新高考背景下最值問題的教學策略探究

在高考不斷改革的過程中，高中數學考試內容也發生了顯著的變化。其中最值問題的變化多體現在考查方式和難度上，為提高學生在考試中的成績，需要教師把握一定的教學要點和策略。此外，最值問題在數學和其他學科中都有廣泛的應用，如物理學中的極值問題、經濟學中的優化問題等。因此，本文針對新高考背景下最值問題的教學建議和解題策略展開研究。通過研究可以幫助教師優化教學方案，選擇適合學生現階段發展的教學方式，也有助于強化學生的問題分析、問題解決以及創新思維能力，為學生的全面發展奠定良好的基礎。

一、新高考背景下最值問題的特點

（一）內容形式多變

新高考背景下，最值問題廣泛存在于函數（如三角函數、指數函數、對數函數、二次函數等）、圓錐曲線、數列、立體幾何、解析幾何、不等式和向量等數學知識點中。最值問題不僅出現在選擇題、填空題中，還常見于解答題，且題目背景復雜，題型新穎，文字敘述多，要求學生具備較強的閱讀理解能力和數學建模能力。此外，許多最值問題以實際生活中的問題為背景，如建筑費用、運輸成本、生產效率等，要求學生能夠將數學知識應用于解決實際問題。

（二）綜合性強

最值問題涉及導數、不等式、三角函數等多個知識點，要求學生綜合運用所學知識進行求解。多數題目描述相對簡單，但解題過程復雜，隱含信息多，需要學生深入挖掘和整合。最值問題常常將不同知識點融合在一起，形成跨模塊、跨章節的綜合性題目，注重考查學生對單個知識點的掌握程度，更考查其整合已知信息來選擇合適的解題方法。

（三）考查頻率高

在高考數學中，最值問題是許多學生的薄弱環節，分值占比較高。由于這類問題綜合性強，能夠全面考查學生的邏輯思維能力和數學應用能力，因此往往成為高考數學中的重點題型，考查頻率極高。如2024年新高考ⅡI卷單選第8題，命題者將共零點與雙變量最值問題結合在一起，考查學生的數學技能及創新意識；2023年新高考Ⅰ卷第22題是一道綜合考查解析幾何和導數應用的最值問題，考查學生的數學基礎知識、邏輯思維能力和問題解決能力；2022年新高考Ⅰ卷的第18題，考查學生的倍角公式、三角形定理、數學運算、分析聯想等能力；2021年新高考全國I卷第19題是一道解三角形最值問題，主要考查學生的三角函數知識、計算分析能力等。

二、新高考背景下最值問題的教學策略

由上述可知，新高考背景下，最值問題的考查頻率較高、分值也大，需要教師在日常教學中加以重視。同時最值問題的內容形式多變，且一道題包含多個知識點，因此需要教師教授學生正確的解題策略，如平時學習時加強思維訓練和實踐鍛煉，并注重解題思路、解題步驟的總結。

（一）思維訓練

新高考背景下，最值問題涉及對學生邏輯思維的考查，需要學生根據題目進行條件判斷等。同時也考查學生對一些抽象概念和理論的應用，以及在多種解題方法中選擇合適的方法。因此，教學期間，教師應注重對學生進行思維訓練。

為應對復雜的邏輯關系和條件判斷，教師應引導學生學會從題目條件出發，逐步推理，直至得出結論。通過邏輯推理的訓練，可以幫助學生更好地理解題目，避免盲目猜測或遺漏重要信息。在解決最值問題時，需要嚴謹的數學推導和證明。教師應強調每一步推導的合理性，讓學生明白每一步都是基于數學原理或已知條件進行的，不能憑空臆斷。

在帶領學生認識和應用抽象概念和理論（如函數的極值、最值定理）時，教師應通過生動的例子和形象的比喻，幫助學生理解這些抽象概念，并引導他們運用這些概念去分析和解決問題。在解決最值問題的過程中，學生需要能夠從具體的問題中提煉出一般性的規律和方法。教師應鼓勵學生多進行總結和歸納，將零散的知識點整合成一個完整的知識體系。

最值問題的解決方法不是唯一的，教師應鼓勵學生嘗試不同的方法和思路，勇于提出新的見解和想法。通過創新思維的訓練培養學生的創造力和解決問題的能力。

（二）實踐鍛煉

在新高考背景下，最值問題作為數學教學中的重要內容，不僅要求學生掌握理論知識，更需要學生具備解決實際問題的能力。因此，實踐鍛煉成為提高學生解題能力的關鍵環節。教師應結合學生的生活實際，設計具有趣味性和挑戰性的最值問題。例如，可以設計關于優化資源配置、最大化利潤或最小化成本等實際問題，讓學生感受到數學與生活的緊密聯系。這樣的問題能夠激發學生的學習興趣，促使他們主動探索解決問題的方法。也可以讓學生相互討論、分享思路，共同解決問題。教師將學生分成若干小組，每個小組分配一個最值問題，要求他們合作完成解題過程。在小組合作中，學生可以相互學習、取長補短，提高解題能力。同時，小組合作還能培養學生的團隊協作精神和溝通能力。

教師可以組織制作、觀察、實驗以及調查類實踐活動，讓學生在實際操作中感受最值問題的求解過程。例如，在進行函數最值的教學時，教師可以引導學生通過實驗來觀察函數圖像的變化，理解最值的求解方法。

