下游柔性立管的尾流致振頻域預報方法

中圖分類號：P756.2 文獻標志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202306041

Frequency-domain prediction method for wake-induced vibrations ofadownstream flexibleriser

ZHAO Bing，FU Shixiao， ZHANG Mengmeng，DENG Pengqian，FU Xuepeng （Stake Key Laboratory ofOcean Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 2Oo24O，China）

Abstract：Theriserbundlesystemisanimportantequipmenttoexploreoilandgasinoceanenginering.Underoceanflows，up streamanddownstreamrisers intandemwill experiencevortex-inducedvibrationsandwake-inducedvibrations，respectively， which seriouslythreatens thestructuralfatiguelife.Topredictthevibrationresponsesofadownstreamflexibleriser，this paperde velopsasemiempiricalfrequency-domainpredictionmethodforwake-inducedvibrationsbasedontheclassicalvortex-idcedvibrationpredictionmethodofasingleflexibleriser.Consideringthewakeshieldingefectonthedownstreamriserduetotheexistenceoftheupstreamriser，thereductivewakevelocitybecomes theflowvelocitytoexcitethevibrationsofthedownstreamriser. Then，teupstream-to-downstreamdiameterratioisutilizedtodeterminewhetherthefrequencycaptureocurs.Theaddedmass coeficientoftedownstreamrserwillbeadjustedwhenthefrequencycaptureocurs，otherwiseitislconstantly.Subsequently， thepredictionisbasedonteresonancecondiionTeexcitationcoeficntsfromaseriesofedoscilltiontestsofigidylin derareapproximate tobethewake-inducedfocecoeficients.Acordingtothebalancebetweenthemodalstructuraldamping force andthemodalhydrodynamicforceamplitudes，themodalamplitudecanbenon-iterativelysolved.Afterwards，thewakeiduced vibrationdisplacementscanbecalculatedbasedonthemodesuperpositionmethod.Bycomparingpredictionresults withtheexperimentalresults，the proposed methodcanbasicallcorrectlypredictthedominant frequency，displacement，strainandfatiguedamageof thewake-inducedvibrationforthedownstreamflexibleriser.Therefore，thepresentmethodisconducivetothe multiple-riser system design in practical engineering.

Keywords：wake-induced vibration;frequency-domain prediction；downstream riser;vortex-induced vibration

在海洋工程中，立管系統通常采用集束方式進行安裝。以順流向作為參考方向，相鄰兩根立管之間會形成串列、并列和交錯三種布置方式[1]，其中串列多立管系統在洋流作用下會發生較為復雜的流致振動（flow-inducedvibration，FIV）響應。在串列立管系統中，上游立管承受自由來流作用發生典型的渦激振動（vortex-inducedvibration，VIV）響應，而處于上游立管尾流之中的下游立管則會發生復雜的尾流致振（wake-inducedvibration，WIV）響應[2-5]海洋立管的流致振動響應會誘發嚴重的結構疲勞損傷，此外，串列布置的相鄰立管發生尾流干涉可能還會導致立管碰撞等問題，對立管系統安全性造成威脅。因此，準確預報立管流致振動響應，對實際工程中的結構安全設計具有一定的指導意義。

實際工程中相鄰立管的間距通常會超過4倍管徑，上游立管基本不受下游立管影響，因此可以采用單柔性立管的VIV預報方法。典型的VIV預報方法主要包括計算流體力學（computationalfluiddynamics，CFD）方法[6-]基于尾流振子模型[8-9]和激勵載荷系數模型[10-14]的半經驗方法。CFD方法能夠精細求解流固耦合方程組，但是對網格質量和計算資源要求較高，通常用于低雷諾數下的機理解釋；尾流振子方法通過非線性VanDerPol方程模擬流體激振力，但是計算結果對方程中復雜的經驗參數較為敏感；半經驗載荷模型方法通過剛性圓柱強迫振動試驗建立激勵系數和振動幅值及頻率的關系，利用能量平衡迭代方法進行振動響應求解，發展出頻域和時域兩種預報方法，其中頻域方法已被開發成SHEAR75和VIVA-NA[16等工程軟件。此外，近年來機器學習算法快速發展，為柔性立管VIV提供了新的預報思路[17-18]

