模型觀念素養角度的中美初中數學教材例習題比較研究及教學啟示

作為依據課程標準和學生接受能力編寫的教學用書，教材是課程自標和教學內容的具體體現，是教師和學生開展教學活動的主要工具，是一個國家教育思想和教育理念的重要依托。數學教材中的例習題設計直接反映了教育體系對學生數學素養的培養目標。中美兩國因文化傳統與教育理念的差異，在教材編寫上呈現出不同的側重點：中國以邏輯嚴謹、知識系統性強著稱，注重基礎技能訓練；美國則更強調問題解決能力與創新思維的培養[2]。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“《義教數學課標》”在闡述“核心素養的主要表現及其內涵”時指出：“模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識。知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑；初步感知數學建模的基本過程，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。模型觀念有助于開展跨學科主題學習，感悟數學應用的普遍性。”二元一次方程組作為初中數學教學中銜接算術與代數的關鍵內容，其例習題的設計模式是觀察兩國數學教育在模型觀念素養培育上的差異的重要窗口。因此，筆者選取中國人教2024年版、浙教2024年版及美國GMH版初中數學教材（以下分別簡稱“人教版教材”“浙教版教材\"和\"GMH版教材”，合稱“三版教材”）中的“二元一次方程組”章節，從模型觀念素養的角度，探討兩國教材例習題在問題情境選擇與體現模型觀念素養水平上的差異，通過對比研究，揭示不同教育理念下的教材設計邏輯，從而為優化我國的初中數學教學、提升學生的模型觀念素養提供參考依據。

一、中美初中數學教材例習題問題情境選擇的比較及相應分析

模型觀念需要通過具體的問題情境來體現。筆者借鑒PISA2021及李保臻等學者對問題情境類型的分類[3-4]，結合三版教材“二元一次方程組\"章節例習題的實際設置，將問題情境類型分為無情境、個人情境、職業情境、社會情境、科學情境五類，對其中的情境進行統計，并對其特征進行分析。三版教材“二元一次方程組\"章節例習題的問題情境類型及題自數量分布具體如表1所示

三版教材的問題情境設計深刻體現了模型觀念素養的不同發展路徑。

無情境題目作為基礎訓練載體，在三版教材中均占有一定的比例，其聚焦消元法、代入法等純數學技能，雖能強化抽象運算能力，卻帶來脫離現實的隱憂一—過度訓練易弱化數學模型與現實問題的聯結。在教學中，教師需警惕這一風險，及時輔以情境化解題實踐。

個人情境題目在三版教材中均占據核心地位，其通過購物、行程等生活場景，有效降低建模門檻，使學生直觀體會數學在解決實際問題中的價值。然而，這類題目多停留于簡單應用層面，對復雜系統建模的引導不足，制約了學生高階建模能力的發展

職業情境的應用呈現出明顯的教材版本差異：人教版教材與浙教版教材均占比較高，重視生產調度、工程分配等傳統職業場景；GMH版教材雖占比僅約 11.11% ，卻打開了職業應用的視野，讓學生初步認識數學在職業領域的工具性作用。三版教材的共同局限在于職業類型單一，未能充分展現現代多元職業生態中的數學建模需求。

社會情境薄弱是三版教材的共同短板社會情境題目可以通過資源分配等議題培養學生社會責任導向的建模能力，但其稀缺導致學生在這一維度的發展空間受限

科學情境的設置則突出版本理念區別：浙教版教材與GMH版教材設置物理速度、化學配比等題目，注重在跨學科建模中錘煉學生的抽象與遷移能力；而人教版教材則缺失這類題目，使學生錯失了將數學模型與自然科學深度整合的關鍵訓練，導致模型觀念素養的科學維度存在裂隙。

總體來看，問題情境類型的選擇實質是模型觀念素養培育的價值取舍。人教版教材通過個人情境與職業情境雙高占比凸顯實用導向，但科學情境的空白與社會情境的匱乏，窄化了模型觀念素養的廣度；浙教版教材雖基礎扎實，卻在職業情境與科學情境中缺乏建模深度反思，社會情境更幾近消失；GMH版教材中個人情境與科學情境均較多，展現了平衡視野，但職業情境與社會情境的薄弱限制了應用場域的拓展。教材問題情境設計的藝術，正在于如何在現實聯結的廣度與建模能力的深度之間，找到支撐素養全面生長的精準支點。未來，教材的優化需著力填補問題情境類型缺口，深化建模過程完整性，從而真正培養并提升學生的模型觀念素養。

