“圓與圓的位置關(guān)系”教學(xué)與思考

摘 要：教師通過(guò)熟悉的“超市配送范圍”問(wèn)題，讓學(xué)生了解“圓與圓的位置關(guān)系”的現(xiàn)實(shí)背景，并結(jié)合情境清晰地描述圖形的幾何特征以引出課題，進(jìn)而給出代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的思路；在兩圓位置關(guān)系的探究與判定中，精心設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)，讓學(xué)生深度參與到課堂中；充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，向?qū)W生演示數(shù)量關(guān)系式與幾何特征的對(duì)立統(tǒng)一。

關(guān)鍵詞：生活情境；GeoGebra平臺(tái)；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2025）15-0017-03

收稿日期：2025-02-25

作者簡(jiǎn)介：畢巧艷，碩士，中小學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

圓與圓的位置關(guān)系是初高中皆涉及的教學(xué)內(nèi)容。初中時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)相關(guān)概念，能根據(jù)兩圓心距離d與兩半徑r1，r2的

數(shù)值關(guān)系來(lái)判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系。而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）指出：能根據(jù)給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系；能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題。可見，《課標(biāo)》將重點(diǎn)放在了“依據(jù)方程判定兩圓位置關(guān)系”上，突出“通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫兩圓之間的位置關(guān)系”?！按鷶?shù)方法解決幾何問(wèn)題”是平面解析幾何的基本思路，學(xué)生在學(xué)習(xí)直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系中已經(jīng)有所認(rèn)識(shí)，本節(jié)課既是“用數(shù)量關(guān)系式刻畫幾何關(guān)系、方程組法解決幾何關(guān)系”的延續(xù)也是發(fā)展，為圓錐曲線的學(xué)習(xí)奠定基本的研究思路。

本課通過(guò)師生都非常熟悉的“超市配送范圍”問(wèn)題，充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，在數(shù)量關(guān)系式與幾何特征的對(duì)立統(tǒng)一、在“數(shù)”與“形”中的多次聯(lián)系對(duì)應(yīng)中，自主建構(gòu)立起“數(shù)與形”的雙重表征，推進(jìn)數(shù)形結(jié)合的深度理解。

1 教學(xué)實(shí)踐

1.1 生活情境提煉問(wèn)題，數(shù)學(xué)建模導(dǎo)引課題

問(wèn)題情境 隔壁超市閉店了，于是找到一家可以送貨上門的超市，但居住地與超市間相距4.1千米，而超市的配送范圍是3.5千米，請(qǐng)同學(xué)們幫著分析一下，怎樣才能購(gòu)買到必需的生活用品？

《課標(biāo)》倡導(dǎo)通過(guò)實(shí)例了解問(wèn)題背景，圓與圓的位置恰是生活中會(huì)經(jīng)常碰到的問(wèn)題，超市配送也是每個(gè)家庭都會(huì)關(guān)注的問(wèn)題，以此引入更能帶動(dòng)學(xué)生的積極性。師生共同分析可以買到東西的方案，在分析的過(guò)程中，教師可以作兩個(gè)方向的引導(dǎo)：一是將本人的活動(dòng)路徑定位為小區(qū)前面的一條路，那么能否配送到位就轉(zhuǎn)化為路所在的直線與最遠(yuǎn)配送路徑圓（以超市為圓心，3.5千米為半徑的圓及其內(nèi)部）的位置關(guān)系問(wèn)題；二是用戶可以自由選擇方向，但是所走的范圍有限（如最多走1千米），從而只要考慮用戶的足跡圓（以用戶為圓心，以1千米為半徑）與配送路徑圓是否有重疊。

問(wèn)題1 這個(gè)問(wèn)題涉及了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？能否提煉出其中所包含的數(shù)學(xué)問(wèn)題？能否找到合適的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫這個(gè)問(wèn)題？解決這個(gè)問(wèn)題需要應(yīng)用到哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？