在下游柔性立管WIV研究中，ZHAO等5通過串列異直徑雙圓柱模型試驗發現，小直徑柔性圓柱位于下游時，與上游大直徑圓柱橫流（crossflow，CF）方向主導頻率相同，這種現象稱為頻率捕獲，當小直徑柔性圓柱位于上游時，并未發生頻率捕獲。XU等[19在類似的模型試驗中也發現頻率捕獲現象。王浩杰等[20]開展了長徑比為460的串列雙柔性立管尾流干涉振動數值仿真，同樣觀察到頻率捕獲現象。這種現象是由于直徑和彎曲剛度較小的下游圓柱被上游圓柱的尾流完全控制，通過調整附加質量系數改變系統固有頻率，從尾流中俘獲更多能量從而激發大幅的WIV響應[21]。CHEN等[22]采用CFD方法，研究了低雷諾數剪切流作用下尾流干涉對等直徑串聯雙柔性立管振動響應和波形的影響，通過對振動能量的瞬態分析，發現了上、下游立管流致振動的“同相”和“反相\"特征，下游立管的振動模態通常低于上游管道的振動模態。CFD方法是預報串列多柔性立管流致振動的可行方法[23-25]，但是耗費計算資源和時間巨大，雷諾數較低，并不適用于實際工程。SOARES等[26]將尾流折減模型與尾流陣子模型相結合，發展了下游剛性圓柱的尾流致振預報方法，這種方法涉及的模型經驗參數較為復雜，僅適用于剛性圓柱，尚未拓展至長細比較大的雙柔性立管。

綜上，下游柔性立管的尾流干涉響應行為較為復雜，而當前下游立管的WIV響應預報方法主要集中在CFD方法，尚無適用于工程的半經驗預報方法。為了實現下游柔性立管WIV響應的快速預報，本文借鑒傳統VIV預報方法，調整WIV的激發流速與附加質量系數，采用基于強迫振動試驗獲得的水動力系數作為尾流激振載荷系數，發展下游柔性立管的WIV半經驗頻域預報方法，以期為海洋工程中的多立管系統設計提供指導意義。

1 頻域預報方法

1.1 有阻尼強迫振動理論

柔性立管的流致振動響應可以采用有阻尼強迫振動方程進行描述。根據結構動力學理論，簡諧激勵下的柔性立管在模態空間的頻域控制方程為：

式中， 為第 r 階模態剛度； 為模態質量，計及結構質量和附加質量； 為模態結構阻尼； 為第 r 階模態響應幅值； 為第 r 階模態激勵力幅值； ω_e 為激勵頻率； t 為時間。

頻響函數 H_r（iω_e） 為：

式中， ω_n，r 為結構第 r 階固有頻率，且 θ_r 為第 r 階相位差； β_r 為第 r 階動力放大系數，表示為：

式中， γ_r 為激勵頻率和第 r 階固有頻率的比值， γ_r= ω_e/ω_n，r ；為結構阻尼比， 。

因此，忽略相位差后第 r 階模態響應幅值表示為：

則物理空間下的振動位移 y 為：

式中， ?_r 為第 r 階位移模態； z 為軸向坐標。

當外激力為多頻激勵 時，根據線性系統的疊加原理，對應的多頻響應可以表示為：

式中，下標 ”為頻率成分編號。

位移均方根值（RMS）為：

根據小變形假設，應變 ε 和位移 y 滿足 ε= -R?²y/?z²（R 為立管半徑），則振動彎曲應變RMS值為：

式中， ，D 為立管直徑， D=2R 。

進而，當假設流致振動疲勞損傷過程符合高斯隨機過程、應力概率密度函數服從瑞利分布時，疲勞損傷可以表示為：

式中， T_r 為全年時間； E 為立管彈性模量； Γ 為Gamma函數； D_s 為結構直徑； a 和 b 為 N-S 曲線（ NS^a=b N 為循環次數， S 為應力幅值）的參數。

綜上，柔性立管流致振動響應預報的關鍵是確定模態載荷幅值 和激勵頻率 ω_e，j° （204號

1. 2 預報流程

本文以單立管VIV頻域預報方法為基礎，以模型試驗觀測串列雙柔性圓柱的干涉振動特性為依據，以共振作為下游立管WIV條件，從而獲得更為保守的預報結果。

預報流程如圖1所示，主要分為4個步驟：

（1）設置附加質量系數并開展模態分析

根據相關研究，上、下游立管在一定的串列間距范圍內會發生復雜的尾流干涉作用，但是如果間距增大到某一值時，尾流干涉現象則可以忽略不計。在本文的研究中，針對一定間距范圍內發生尾流干涉的串列雙管進行流致振動預報，因此，在其他參數一定的條件下，本文將上、下游立管直徑比作為頻率捕獲的發生判據。需要說明的是，頻率捕獲可能還與上、下游立管剛度等參數有關，但是目前相關研究有限，以直徑比作為頻率捕獲的判據還需要進一步完善。

