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探究實際生活中與圓相關的綜合問題

2025-08-12 00:00:00王強
數理天地(初中版) 2025年12期
關鍵詞:勾股定理中點連桿

1引言

“圓”作為初中數學中的重要幾何圖形之一,其與人們的日常生活有著密不可分的聯系.由于實際生活中與圓相關的綜合問題,常常涉及圓的性質定理等多個知識點,以及較為復雜的幾何圖形關系,這就導致學生在解決此類問題會遇到了一定的阻力,因此熟練掌握相關的數學知識是關鍵所在.

2 例題呈現

圖1為對心曲柄滑塊機構,圖2為對心曲柄滑塊機構運動的模型示意圖,滑塊 B 和曲柄 OA 的端點 O 在一條直線上,曲柄 OA 從 OC 開始繞回轉中心O 逆時針整周轉動的過程中,連桿 AB 使滑塊 B 在直線 OB 上往復運動.直線 OB 與圓 O 交于點 C 和點D (點 D 在點 c 的左側),連桿AB在運動過程中與圓 O 的另一交點是點 E ,曲柄 OA 的長度是 8dm .當連桿 AB 與圓 O 相切時,點 c 剛好是 OB 的中點.試求:

(1)連桿AB的長度;(2)當曲柄 OA 轉動使得 AB 首次與圓 O 相切時,滑塊 B 在直線 OB 上移動的距離;(3)如圖3所示,當曲柄 OA 轉動,首次使得 AB =3BE 時,曲柄 OA 掃過的面積.

圖2
圖3

3解題思路

分析 本題考查的知識點是二次函數的應用.

(1)首先,根據題目中的已知條件,明確連桿AB與圓 O 相切時點 C 的位置;然后,利用中點和等邊三角形的性質,判斷出 ΔAOC 的類形;最后,結合正切函數與等邊三角形的性質,即可計算出連桿AB的長度.

(2)結合幾何關系,即可求算出滑塊 B 在直線OB上移動的距離.

(3)首先,利用已知條件和幾何關系,求算出BE和OD的長度;然后,結合相似三角形的性質和幾何關系,建立方程并求解出BC的長度,同時求算出OB的長度;最后,再結合勾股定理和直角三角形的性質,即可計算出曲柄OA掃過的面積.

解析(1)當曲柄OA轉動使得連桿AB與圓O 相切時,此時 OA⊥AB ,如圖4所示,連接 AC

圖4

因為點 c 是 ?OB 的中點,

所以在 RtΔOAB 中, AC=OC=BC 又因為 OA=OC .所以 AC=OC=AO .

所以 ΔAOC 是等邊三角形,

則 ∠AOC=60°

因為 所以

(2)當曲柄 OA 未開始轉動時, O,A,B 三點共線,如圖5所示,點 B 在點 B 的位置,點 A 在點 A 的位置,

此時

圖5

當曲柄 OA 轉動使得 AB 首次與圓 O 相切時,由題(1)可知 OB=2AO=16 業所以 8.綜上所述,滑塊 B 在直線 OB 上移動的距離是

(3)如圖6所示,連接 CE,AD 因為 AB=3BE ,由題(1)可知 ,所以

圖6

又因為 OA=8 ,所以 OD=OC=8 ,CD=16 因為四邊形ADCE是圓 O 的內接四邊形,所以 ∠CEB=∠D :又因為 ∠B=∠B ,所以 ΔCEB 與 ΔADB 相似,所以 ,自 可解得 (已舍去負值),所以 在 ΔAOB 中,

所以,由勾股定理逆定理可得知, ΔAOB 是直

角三角形,即 ∠AOC=90° ·綜上所述,可求得曲柄 OA 掃過的面積是:

4結語

本文通過對一道例題的深入剖析,詳細地展示了如何將圓的性質、勾股定理等知識點應用到解決實際問題中.在解決實際生活中與圓相關問題的過程中,不僅加深了學生對相關數學知識內容的理解,還極大地激發了學生對數學學科的學習興趣,同時還鍛煉了學生的邏輯思維能力和問題分析能力.

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