與動點相關的綜合性問題解題策略探究

1引言

與動點相關的綜合題是中考的重要問題，該類問題涉及了動態變化，解析過程較為復雜，對學生而言存在一定的難度，解題時常沒有頭緒，無從下手.這類問題的實際解答需要轉化動點條件，把握臨界點，再結合線段來構建分段函數.因此需對解題過程進行拆解，生成解題思路

2 思路講解

與動點相關的綜合題，教學中指導學生拆解過程，建議拆解為五個階段：審題 -找臨界點-繪制過程圖 -求線段推導函數- 求分段函數.同時細化每個階段的解題重點、指導方法和注意事項，具體如下：

階段1 審題，整合題目信息

該階段指導學生進行讀題審題，整合題目信息，可將關鍵信息標記在圖上，重點關注動點的三大要素：

（1）運動元素，包括點、線段和圖形；

（2）動點起始位置，注意判斷是否與定點重合；

（3）運動的方向和速度，關注動點的運動方式.

階段2 找臨界點

該階段需指導學生找出運動的臨界點，并繪制對應的臨界圖，需要使學生明晰找臨界點的作用和判斷的依據.

（1）作用

① 找出臨界點，便于后續找出臨界值；② 根據臨界值求出相似比，或根據臨界值求解

三角函數值.

（2）判斷臨界點的依據

① 可繪制函數圖象，提取函數圖中的特殊點，此特殊點有可能為臨界點；

② 也可繪制幾何圖形，提取圖象中與運動相關的點線交叉點，交叉的固定點線可能為運動的臨界狀態.

階段3 繪制過程圖

該階段指導學生根據臨界點來繪制臨界圖，便于后續分類討論，注意需分別繪制臨界圖，不建議將圖合在一起.

階段4求線段，推導函數

該階段需要指導學生將動態條件用數式表示，再結合運動公式來表示線段，進而推導出函數解析式，教學中建議重點指導面積和邊長的推導方法.

（1）求面積

① 規則圖形，可以直接使用對應的面積公式，如平行四邊形、矩形和正方形；② 不規則圖形，采用割補法，構建 S= 大圖形面積—小圖形面積.

（2）求邊長

即求線段長，常用的公式定理方法有三角函數、相似性質、勾股定理、等量代換法等.

階段5 求分段函數

該階段為整合匯總，指導學生整合函數解析式，構建為分段函數，并明確分段函數的自變量取值范圍，最后得出結論.

3解題指導

上述總結了與動點相關的綜合題的解題思路，將過程拆解為了五個階段，學生后續解題只需根據分階段重點內容逐一梳理即可.具體教學中建議結合實例指導學生強化解題思路策略.

例題如圖1所示，四邊形 ABCD 為矩形， AB 和BC的長分別為2和 .現對矩形進行裁剪處理，沿著對角線 AC 剪切開，再進行如下兩個操作，回答相應問題.

（1）對得到的 ΔACD 進行旋轉處理，繞點 C 順時針旋轉得到 ΔA^′CD^′ ，旋轉角度為 90^° ，繪制出旋轉后的 ΔA^′CD^′ ，連接 AA^′ 并求其長度；

（2）在（1）條件下進一步平移操作，平移過程如下： ΔA^′CD^′ 沿 CB 方向向左平移，平移長度為 t（0） ，平移后的圖形與 ΔABC 有重疊部分，設重疊部分的面積為 S ，求 s 與 Ψ_tΨ_t 的函數關系式以及對應的 Ψ_tΨ_Ψ 取值范圍.

解題分析本題目主要考查作圖與旋轉、平移變換，求解分段函數需要采用數形結合、分類討論的解法策略，第（2）問為核心之問，后續解題中建議參考上述總結的思路方法，逐步拆解，分別構建.

過程構建 （1）根據題設條件，繪制圖象，見 圖2.

在 RtΔABC 中，有 ∠B=90^°，AB=2，BC= ，可得 （204號 ，可求得 ∠ACB= 30^°，AC=2AB=4

又知 CA=CA^′=4 ∠ACA^′=90^° ，可求得 AA^′ ：

（2）分析運動過程，可分為兩種情形，下面分別進行討論.

① 如圖 3-（a） 所示，當 0′M ，已知 CC^′=t ∠ACB=30^° ∠A^′C^′D^′=60^° 可推得 ∠CMC^′=90^° 所以 0 結合三角形的面積公式可求得

② 如圖 3-（b） 所示，當 時，重疊部分是四邊形 MNC^′D^′ ，采用面積割補法求解面積，結合上述 ① 求得的線段長，

可得 S=S_ΔCNC^′-S_ΔCMD^′ 綜上所述，可知

解后總結上述第（2）問求解與面積相關的函數關系時，利用臨界點分為兩種情形，分別直接使用面積公式和面積割補方法來求解.整個過程中結合運動公式，將動態條件轉化為線段條件，后續結合面積公式來推導面積函數.

4結語

與動點相關的綜合性問題探究，建議參考上述梳理的流程，把握問題重難點，詳細講解解題思路和方法，并結合實例指導學生應用強化.該類問題的破解過程會涉及大量的數學思想方法，教學中建議合理滲透數學思想，逐步提升學生的數學素養.