附加質量系數是影響結構在流體中固有頻率的重要參數，在渦激振動預報軟件SHEAR7中，圓柱的附加質量系數簡化為定值1；在軟件VIVANA中，圓柱的附加質量系數可在一定范圍內變化，從而對圓柱的固有頻率進行調整。在本文中，當上游立管直徑 D_u 與下游立管直徑 D_d 的比值 D_u/D_dlt;1 時，未發生頻率捕獲，附加質量系數 C_a=1 ；否則，發生頻率捕獲，調整下游立管 C_a 使其某一階固有頻率與上游立管的CF主導頻率相等。如圖2所示，預報頻率捕獲時調整 C_a 的方法為：

① 假設初始 C_a 為1，開展模態分析 eig[K_e+K_t M_s+M_a（ΔC_a） ]獲得初始固有頻率 f_n，d^（0） ，其中， K_e 和 K_ι 分別為結構彎曲剛度和軸向張力引起的剛度矩陣， M_s 和 M_a 分別為結構質量和附加質量引起的質量矩陣。

② 對比上游立管振動頻率 f_o，u 和下游立管初始固有頻率 f_n，d^（0） 。如果 則第 r 階模態被激發，減小 C_a 使得 f_o，u=f_n，d（r） ；否則，第r+1階模態被激發，增加Ca使得f.u=fn.d（r+1）。通過調整附加質量系數，可以得到圖1中發生頻率捕獲的特征，同時保證下游立管以固有頻率振動，即f_o，u=f_o，d=f_n，d（f_o，d 為下游立管振動頻率）。

（2）確定激發模態和激勵頻率（SHEAR7[15]）

（4）計算尾流致振WIV響應

由于各階模態在時間軸上存在競爭關系，即在不同的時間區間內渦激振動響應的主導模態不同，相應的主導激勵力頻率也不相同，這種行為稱作時間共享。根據VIVANA[16]，為了能夠在頻域預報中考慮時間共享的影響，將不同激勵頻率的水動力賦予不同的權重 ，其中， E_j= 。因此，計及時間共享權重的下游立管的WIV位移RMS值、應變RMS值和疲勞損傷分布分別為：

2 模型試驗

為了驗證下游柔性立管WIV預報方法，異直徑串列雙柔性立管模型試驗結果作為對比基準。試驗裝置實物圖和模型圖如圖5所示，兩個直徑不同的柔性圓柱模型LC和SC豎直浸沒于水中，上端鉸接，同時由張緊器提供預張力，下端固接[28]。兩個圓柱模型在水平滑軌上被動拖電形成均勻流場，流速為 0.1～0.4m/s ，串列布置方式包括兩種：上游 LC+ 下游SC和上游 SC⁺ 下游LC，如圖6所示，串列壁間距比（ S^*=S/D_sc） 為 3～8 。模型物理參數如表1所示。在試驗設計時，表1中模型張力需要保證兩個模型預張力/模型濕重的比值滿足特定值，立管模型直徑則根據原型立管進行縮尺（縮尺比為19），雖然實際工程中小直徑立管可能通常對應較小的預張力，但是這兩個比值在本文試驗設計過程中是相互獨立的。

試驗結果表明，小直徑圓柱模型SC位于上游時，不發生頻率捕獲，下游大直徑圓柱模型LC受上游尾流干涉影響較小，WIV響應與到單圓柱模型的VIV響應具有很大程度的相似性；而圓柱模型LC位于上游時，發生頻率捕獲，下游圓柱模型SC的WIV響應較為復雜，與單圓柱相比主導模態降低、振動幅值增大；此外，尾流干涉現象在 S^*=8 條件下仍然會發生[28]。

3 預報結果討論與分析

在預報下游圓柱WIV響應時，輸入流速為上游圓柱的尾流流速，根據計及上游圓柱VIV的尾流模型[28]進行求解，下文分析中將給出平均尾流流速 作為參考。

3.1不發生頻率捕獲

大直徑圓柱LC位于下游時，不發生頻率捕獲。表2對比了間距比 S^*=5 時下游大直徑圓柱LC的CF主導頻率預報結果和試驗結果。從表2中可以看出，相對誤差最大為 12% ，說明本文方法能夠獲得較為準確的預報下游圓柱LC的主導頻率。

圖7為間距比為 S^*=5 時下游大直徑圓柱LC在CF方向的WIV位移和應變幅值RMS預報結果。可以看出，預報的振動位移和應變幅值沿管長變化趨勢與試驗結果基本相同。但是，在流速 U= 0.35m/s 時，如圖7（g）所示，預報的位移與試驗結果在模型中段存在一定差別，這是由于試驗中下游圓柱LC的振動主導模態由第2階向第3階過渡，而預報結果基于頻率鎖定條件，主導模態為第3階；在圖7（h）中，應變的預報結果和試驗結果可以觀察到3階模態，但預報結果較為保守。整體而言，本文方法預報的位移和應變RMS值具有較高的準確性。

