“植”入模型，“樹”立思維

“植樹問題”是小學數學的經典教學內容，為培養學生的建模思維提供了良好的載體。它來源于生活實踐，具有多種現實情境（如沿路植樹、環湖植樹等），其核心在于探究“物體數量\"與“間隔數量”之間的關系。問題的條件（如總長、間距、是否兩端栽種、是否為封閉圖形等）靈活多變，不同的變化對應著不同的數學模型。解決“植樹問題\"的過程，就蘊含著觀察、分析、抽象、簡化、歸納、應用等一系列建模活動。學生探究不同情況下植樹棵數的計算方法，實際上就是在經歷一個“非形式化\"的建模過程：從具體情境中發現規律，用算式（初步模型）來表達規律，并通過進一步的驗證和應用來檢驗與鞏固模型。

教師可聚焦“植樹問題\"這一具體教學內容，通過有效的教學策略，引導學生經歷建模的全過程，為學生“植”入數學模型的基本思想，使學生“樹\"立初步的建模思維，最終實現學生模型意識的啟蒙和建模能力的初步培養，為提升小學生的數學核心素養提供可借鑒的路徑與方法。

一、數學建模理論與“植樹問題\"教學的融合

為有效培養學生的建模思維，在教學“植樹問題\"時，首先要對數學建模的核心理念、其在小學階段的育人目標以及“植樹問題”自身的教育價值建立清晰的認識，從而為構建有效的教學策略提供必要的理論依據。

（一）數學建模的基本過程

數學建模并非一套刻板的程序，它本質上是一種運用數學連接現實與理論的思考方式和實踐方法。這個過程通常始于對現實世界某個問題的關注與探究，要求研究者深入情境，識別其中關鍵的數學要素，明確要解決的核心議題。為了運用數學工具，往往還需要對復雜情境進行簡化和理想化處理，抓住主要矛盾，忽略次要細節，從而抽象出問題的數學本質。緊接著，需要運用數學的語言，如符號、圖表、算式或方程等，描述變量間的關系或系統的結構，構建起初步的數學模型。在模型建立后，則可通過數學運算求解得到理論結果。然而，這一結果是否符合實際？能否有效解釋現象？研究者必須對此進行反思與檢驗，重新評估假設、調整參數甚至重構模型。只有經歷了這樣驗證與完善的模型，才能被信賴地用于解釋世界、解決問題，并可能被推廣應用于更廣闊的領域。

（二）小學階段數學建模能力的目標

在小學階段，數學建模能力的培養并不追求學生能獨立構建多么精密的模型，而是重在啟蒙和培育學生的基礎\"模型意識”。依據《義務教育數學課程標準（2022年版）》對模型意識內涵的解釋，這意味著要讓學生初步體會數學模型的普適性，理解一個模型往往能解決一類具有共同特征的問題，感受數學的應用魅力；同時，引導他們認識到生活處處有數學，樂于并敢于用自己所學的數學知識和方法來觀察、思考、解釋身邊的簡單現象。具體而言，就是要培養學生初步具備從具體情境中抽象出關鍵信息，建立簡單模型（如圖式、算式）的能力，并使學生能圍繞特定問題進行初步的推理與應用。可見，小學建模教學的核心目標是促進靈活、探究的建模思維的萌芽，而非純粹的技能訓練。

（三）“植樹問題”蘊含的建模價值

“植樹問題\"蘊含多重的教育價值。首先，它的情境來源于生活，無論是路邊植樹還是池塘圍欄，都易于學生理解和想象。其次，它對學生的數學抽象能力提出了適切的要求。學生需要從具體的“樹\"和“間隔\"出發，提煉出“棵數”與“間隔數\"這兩個核心概念，并探索它們之間的內在聯系。再次，它以條件的多樣性驅動著模型的建構。直線與封閉、兩端栽與不栽等不同情況，能夠引向不同的數學模型（如：棵數 間隔數 ±1 或棵數 ?= 間隔數）。學生探究不同解法的過程，便是在主動經歷模型選擇與構建的活動。此外，解決“植樹問題\"的過程必然伴隨著豐富的數學思考與推理過程，如分類討論、數形結合、比較不同算法的優劣、運用“化曲為直”的轉化策略等，這些都極大地促進了學生思維品質的提升。最后也是非常重要的一點，“植樹問題”所建立的“數量一間隔”關系模型具有顯著的可遷移性，其基本結構能廣泛應用于排隊、鋸木、敲鐘等眾多生活問題，這使得學生能夠真切體會到數學模型的普適性和應用價值，從而有效促進模型意識的內化與生成。正是這些特質的有機結合，使得“植樹問題”成為小學階段進行數學建模啟蒙、發展學生建模思維的理想載體。