二、中美初中數學教材例習題體現的模型觀念素養水平的比較及相應分析

筆者借鑒喻平提出的數學核心素養評價框架5和《義教數學課標》中的相關表述，將模型觀念素養分為知識理解、知識遷移、知識創新三個水平，其中：知識理解是指對問題有初步的認識，知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑，能利用已學知識就數學問題建立模型；知識遷移是指要求學生從具體情境中抽象出數學問題，初步感知數學建模的基本過程；知識創新是指能用數學符號建立數學問題中的數量關系和變化規律，并表述結果的意義。筆者對三版教材“二元一次方程組\"章節例習題體現的模型觀念素養水平及題目數量進行了統計，具體如表2所示。

（一）基于教材培養取向的整體分析

通過對三版教材“二元一次方程組\"章節例習題的量化分析，可清晰揭示中美兩國教材在模型觀念素養培育上的差異化取向，這種差異集中體現在對知識理解、知識遷移和知識創新三個水平的不同側重上，深刻影響著學生模型觀念素養的形成路徑和最終的能力結構。

1.基礎認知決定素養根基

在知識理解水平上，三版教材在知識理解層面的題目設置均較少，這反映出當前數學教育不太重視模型觀念素養的基礎性理解環節。知識理解是模型觀念素養的基石，涉及對數學模型本質、結構、功能和適用條件的初步認知。這一環節的薄弱，意味著學生可能在未充分理解“模型是什么”“模型為何如此建構\"等核心概念之前，就匆忙進入應用階段。其直接影響是導致學生對模型的理解流于表面和機械，難以把握其內在邏輯和思想精髓。這種基礎認知的缺失，會削弱后續遷移和創新能力的穩健性，導致學生難以達成更高層級的發展

2.應用能力強化與思維定式風險并存

中國教材例習題在知識遷移水平的投入上遠超GMH版教材，這體現了我國教育對培養學生運用模型解決各類情境問題的規范性和熟練度的高度重視。大量的遷移類題目為學生提供了反復練習的機會，有效提升了其在相似或既定情境中將模型知識轉化為解決實際問題的效率與準確性。這種訓練模式的優勢在于，它能夠快速建立學生的模型應用信心和技能，培養其識別問題類型、匹配相應模型并規范求解的能力。人教版教材作為此模式的典型，其極高的遷移類題目占比尤為強調模型應用的廣泛性和熟練度。然而，過度的、集中于相似情境的遷移訓練可能會強化學生的思維定式，使其過于依賴熟悉的解題模式和路徑，將模型應用固化為一種程序性操作。當遇到超出常規模式的問題時，學生往往難以有效應對，從而阻礙其模型觀念素養的深度發展。

3.高階思維激發與基礎支撐的平衡挑戰

GMH版教材例習題在知識創新水平上展現出壓倒性優勢，遠超浙教版教材和人教版教材。這鮮明地體現了美國教育理念對創新思維和創造力的核心追求。GMH版教材通過大量設計開放性的、挑戰性的建模任務，鼓勵學生突破常規，在真實、復雜、非結構化的情境中，主動探索、自主建構新的模型，或對已有模型進行批判性改進和創造性應用。學生在面對新穎問題時，需要經歷問題識別、變量分析、假設提出、模型建構、驗證優化等完整的建模過程，這極大地提升了其模型觀念素養。然而，這種高度依賴創新能力的培養模式也面臨挑戰，它需要學生具備相當扎實的知識理解基礎和一定的遷移應用經驗作為支撐。如果基礎不扎實，學生在開放情境中可能因缺乏必要的工具和概念框架而感到迷茫或無從下手，反而會降低學習效能