針對(duì)這些問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵條件，畫出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題；在分析解決問(wèn)題的過(guò)程中，復(fù)習(xí)點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系；當(dāng)學(xué)生結(jié)合圖象提出“考查直線與圓、圓與圓有公共部分”時(shí)，指出不能只靠直觀判斷，要探尋更可靠、更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)方法。

問(wèn)題2 判定直線與圓位置關(guān)系的可靠方法是什么？

學(xué)生：建立坐標(biāo)系得到方程后，

判斷直線與圓的位置關(guān)系

通常有兩種方法：一是聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到二次方程，通過(guò)判斷其解的個(gè)數(shù)來(lái)確定；二是結(jié)合圖形，計(jì)算圓心到直線的距離d，根據(jù)d與圓的半徑r的大小關(guān)系來(lái)確定。

教師：建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何圖形坐標(biāo)化代數(shù)化，是解決平面幾何問(wèn)題的有力方法。

教學(xué)說(shuō)明通過(guò)實(shí)例引入圓與圓的位置關(guān)系這一課題，讓學(xué)生在分析問(wèn)題中，體會(huì)從數(shù)學(xué)的視角觀察世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述世界的過(guò)程，從而培養(yǎng)其提出、分析、解決問(wèn)題的能力。學(xué)生通過(guò)直觀想象和代數(shù)運(yùn)算得出結(jié)果后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從圖象進(jìn)行幾何解釋，使其完整經(jīng)歷生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化、幾何問(wèn)題代數(shù)化的完整過(guò)程。

1.2 技術(shù)支持實(shí)驗(yàn)操作，直觀感知構(gòu)建新知

問(wèn)題3 能否類比直線與圓位置關(guān)系的研究方法，探討兩圓位置關(guān)系的判定方法？

師生回顧直線與圓的研究方式：讓一個(gè)圖形固定，另一圖形運(yùn)動(dòng)（即圓定直線動(dòng)或圓動(dòng)直線定），考查在變化過(guò)程中直線與圓的位置關(guān)系，借助GeoGebra軟件創(chuàng)設(shè)一組情境（圖1）來(lái)動(dòng)態(tài)展示直線與圓的位置關(guān)系。由學(xué)生操作GeoGebra軟件，拖動(dòng)改變圓心或半徑，在變化的過(guò)程中引導(dǎo)其他同學(xué)觀察并總結(jié)兩圓的位置關(guān)系，建立五種位置關(guān)系的整體印象;在畫出五種位置關(guān)系示意圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生逐一分析每種位置關(guān)系對(duì)應(yīng)的數(shù)量特征，并借助GeoGebra軟件中的計(jì)算命令，將上述的數(shù)量特征一一證實(shí)［1］。

教學(xué)說(shuō)明 平面解析幾何的基本思想是借助“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)聯(lián)系來(lái)處理問(wèn)題，如找到平面曲線的方程后實(shí)現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換，這顯然與GeoGebra軟件是高度契合的，在GeoGebra輸入框中輸入方程在繪圖區(qū)中即能看見圖形，而繪圖區(qū)內(nèi)繪制圖形后代數(shù)區(qū)中即能顯示方程，在這樣的“數(shù)”與“形”的雙重表征下，學(xué)生很容易建立起數(shù)形對(duì)立統(tǒng)一的印象。GeoGebra對(duì)于直線與圓位置關(guān)系的直觀動(dòng)態(tài)展示更利于幫助學(xué)生建立動(dòng)態(tài)直觀、整體關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)認(rèn)知，從而為探究圓與圓的位置關(guān)系提供概念形成的先行組織者。

問(wèn)題4

判定兩圓位置關(guān)系還有其他方式嗎？

學(xué)生：聯(lián)立方程，通過(guò)消元（消去y）得到關(guān)于x的一元二次方程；當(dāng)Δgt;0時(shí)，方程組有兩個(gè)解，也就是兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，兩圓相交；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程組有一個(gè)解，也就是兩圓有1個(gè)公共點(diǎn)，兩圓相切；當(dāng)Δlt;0時(shí)，方程組沒有解，兩圓沒有公共點(diǎn)。

追問(wèn)：當(dāng)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或?yàn)?時(shí)兩圓是什么位置關(guān)系？

