初中數學不等式在生活問題中的應用探索

不等式是初中數學教學的一個重要模塊，主要包括常規不等式、不等式組和含參數不等式的內容，對于解決生活中的優化問題及規劃問題有重要作用[.在日常生活和生產工作中，經常需要利用不等式關系作出更優的決策，因此學生需要將不等式的學習與生活問題聯系起來，為他們未來應用不等式解決生活實際問題打好基礎.學生學習用不等式解決生活實際問題，還可以鍛煉和提升邏輯思維能力、問題解決能力和決策能力[2].

1創設熟悉生活情境，初步構建數學與生活聯系

以往的初中數學教師教授不等式較為脫離現實，經過學習雖然學生能夠掌握不等式的應用方法，但遇到實際生活問題時難以想到應用不等式來解決.教師可以先創設一些學生熟悉的生活情境，讓學生意識到可以在這些情境下利用不等式作出更優決策，可以提升學生探究不等式更多生活應用途徑的興趣.學生在熟悉的情境下學習不等式，能夠降低學習難度并加深學習記憶，當學生在生活中真正處于相似場景時會自然回憶起不等式的相關知識，嘗試將其應用到生活中，從而加深對數學知識與生活的聯系的認識理3.通過熟悉的生活情境將抽象的不等式知識直觀呈現，有助于學生更好地理解和掌握不等式知識，從而促進知識內化，

例如 以人教版數學七年級下冊第十一章“11.1不等式”教學為例，教師在教學導人階段先引入與學生密切相關的生活情境，“當家里需要購電時，你發現購電的價格存在差異并且有不同的優惠條件.經了解，當地實行階梯電價制度，當用電量越多時電價也越高.主要分為三個梯度，第一梯度（ 0～220 度／戶）的電價為0.52元／度，第二梯度1 221～400 度/戶）的電價為0.57元/度，第三梯度（超過400度／戶）的電價為0.87元/度”根據這一情境，教師先要求學生將三個用電梯度用不等式寫出來，幫助學生熟悉不等式的基本內涵.隨后，教師給出題目“經過統計你發現家里這個月的電費是130元，那么家里這個月的用電量在哪一梯度？”要求學生用不等式進行判斷.

解題過程中，學生先將三個用電梯度用不等式表示出來，第一梯度為 0?x?220（x 表示用電量），第二梯度為 221?x?400 ，，第三梯度為 xgt; 400.隨后，為了判斷家里這個月用電量的梯度，學生需要先計算出各用電梯度的最小電費和最大電費，并用不等式將其直觀呈現出來.第一梯度的可能電費為 0?D?114.4（D 表示電費），第二梯度需先計算最大電費與最小電費的差，即第二梯度新增部分的最大電費為102.6元，得出第二梯度的總電費范圍是 114.9?D?217 ，第三梯度的總電費范圍為Dgt;217. 由于 114.9lt;130lt;217 可知家庭本月的用電量在第二梯度.

通過家庭購電這一生活情境，能夠提高學生在不等式學習中的參與度和積極性，讓學生清晰地了解到不等式在生活中的應用價值和途徑.學生將階梯電價制度用不等式表示出來，能夠熟悉和掌握不等式的基本內涵和表示方法，通過計算將電費范圍用不等式表示出來，再經過比較和判斷得出實際用電量梯度，可以鍛煉學生將不等式應用于解決實際問題的能力，同時有助于培養學生的邏輯思維和推理能力.

2設計項目式學習任務，體驗不等式的生活應用

為了實現既在生活中學習數學又將數學應用于生活的教學模式，教師可以根據生活應用主題設計項目式學習任務，如家庭預算規劃、生產資源分配、時間管理等，讓學生在項目實踐中探究和體驗不等式在生活中的實際應用[4.將學生分成項目學習小組，每組分配一個具體的不等式應用場景，讓學生經過合作交流自主完成建立不等式模型和解決問題的學習過程.通過小組合作進行項目式學習，可以讓學生在實踐中體驗不等式的應用價值.在小組成員的合作交流過程中，還可以幫助他們深化對數學知識的掌握，通過實踐應用逐漸能夠靈活運用不等式解決實際問題，從而提升學生的數學應用能力、團隊協作能力和溝通能力.