（二）明晰不同水平及其各自意義的個例分析

下面從三版教材中各選一例試作分析。

示例1：一個三位數，十位上的數等于百位上的數的2倍，百位上的數的3倍減去個位上的數等于十位上的數的 ，且各數位上的數的和為11。求這個三位數。

分析：該示例選自人教版教材七年級下冊“10.4三元一次方程組的解法\"的習題第4題（第111頁）。問題情境類型為純數學情境（無情境），直接提供三位數中百位、十位和個位的數量關系。學生在解決這類問題時，可以依據已知條件，直接模仿學習過的三元一次方程組的解法，將問題轉化為數學模型，進而求解出三位數的各個數位上的數字。這類題目主要考查學生對三元一次方程組這一數學模型的理解和初步應用能力，屬于知識理解水平層次。通過這樣的題目，學生能夠在較為簡單的純數學情境中，鞏固對三元一次方程組模型的認知，掌握其基本解題步驟和方法，為后續更復雜的情境應用奠定基礎。然而，由于其情境的單一性和問題類型的固定性，這類題目在培養學生的創新思維和靈活應用能力方面的作用相對有限，更側重于對基礎知識和技能的鞏固與理解。

示例2：浙江省山區居民的人均可支配收入水平與全省平均水平的差距持續縮小。某山區縣2012年居民人均可支配收入為全省人均可支配收入的 70% ，2019年達 75% 。已知該縣2019年居民人均可支配收入是2012年的2倍少300元，全省2019年人均可支配收入比2012年增加23000元。問：該山區縣居民人均可支配收入2019年比2012年增加了多少元？

分析：該示例選自浙教版教材七年級下冊“2.4二元一次方程組的應用\"作業題第2題（第63頁）。問題情境類型為社會情境，貼近現實生活，反映了浙江省山區居民收入水平的變化情況。學生在解決這類問題時，需要從真實的數據背景中抽象出數學問題，即通過分析山區縣與全省人均可支配收入之間的關系，建立二元一次方程組模型，進而求解出山區縣居民人均可支配收人的增長額。這類題目屬于知識遷移水平，要求學生能夠將二元一次方程組的數學模型應用到實際的社會經濟問題情境中，實現知識的遷移和應用。與知識理解水平題目相比，這類題目不僅考查學生對數學模型的理解，更注重培養學生在不同情境中靈活運用模型解決實際問題的能力，有助于提高學生對數學知識實際應用價值的認識，增強其運用數學解決現實問題的意識和能力。

示例3：Salali正在超市購買學校用品。她擁有兩張優惠券，其中一張是 25% 折扣的優惠券，另一張是15美元的優惠券。單次購買，她只能使用其中一張優惠券。問題：基于Salali消費的總金額，你會怎樣建議她使用優惠券？

分析：該示例選自GMH版教材八年級卷二“8.1 Using Graphing to Solve Systems ofEquations\"例題1（第110頁），問題情境類型為個人情境。這類題目并不像前兩個示例那樣提供明確的求解要求，而是創設了一個較為開放的情境，要求學生根據Salali的消費數額，討論使用哪張優惠券的條件。學生在解決這類問題時，需要充分運用自己的數學知識和思維能力，主動探索問題中的數量關系和變化規律，利用數學語言建立起相應的數學模型，如通過建構方程或不等式模型，分析兩張優惠券在不同消費數額下的優惠力度，并能夠清晰地表述其意義和結論。這類題目具有較強的開放性和探究性，屬于知識創新水平，旨在培養學生的創新思維和獨立解決問題的能力。學生在解決問題的過程中要突破常規思維，從不同角度分析問題，嘗試多種建模方法，從而鍛煉其創新意識和綜合運用數學知識解決復雜問題的能力。這種類型的題目設計充分體現了美國教材在創新性建模能力培養方面的獨特優勢，為學生提供了廣闊的發展空間，有助于激發學生的創新潛力和學習興趣。

三、教學啟示

通過上述分析，筆者發現：中國教材重視知識遷移能力，強調個人與職業情境應用，但在科學情境和創新水平上存在不足；美國教材則側重開放性問題設計，科學情境與知識創新類題目占比較高，體現創新思維培養導向，但在基礎能力培養方面存在不足。據此，筆者認為，我國的初中數學教學可借鑒美國教材設計體現的相關理念，采用如下策略以優化教學。