圖8為所有測試工況的下游圓柱LC在不同測點處的振動應變RMS預報結果與試驗結果對比情況。可以觀察出預報的應變結果與試驗直接測量的結果基本沿著對角線分布，說明預報結果與試驗結果具有較高的吻合度。

由于試驗中模型下端為固定端約束，應力較大，而實際工程中會采用特殊裝備減小端部應力與疲勞，因此，本文只針對模型上端部分 （011Pa，N?S 曲線（ NS^a=b 的參數： ！ga=12.436 和 b=3.0 。

圖9為下游大直徑圓柱LC的最大疲勞損傷預報結果。可以看出，預報結果與試驗結果基本吻合，個別工況下預報結果略微偏小，可能是由于預報的頻率偏小。

小直徑圓柱SC位于下游時，發生頻率捕獲。為了實現頻率捕獲現象的預報，下游小圓柱模型的附加質量系數需要進行調整，表3為下游小直徑圓柱模型SC在間距比 S^*=5 時的主導頻率和調整后的附加質量系數。可以看出，調整 C_a 后下游圓柱SC的主導頻率預報結果與試驗結果相等，實現了上游LC十下游SC串列布置條件下的頻率捕獲現象預報。

圖10為所有測試工況的下游圓柱SC在CF方向的附加質量系數，可以看出調整后的附加質量系數取值在 0～2.5 范圍內，與無因次頻率 的關系基本沿著VIVANA[中單圓柱的 C_a-f^* 曲線分布，說明基于尾流流速的下游圓柱SC具有與單圓柱VIV基本相同的附加質量系數，同時通過調整附加質量系數實現頻率捕獲的方法是合理的。因此，本文基于尾流流速，借鑒單立管VIV預報方法，對下游立管進行WIV預報的方法具有一定的可行性。

圖11為下游小直徑圓柱SC在間距比 S^*=5 時振動位移和應變幅值的RMS預報結果與試驗結果對比圖。由于受上游尾流干涉影響較強，下游圓柱SC的振動響應無顯著規律，模態參與成分較為復雜，但是本文方法能夠準確預報主導模態。預報結果基本能夠反映出試驗位移和應變沿管長的變化趨勢，但是幅值大小相對保守。預報結果與試驗結果之間的差異可能包括：試驗結果中參與模態階數較多，而本文預報結果以單一模態為主導；基于頻率共振條件獲得的預報結果會偏大；采用的載荷近似模型與真實的尾流激振載荷仍然存在一定的差異。在傳統單立管VIV預報研究中，這種預報差異仍然處于可以接受的范圍內[11.27]，而且對于工程設計而言，預報結果保守則設計偏安全。

圖12對比了所有測試工況的下游圓柱SC不同測點處的振動應變RMS預報結果與試驗結果。可以看出，預報的應變最大值明顯大于試驗測量的最大值，說明預報結果偏保守，對于立管結構設計是偏安全的。這種差異可能源于實際的尾流致振響應具有較強的非線性，而本文對這一問題進行了線性簡化，采用頻域方法進行預報。

圖13為下游小直徑圓柱SC的最大疲勞損傷預報結果。可以看出，多數工況下疲勞損傷預報結果較為保守，而在 U=0.35m/s 時預報結果偏小，可能是由于試驗中的多模態響應行為被預報，預報結果只反映了主導模態的結果。在工程設計中，如果要獲得更為安全的方案，可以在預報結果基礎上考慮10倍的安全系數。

針對雙管串列布置的下游柔性立管，本文發展了一種定常流場尾流致振半經驗頻域預報方法，以上游立管尾流流速作為下游立管的激振流速，根據上、下游立管直徑比判斷是否發生頻率捕獲，調整下游立管附加質量系數使其某一階固有頻率與上游立管CF主導頻率相同，進而借鑒單立管VIV頻域預報方法開展下游立管的激發模態識別與WIV響應求解。

通過與異直徑串列雙柔性圓柱模型流致振動試驗對比，本文方法能夠較為準確地預報未發生頻率捕獲的下游大直徑圓柱的振動主導頻率、位移、應變幅值及疲勞損傷；同時能夠準確預報下游小直徑圓柱在上游大直徑圓柱影響下的頻率捕獲現象。

本文對下游柔性立管的尾流致振頻域預報方法進行了探索，但是由于試驗條件有限，部分振動特性尚未觀測；本文采用VIV預報方法的載荷系數模擬下游立管尾流激振載荷，可能無法反映真實載荷特性；同時，頻域預報方法雖然能夠簡化研究問題，但是無法計及非線性因素；對CF和IL雙自由度耦合的WIV預報還需要進行進一步研究。

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