學(xué)生：方程組解的個(gè)數(shù)并不能完全確定兩圓是內(nèi)切還是外切，也沒辦法區(qū)分內(nèi)含還是外離，所以還是要結(jié)合圖形以及圓心距與兩半徑的關(guān)系來(lái)進(jìn)行判定。

問(wèn)題5 這兩個(gè)方法各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？

學(xué)生：數(shù)形結(jié)合的方法能夠準(zhǔn)確判定兩圓位置關(guān)系，計(jì)算也較方便，然而解方程組的方法可以求出兩圓公共點(diǎn)的坐標(biāo)，這是幾何法所無(wú)法做到的。

教學(xué)說(shuō)明 借助GeoGebra的直觀演示、動(dòng)態(tài)生成功能，將兩圓的各種位置關(guān)系直觀展現(xiàn)（如圖2），讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)演示中觀察、探索、猜想、驗(yàn)證，通過(guò)類比歸納、合作交流，

獲得知識(shí)并參與發(fā)現(xiàn)過(guò)程。

1.3 自主活動(dòng)引領(lǐng)探索，數(shù)形轉(zhuǎn)換促進(jìn)理解

以小組為單位，一位同學(xué)出題（給出兩個(gè)圓方程），其他同學(xué)來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系。小組交流后推選一組全班展示，借助GeoGebra軟件快速繪圖，通過(guò)GeoGebra的驗(yàn)算推證學(xué)生回答的正誤，讓學(xué)生直觀感受方程和幾何關(guān)系的對(duì)應(yīng)聯(lián)系。

組1 圓C1：（x-1）2+（y-2）2=2與C2：（x-3）2+（y-4）2=2，如果選用數(shù)形結(jié)合法，可得圓心距為22，兩圓半徑之和為22，兩圓外切；當(dāng)然也可以解方程或繪圖，但數(shù)形結(jié)合的方法最合適。

組2 圓C1：x2+y2=1與C2：x2+y2-100x+2y=0，圓心距為2 501，兩半徑之和為1

+2 501，兩半徑之差為2 501-1，兩圓應(yīng)該是相交，繪圖可能更方便，因?yàn)閳AC2過(guò)原點(diǎn)。

組3 圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y2=10，因?yàn)閮蓤A的圓心相同，圓心距為0，所以圓心距一定小于半徑之差，于是兩圓內(nèi)含。

教學(xué)說(shuō)明 學(xué)生能逆向思考，比如構(gòu)造兩個(gè)圓外切的確定的位置關(guān)系，如外切，那就要思考如何取圓心和半徑來(lái)滿足條件，這個(gè)過(guò)程深化了學(xué)生對(duì)圓與圓的位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)。學(xué)生紙筆運(yùn)算結(jié)合GeoGebra結(jié)果展示再次體現(xiàn)方程與圖形的對(duì)立統(tǒng)一。

1.4 逆向思考聚焦相切，數(shù)形聯(lián)通深刻認(rèn)識(shí)

問(wèn)題6 能否選擇合適的圓心坐標(biāo)或者半徑使圓C1與圓C2是外切的，是內(nèi)切的？

例1 （1）圓C1：x2+（y-1）2=4與圓C2：x2+（y+2）2=兩圓相切？

（2）圓C1：x2+（y-1）2=4與圓C2：（x-1）2+（y-）2=1何時(shí)相切？

教學(xué)說(shuō)明 通過(guò)“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，可以保證抽象代數(shù)問(wèn)題也有著直觀形象的呈現(xiàn)，如學(xué)生在兩圓內(nèi)切的列式求解中，很容易忽略兩半徑之差的“絕對(duì)值”而導(dǎo)致漏解，而有了圖形作參考，學(xué)生自然會(huì)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)自己的失誤。