二、基于建模理論的“植樹問題”教學策略

數學建模思維的培養并非一蹴而就的。教師需要精心設計教學活動，引導學生經歷從具體到抽象、從特殊到一般、從理解到應用的完整過程。基于“植樹問題\"的教學特點和建模理論，可合理運用以下四個策略，共同促進學生建模思維的萌發與成長。

（一）情境驅動：從生活問題到建模需求

數學建模始于現實世界的問題。將數學知識的學習置于有意義的、貼近學生生活的真實情境中，是激發學生學習興趣、引發學生內在建模需求的首要環節。因此，教師與其直接拋出“植樹問題”的概念，不如從學生熟悉的環境或事件人手展開教學。

例如，可以利用學校新校區建設的契機，創設“要在校園里一條新建的道路旁植樹\"的情境；或者圍繞美化校園，提出“給一個正方形池塘四周布置綠植\"的任務。當一個具體、可感的問題擺在面前，如“在長20米的道路一旁栽樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹？”，學生往往會憑借直覺給出初步的猜測。這些猜測常常是多樣的，甚至可能是相互矛盾的。這種由真實情境引發的認知沖突，恰恰是激發學生探究欲望，產生“我需要用數學方法弄清楚\"這一建模需求的寶貴契機。它讓學生感受到簡單的估算可能無法解決問題，而是需要借助更精確的數學思考和方法。

（二）操作抽象：從具身體驗到數學模型

從具體的現實情境走向抽象的數學模型需要經歷一個關鍵的抽象過程。對于以具體形象思維為主的小學生而言，動手操作、親身體驗是完成這一過程的重要橋梁。教師需要給學生提供手與腦協同活動的機會，讓學生在做中思。

例如，在引入“間隔\"這一核心概念時，教師在運用口頭解釋之外，還可以通過繪制清晰的線段圖，讓學生直觀地看到“兩點之間的一段\"就是間隔。更進一步，也可以設計學習任務單（如表1），要求學生針對具體問題（如20米路，隔5米栽）畫一畫樹的位置;或者直接提供學具，讓學生用小樹苗模型在黑板上模擬栽種過程；或在小組內利用“池塘模型\"和“樹模型\"進行實際操作。在這些操作活動中，學生能夠獲得關于數量、距離、排列方式的豐富感知經驗。

但需要注意的是，操作本身不是目的，關鍵在于教師的引導。比如在封閉圖形的植樹實驗中，當學生操作后，教師需要引導他們辨析：為什么18米長的邊，每隔6米栽一棵，有的小組栽了3棵，有的小組卻栽了4棵？從而使學生明確 18÷6=3 得到的是段數（間隔數），而在兩端都要栽的情況下，棵數需要在段數的基礎上再加1。只有經歷這樣的具身體驗和針對性的討論，學生才能逐步將具體的物（樹）和空間（路長、間隔）轉化為抽象的數學概念（棵數、間隔數）及其關系，為后續建立數學模型奠定基礎。

（三）多元建構：從個體探究到集體共識

數學模型的建構往往不是一次就能完成的，而是需要在多樣化的探索和深度的交流中逐步明晰和完善。課堂教學中，教師應鼓勵學生從不同角度思考，生成多元的解決方案，并通過交流碰撞，深化對模型本質的理解。

比如，當學生通過動手操作對“20米路，隔5米栽\"的問題有了初步想法后，教師可以組織學生展示不同的栽法和對應的算式，如 20÷5=4.20÷5+1=5 20÷5-1=3 。然后適時追問：“這里為什么要 +1？ 這里為什么又要-1？”引導學生闡述算式背后的道理，即不同栽法（只栽一端、兩端都栽、兩端都不栽）與棵數、間隔數的對應關系。這種對不同模型及其適用條件的辨析，是模型建構的核心環節。