（一）重構問題情境設計體系：打破教材局限，拓展建模視野

上述教材分析揭示的情境結構性失衡亟待教學干預。人教版教材例習題科學情境的完全缺失，浙教版教材例習題社會情境的嚴重匱乏，以及二者職業情境的單一化，導致學生建模視野狹窄，難以應對跨學科及復雜社會系統問題。教師在教學時需突破教材限制，建構多維度情境網絡。

1.強化科學情境的系統滲透

教師可精心選取并整合物理、化學、生物學乃至地球科學等領域的核心概念與經典模型，將其轉化為可建模的數學問題。例如，在物理領域，可以圍繞牛頓運動定律設計探究任務，引導學生通過實驗觀測自由落體或勻加速直線運動現象，精確收集位移、時間、速度、加速度等數據，進而分析變量間的量化關系，最終自主建構描述運動規律的數學模型。此類任務的核心在于引導學生經歷“觀察現象、量化關系、抽象建模、模型驗證”的完整科學探究與建模過程，深刻體會數學作為描述自然規律的語言力量，從而系統性地培育其模型觀念素養和實證精神。

2.深化社會情境的復雜建模

教學中，教師可著重引人具有高度現實復雜性、涉及多主體利益博弈和多約束條件并存的社會性議題。例如，可以設計“城市學區資源優化配置\"項目，引導學生考慮人口分布、學校容量、交通距離、教育公平等多重因素，建立線性規劃或整數規劃模型，尋求最優的學區劃分方案，并模擬分析不同政策對資源配置效率和公平性的影響。這類情境建模不僅能訓練學生處理多變量、非線性、動態系統的能力，更能通過模擬決策過程，引導學生深刻理解數學模型在公共治理中的價值與局限

3.拓展職業情境的現代維度

為突破教材例習題中的職業情境多局限于“生產線調度\"\"傳統物流\"等相對單一和傳統領域的現狀，教師在教學中必須積極擁抱時代發展，引入反映現代及未來職業圖景的新興領域。這包括但不限于：金融科技領域；數據科學與人工智能領域；智慧城市與物聯網領域。為引人這些情境，教師要主動尋求與行業專家的合作，共同開發貼近真實工作場景的仿真項目或案例研究。通過這些項目，學生能直觀感受到數學建模在驅動金融創新、優化商業決策、提升城市管理效率等現代職業生態中的核心價值與應用活力，激發學習動力并拓展職業認知的邊界。實施的關鍵策略在于建構“漸進式情境鏈”：情境的設計不應是孤立的點，而應形成一條能力螺旋上升的鏈條。例如：可以從貼近學生生活的“家庭月度用電模式分析與預測”（個人層面）入手，引導學生收集自家用電數據，建立時間序列模型進行預測；進而升級到“社區公共空間照明系統或新能源設施的優化配置方案設計\"（社會層面）——需要考慮社區人口結構、活動規律、節能目標、預算限制等更復雜因素；最終延伸至“區域智能電網的負荷預測與動態調度優化模型\"（科學/職業層面）。這條“個人、社會、科學/職業\"的情境鏈，由簡入繁，層層遞進，可使學生的建模視野不斷拓寬，使其模型觀念素養在解決日益復雜的問題中實現螺旋式上升和鞏固。

（二）優化素養發展路徑：貫通三階能力，破解培養困局

三版教材例習題在模型觀念素養水平上的失衡警示教學變革的緊迫性。人教版教材中遷移類題目占比高達 81.08% ，而創新類題目僅占 10.81% ，易導致學生陷人機械解題的思維定式；浙教版教材中遷移類題目占比74.29% ，創新類題目占比 20.00% ，雖比人教版教材設置均衡，但仍以遷移類題自為主導，同樣具有陷入機械解題的思維定式風險。GMH版教材創新類題目占比達到 51.85% ，但其遷移類題目僅占 44.44% ，且理解類題目匱乏，存在創新失基的風險。這就要求教師在教學中建構“理解一遷移一創新”的動態銜接機制。