例如 以人教版數學七年級下冊第十一章“11.2一元一次不等式”教學為例，教師為各小組分配具體的不等式應用場景，其中一個應用場景是“有甲和乙兩個超市，兩者出售相同的商品且價格也相同，但各自給出了不同的優惠方案.甲超市的優惠方案是當顧客累計購物超過200元時，超出200元的部分按照九折收費；乙超市的優惠方案是當顧客累計購物超過150元時，超出150元的部分按照九五折收費.請判斷顧客在哪家超市購物花費更少？”，教師可以適當提示學生分情況討論和解答.

學生解答問題前先討論兩個超市的優惠情況，并用一元一次函數表示出來，其中用 x 表示購物金額， y 表示實際花費.顧客在甲超市的購物金額不超過200元時沒有優惠，可以用 y=x（x?200） 表示，當購物金額超過200元時超出部分按九折收費，可以表示為 y=200+0.9（x-200）（xgt;200） .顧客在乙超市的購物金額不超過150元時沒有優惠，用 y= x（x?150） ）表示，當購物金額超過150元時，超出部分按九五折收費，用 y=150+0.95（x-150）（x ）表示.針對以上初步分析，可以先從 x? 150，150200 三種情況進行分析.當 x?150 時，兩家超市都沒有優惠，所以花費相同.當 150

當 xgt;200 時不確定哪家超市的花費更少，小組決定假設甲超市的花費比乙超市的花費更少，在此假設的基礎上利用一元一次不等式求解出對應的購物金額范圍.通過計算 200+0.9（x-200）lt; 以 150+0.95（x-150） 得出當 xgt;250 時，顧客在甲超市的花費更少，由此進一步推出當 200250 時甲超市更劃算.

3實施跨學科整合教學，展現應用的多樣性與廣泛性

不等式除了在購物、購電等常見生活問題中應用，還可應用于交通路線決策、生產方案決策等領域.教師可以結合科學、環保、經濟等多個領域，引導學生探索不等式的多樣性與廣泛應用價值.通過采取案例教學和問題驅動的方式，將數學與其他學科知識與方法相結合，幫助學生理解不等式在解決實際問題中的應用，如考慮環保的成本及效益，讓學生綜合運用不等式知識分析經濟與環保問題.在不等式教學中實施跨學科整合教學，可以為學生展現不等式在復雜生活問題中的重要作用，讓他們學會從不同角度和不同領域思考不等式的多樣化應用途徑和廣泛的應用范圍，從而打破數學學習的局限性，激發學習潛能.

例如 以人教版數學七年級下冊第十一章“11.3一元一次不等式組”教學為例，教師給出題目“為了更好地保護當地環境，某市污水處理廠決定先購買 A，B 兩種污水處理設備共20臺，用于治理周邊污水，每臺 A 型污水處理設備12萬元，每臺 B 型污水處理設備10萬元.已知1臺 A 型污水處理設備和2臺 B 型污水處理設備每周可以處理污水640噸，2臺 A 型污水處理設備和3臺 B 型污水處理設備每周可以處理污水1800噸.受預算限制，市污水處理廠購買設備的資金不超過230萬元，每周處理污水的量不低于4500噸，可以設計怎樣的購買方案？所需資金最少的方案是哪種？”

學生理清題意后，認為需要先根據題目中的數量關系構建一元一次方程組，將 A，B 兩種型號污水處理設備每周處理污水的量分別計算出來，經計算可知 A 型每周每臺處理240噸， B 型每周每臺處理

200噸.隨后，假設要購買 A 型污水處理設備 x 臺，則購買 B 型污水處理設備 （20-x） 臺，在此基礎上建立兩個一元一次不等式即 12x+10（20-x）? 230和 240x+200（20-x）≥4500 ，將兩者聯立成一元一次不等式組進行求解，得 12.5?x?15 ，因此有三種購買方案，分別是購買13，14或15臺 A 型污水處理設備，經比較得知當購買13臺 A 型污水處理設備和7臺 B 型時花費資金最少.