例2 求過(guò)點(diǎn)A（0，6）且與圓C：x2+y2+10x+10y=0切于原點(diǎn)的圓的方程。

本例的難點(diǎn)在于學(xué)生不知如何列式，也不知道到底是內(nèi)切還是外切，原因是頭腦中沒有想象出適合條件的圓。教師可以順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生回顧幾何問(wèn)題的解決方法：一是直接列關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算；二是繪制兩圓相切的圖形，從圖形中感受位置關(guān)系，從而幫助學(xué)生聚焦外切情形解決問(wèn)題，進(jìn)一步將學(xué)生的解題過(guò)程進(jìn)行實(shí)物投影，并帶著學(xué)生一起剖析、欣賞優(yōu)秀解法。

1.5 工具優(yōu)勢(shì)拓展課堂，技術(shù)支持自主學(xué)習(xí)

問(wèn)題7 例1和例2研究的都是兩個(gè)圓的相切關(guān)系，那么接下來(lái)我們還可以再研究?jī)蓤A位置關(guān)系中的什么問(wèn)題？你能否設(shè)計(jì)出一些研究方向呢？

學(xué)生設(shè)計(jì)的研究方向很多，如兩相交圓的公共弦長(zhǎng)問(wèn)題、公共弦所在直線方程、兩圓的公切線、兩個(gè)外離的圓上點(diǎn)的最短距離等。教師利用GeoGebra軟件將學(xué)生的猜想即時(shí)呈現(xiàn)，如圖3，針對(duì)公共弦CD問(wèn)題，可以通過(guò)快速制圖和即時(shí)測(cè)算為猜想提供數(shù)據(jù)支持。

教學(xué)說(shuō)明 讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)知識(shí)學(xué)習(xí)的路徑，嘗試從設(shè)計(jì)者的角度去參與學(xué)習(xí)，而不只是簡(jiǎn)單地接受教師給定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這樣的設(shè)計(jì)無(wú)疑可以最大程度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造性，同時(shí)也可以反向拓展數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究思路。GeoGebra軟件能即刻生成所需要的圖象與數(shù)據(jù)，將師生從繁瑣的計(jì)算和繪圖中解放出來(lái)，使得師生能更加專注于關(guān)鍵知識(shí)的感知與思考上；同時(shí)，學(xué)生的突發(fā)靈感也可以得到及時(shí)的反饋與驗(yàn)證，這對(duì)學(xué)生而言是莫大的鼓舞，他們會(huì)敢于去想象、去表達(dá)，從而感受到思考與探究的真正樂(lè)趣。

2 結(jié)束語(yǔ)

基于《課標(biāo)》，本課設(shè)計(jì)時(shí)主要突出以下幾個(gè)方面：

（1）通過(guò)實(shí)際情境，分析蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象得出幾何關(guān)系，從而落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、直觀抽象和數(shù)學(xué)建模等學(xué)科核心素養(yǎng)。

（2）學(xué)習(xí)過(guò)程中注重學(xué)生的主動(dòng)參與。在應(yīng)用所學(xué)知識(shí)判定兩圓位置關(guān)系時(shí)，教師不只是給出方程讓學(xué)生列式，或者聯(lián)立方程組來(lái)簡(jiǎn)單計(jì)算，而是真正地把學(xué)生納入到教與學(xué)的過(guò)程中，讓學(xué)生自主出題，自己選擇方程形式，在逆向思考中考查兩圓外切的構(gòu)造條件，這個(gè)過(guò)程也是把學(xué)生對(duì)于圓與圓的位置關(guān)系的探究引向更深入的過(guò)程。

（3）技術(shù)應(yīng)用助力數(shù)形聯(lián)通。動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)助力學(xué)生構(gòu)建動(dòng)態(tài)直觀、整體關(guān)聯(lián)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而推動(dòng)對(duì)知識(shí)之間的橫向和縱向的聯(lián)系［2］。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 胡云飛。“教什么”和“怎么教”是課堂教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵維度：以“直線與圓的位置關(guān)系”為例[J]。數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（11）：33-37。

[2] 王永輝。依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)深度學(xué)習(xí)探究建模落實(shí)素養(yǎng)：以“圓與圓的位置關(guān)系”為例[J]。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（06）：22-25。

［責(zé)任編輯：李慧嬌］