1.在知識理解層面強化模型本質剖析

例如，在教學“消元法解二元一次方程組”后，教師不應僅停留于解法步驟，而應增設“模型解釋\"環節：要求學生用自然語言（非數學符號）解釋方程“ 2 x - y = 5”" 在現實中的可能含義，如“購買筆記本和鋼筆：2個筆記本的總價比1支鋼筆的價格多5元”。更進一步，可以要求學生為一個給定的方程（如 x+2y=100^，-） 設計出多個不同的現實情境（如預算分配、混合物比例、行程問題等）。這種數學符號與現實世界的雙向轉化訓練，能有效破除數學的形式主義外殼，幫助學生深刻理解變量、參數、關系的現實指代，為后續的遷移應用和創新奠定堅實的認知根基和意義聯結

2.在知識遷移層面突破同質化訓練

針對遷移類題目過多或不足易導致同質化訓練這一情況，教師可設計“概念變式網絡”，如圍繞核心建模思想（如優化思想），串聯“旅行路線規劃”（個人）、“物流成本控制”（職業）、“疫苗配送方案”（社會）等差異化案例，引導學生識別問題的本質結構，靈活選擇建模策略。

3.在知識創新層面搭建漸進式階梯

教師可參考GMH版教材對創新類題目的設計，同時避開其“陡峭\"的創新要求，在教學中設計“半開放 $$ 全開放”任務序列：初期提供框架約束（如給定變量范圍），要求學生補充條件完成建模；中期呈現原始的社會現象（如“校園周邊交通擁堵”），引導自主定義問題并采集數據；后期開展無標準答案的探究項目（如“城市垃圾分類站選址優化”），要求綜合權衡經濟、環境等多維因素。同時，教師還可配備“建模反思指南”，以指導學生系統審視假設合理性、算法適用性，培育其模型觀念素養。

（三）創新教學評價機制：聚焦建模過程，驅動素養生長

“教一學一評”一體化是培育數學核心素養的有效路徑。教師在建立問題情境設計體系和模型觀念素養培育路徑后，需創新“過程一創新一多元\"三維評價體系：深化過程性評價追蹤全周期發展，設計“模型觀念素養成長圖譜”，重點評估問題抽象精準度（如能否識別核心變量）模型建構邏輯性（如約束條件完整性）解的現實意義（如結果是否符合常識）等關鍵節點。例如，在“社區健身設施優化\"項目中：要關注學生是否實地調研需求數據、是否考慮到不同年齡群體偏好差異等過程要素；要設立創新性維度引導高階思維，將“模型新穎度”（如采用機器學習算法處理傳統問題）、“跨學科整合度”（如融合經濟學中的“邊際效應”理論）、“解決方案的社會價值”（如促進弱勢群體福祉）納入評分標準，肯定突破常規的創新嘗試；要建構多元主體參與的對話式評價，通過同伴互評聚焦模型可行性，評價標準需“透明化\"并前置，即事先明確告知學生“優秀模型”應具備“精準的變量定義”“可驗證的假設體系”“針對現實矛盾的優化策略”“可遷移的建模框架\"四大特征，使評價本身成為深化模型觀念素養的學習工具。□

參考文獻：

[1]葉立軍，王曉楠.中美高中數學教材比較研究：以“幾何概型”為例［J].數學教育學報，2012（2）：49-52.

[2]姜浩哲，沈中宇，鄒佳晨.中美基礎教育數學課程發展：比較與啟示：蔡金法教授訪談錄[J].數學教育學報，2023（3）：56-63.

[3]OECD. PISA 2021 Creative Thinking FrameWork（THIRDDRAFT），OECD[EB/OL]. [2025-04-20]. http：//www.oecd.org/pisa/sitedocument/PISA-2021-Frameworks. zip/PISA 2021 Creative Thinking Framework.pdf.

[4]李保臻，陳國益.高中數學教科書中數學建模問題情境的比較研究[J」.數學教育學報，2022（3）：6-14.

[5]喻平.數學核心素養評價的一個框架[J].數學教育學報，2017（2）：19-23，59.