在處理更復雜的封閉圖形，如邊長為18米的正方形池塘的植樹問題時，這種探究交流顯得更為重要。學生在課堂上可能會產生如下幾種不同的算法。

算法一：先算一條邊兩端都栽需要栽 18÷6+1= 4（棵），四條邊共需要栽 4×4=16 （棵），再減去重復計算的4個頂點，得出一共需要栽12棵。

算法二：將每條邊看作只栽一端（或另一端不栽），即需要栽 18÷6=3 （棵），四條邊就要栽 3×4= 12（棵）。

算法三：先算出周長為 18×4=72 （米），再用周長除以間隔長度得到段數，即 72÷6=12 （段），直接等于棵數。

教師需要珍視這些不同的思維成果，并組織學生充分交流：“這種算法是怎么想的？”“為什么算出16棵后還要減4？”“為什么這里的 18÷6 不用加1？”“為什么周長除以間隔長度得到的段數正好是棵數？\"如此，通過師生以及生生之間的質疑、解釋、辯論，學生不僅能理解各種方法的合理性，還能體會到不同模型是從不同角度對同一問題的數學抽象。而適時借助多媒體動畫演示“化曲為直\"的過程，還能進一步幫助學生直觀理解封閉圖形植樹問題（棵數 段數）與直線型植樹問題（只栽一端，棵數 ?= 間隔數）之間的內在聯系，促進學生對模型的融會貫通。

（四）遷移應用：從單一模型到廣泛領域

一個真正被理解和掌握的數學模型應該具有一定的生命力，即能夠被靈活應用于新的、變化了的情境中。模型意識的核心之一就是對模型普適性的感悟。因此，在學生初步構建起“植樹問題”的基本模型后，教師需要設計有層次的變式練習和拓展應用，以強化學生對模型的理解，鍛煉其遷移應用能力。

教師既可以通過改變問題和條件來設計變式。如在直線型植樹問題中，在保持間隔長度（5米）不變的情況下，將總長從20米變為15米、30米，引導學生運用已有的三種模型（棵數 間隔數、棵數 間隔數 ±1 ）進行計算，在不變的關系中鞏固模型。也可以通過改變問題的幾何背景來設計變式。如在封閉圖形植樹問題中，在探討了正方形池塘的栽樹問題后，緊接著提出：“如果池塘變成三角形、六邊形，甚至是圓形或不規則圖形，但周長仍然是72來，間隔也還是6米，需要栽種多少棵樹？\"當學生通過思考或計算發現結果仍然是12棵時，他們就能更深刻地體會到“棵數 段數\"這一模型對于封閉圖形的普遍意義。此外，教師還可以嘗試引入字母（如用 a 代表間隔數），用代數式表達模型，進一步提升模型的概括性。

最終，教師要引導學生將“植樹問題\"的模型遷移到更廣泛的生活場景中。教師可以啟發性地提問：“我們今天研究的植樹問題，跟生活中的哪些現象有點像？”進而引出安裝路燈、設置公交站牌、鋸木頭、排隊、鐘表敲鐘等例子，并引導學生分析這些問題是否也存在類似“物體數量”與“間隔數量\"的關系，能否運用植樹模型來解決。這種從具體問題模型向更廣闊應用領域的延伸，是幫助學生真正建立模型意識、發展應用能力的關鍵一步。

總之，“植樹問題”為小學階段開展建模教學提供了得天獨厚的平臺。教師應精心創設能夠激發學生內在探究需求的真實問題情境，引導學生通過動手操作、畫圖、模擬等方式親歷抽象過程，并積極組織多元化的探究與交流活動，巧妙設計富有層次的變式與拓展練習，使學生完整經歷“提出問題一分析問題一建立模型一求解模型一檢驗與應用\"的建模過程，從而掌握“植樹問題\"的解法，初步形成“模型意識”，提升運用數學眼光觀察世界、運用數學思維解決問題的能力。

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（廣西壯族自治區柳州市景行小學）