學生經過這一跨學科問題對不等式在復雜實際問題中的應用有了基本了解，教師繼續給出更多跨學科問題，例如：“要分別利用甲和乙兩種原材料生產一種產品，甲原材料的價格比乙貴，但利用甲材料生成的產品產生的廢棄物比乙少，在資金有限且廢棄物的總量有限制的情況下，選擇資金花費最少的生成方案.”“一個城市計劃新建幾條公交線路和鐵路線路以改善交通狀況，兩種線路的建設成本和預期乘客量各不相同，在預算有限的情況下規劃線路使盡可能多的乘客受益.”“一個農業種植基地需要種植多種作物，不同作物的種植成本和市場需求不同，制定種植計劃，使在有限的總成本下滿足盡可能多的市場需求.”讓學生了解不等式在經濟、交通規劃、農業種植、資源配置等各種領域都有重要的應用價值.

4開展應用探索競賽，培養觀察力和遷移應用能力

為了綜合判斷學生在不等式方面的學習情況，教師可以組織學生參與不等式生活應用探索競賽，讓學生以團隊的形式觀察日常生活中的不等式現象，并嘗試運用所學不等式知識提出解決方案，考查并培養學生的觀察力和數學知識遷移應用能力.競賽可以設計多個環節，包括問題識別、設計解決方案、成果展示，每個環節需設置相應的評分標準，確保競賽結果的客觀性和有效性.在問題識別環節，學生逐漸形成用數學知識觀察世界的意識和習慣，用不等式設計解決方案則促使學生學會運用數學思維和數學方法解決實際問題，有助于提升他們的數學知識遷移應用能力.學生通過團隊合作完成競賽，還可以培養他們的團隊精神和團隊協作能力.

例如以人教版數學七年級下冊第十一章“不等式與不等式組”教學為例，某小組將競賽主題確定為“家庭節能減排不等式應用”，小組學生注意到在做飯時有兩種能源使用方式，一種是用電磁爐、電炒鍋、電飯鍋等廚具，這種方法使用的能源是電能；另一種方法是用天然氣.小組學生合作探究使用兩種能源蒸熟等量大米所需的成本及分別對應的耗碳量，為后續學習提供數據基礎.隨后，小組學生基于收集的數據設計需解決的問題，即家里來客人時，計劃蒸一定量的米飯及確定菜品的數量，需要設計能源成本和耗碳量都盡可能少的能源使用方案.小組學生基于收集到的數據和給出的限制條件，通過建立不等式給出更優的節能減排烹飪方案.小組成員利用PPT展示小組識別問題、收集數據、建立模型及給出優化方案的學習過程.由教師從問題識別的準確性、數據處理的嚴謹性、解決方案的有效性、不等式掌握的熟練性等方面進行綜合評價.

通過參加小組競賽，學生學會在實際問題中收集和處理數據，提升了學生對不等式應用的靈活性.能源使用量、使用成本及耗碳量等數據的直觀呈現，使學生深刻意識到節能減排的重要性，而實踐應用不等式探索優化節能減排烹飪方案的過程，可以促使學生形成積極的環保意識和行為習慣，有助于提升他們的社會責任感，

5結語

數學中不等式知識的學習和應用都不能脫離生活實際，教師在實踐教學中實施創設熟悉生活情境、設計項目式學習任務、實施跨學科整合教學及開展應用探索競賽等策略，可以有效加深學生對不等式知識的理解和掌握，同時顯著提升他們運用不等式解決生活中多樣化問題的能力.教師應繼續探索有效教學策略，促使學生能夠自主探究不等式在生活中的更多應用路徑，進而學會靈活運用不等式知識作出優化決策.

參考文獻：

[1]曹芳.初中數學一元一次不等式解題技巧及情知引導應用[J].數理天地（初中版），2024（24）：19-20.

[2]季葉紅.融生活實踐元素于初中數學教學的策略探究—以“一元一次不等式組”為例[J].數學學習與研究，2024（29）：50—52.

[3]丁建強.基于生活實踐的“一元一次不等式”課堂教學研究[J].數學學習與研究，2014（20）：80.

[4]張中月.掌握要點自主探究—初中數學不等式教學策略探討[J].試題與研究，2020（21）：71.