[J].心理發展與教育，1995（04）：16-21.

[3]劉廣珠.兒童解決算術應用題認知加工過程及比較圖式形成的實驗研究[J].心理發展與教育，1996（02）：1-5+18.

[4]田靜琳，楊回壯，蒙乃昊，等.小學一年級學生解決加減法問題時的行為和心理特征分析[J].基礎教育研究，2023（05）：64-67.

[5]李春英.原來“原來”也可以這么教——人教版“20以內進位加法解決問題”教學實踐[J].教學月刊小學版（數學），2019（Z1）：28-30.

[6]周新林，張梅玲.解答加減文字題中情境復雜性對問題難度的影響[J].心理學報，2003（02）：195-200.

[責任編輯：陳國慶]