此外，教師可以利用信息技術手段，如數學軟件、在線教學資源等，來輔助教學。通過數學軟件，學生可以直觀地觀察函數圖像的變化，理解最值的求解過程。同時，教師還可以利用在線教學資源，為學生提供更多的最值問題案例和解題方法，拓寬學生的視野。

（三）注重總結

在新高考背景下，為了幫助學生更好地掌握最值問題的解題策略，教師應帶領學生進行總結。

1．系統講解

教師應系統講解解決最值問題的各種方法，

如配方法、不等式法、導數法等，確保學生了解每種方法的基本原理和適用場景。

2.步驟總結

教師將最值問題按照題型進行分類，如函數最值、數列最值、幾何最值等，幫助學生建立清晰的題型框架。針對每種題型，總結常用的解題方法和技巧。教師可以通過制作思維導圖或筆記的形式，幫助學生整理和記憶。此外，也可以通過典型例題來演示每種方法的應用，讓學生直觀感受解題步驟和技巧。例題的選擇應具有代表性，能夠覆蓋不同的題型和難度。引導學生對比不同方法的優缺點，理解在何種情況下選擇何種方法更為合適。這有助于學生形成靈活的解題思路。

第一，理解與建模。在新高考背景下，最值問題的解題中，“理解與建模”是解題的關鍵步驟[1]。這要求學生能夠準確理解題目的要求和背景，將實際問題抽象為數學問題，并通過建立數學模型進行求解。

以2021年新高考全國Ⅰ卷第19題為例：記△ABC的內角A、B、C所對邊為a、b、c，已知 b²=ac ，點D在邊AC上，且 。

1.證明 |BD|=b ：

2.若 AD|=2|DC| ，求 cos∠ABC 。

針對條件1，學生需要準確理解題目的要求和背景，明確題目給出的所有條件，包括 b²=ac ， ，以及 ∣AD∣=2∣DC∣ 。題目要求證明 |BD|=b ，并求 cos∠ABC 。這涉及三角形的性質和幾何關系的應用。結合以上學生需要將三角形的性質和給定的條件轉化為數學表達式和等式。例如，利用正弦定理 bsin∠B=csin∠C 可以將 ∣BD∣sin∠ABC=asin∠C 轉化為數學關系式。在理解題目的基礎上，需要建立一個能夠描述題目要求的數學模型。在這個例子中，可以使用正弦定理、余弦定理以及三角形的基本性質來建立模型。如由 ∣BD∣sin∠B=asin∠C ，可得|BD|=(asin∠C)/(sin∠B) 。在建模過程中，需要靈活運用各種數學工具，如代數運算、三角函數等。在建立模型后，需要通過數學推導來得出結論。這個過程涉及復雜的代數運算和幾何關系的應用。如將模型代入正弦定理，得 |BD|=(asin∠C)/(sin∠B)= (casin∠C)/(bsin∠B)=c/b 。由于 b²=ac ，所以c/b=b ，即 |BD|=b 。

第二，解題方法回憶。在新高考背景下，學生針對最值問題進行解題，需要掌握多種解題方法，以在考試當中靈活應對各種題型。首先，學生應當針對各部分的數學概念、公式和定理進行回憶，同時明確其推導過程和應用條件[2]。其次，學生需要回憶最值解題方法，具體包括以下方法。 ① 導數法，借助導數的性質等內容來求解一元函數或多元函數的最值問題[3]。 ② 配方法，通過配方將二次函數或二次項轉化為完全平方的形式，更容易地找到函數的最值，主要用于二次函數的求最值。將二次函數配方后，可以直接讀出頂點坐標，確定最值。③ 消元法，通過代數運算消去一個或多個變量，將多元函數轉化為單變量函數，再求最值。主要用于處理含有多個變量的函數求最值問題。通過消元，可以簡化問題，使其更易于求解。 ④ 換元法，學生需要通過將原來的問題進行新變量的引入而轉化為更易于求解的形式，解答形式復雜或難以直接求解的最值問題。 ⑤ 均值不等式法，利用均值不等式求解最值。主要用于處理涉及正數的和或積的最值問題。通過合理地應用均值不等式，可以得到函數的最值。此外還有柯西不等式法、向量法、參數法、特殊值法等。學生在解題過程中，應當針對這些方法進行總結和歸納，以便于在考試中進行調取和應用[4]。最后，學生回憶閱讀教材或相關參考資料中同一道題如何使用不同的解題方法，積極從不同的角度和思路出發來鍛煉自己的思維和解題能力。

第三，選用合適的方法求解。在新高考背景下，最值問題的解題需要學生選用合適的方法進行求解，在掌握多種解題方法的基礎上，根據題目的內容和要求來調動自身的知識，選擇最適合的解題方法。

以2022年新高考Ⅰ卷的第18題為例：記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 cosA/(1+sinA)=sin2B/1+cos2B ：

1.若 C=2π/3 ，求B。

2.求 (a²+b²)/c² 的最小值。

學生在針對第二問進行最小值的求解時，需要利用正弦定理將邊長問題轉化為角度問題，由第一問已知B和C的關系，以及 A=π-B-C ，可以利用正弦定理將邊長a，b，c轉化為角度A，B，C的正弦值。將 (a²+b²)/c² 的表達式進行化簡，化簡后得到與sinB和cosB相關的表達式。利用均值不等式，求出表達式的最小值。當且僅當等式中的某個條件成立時等號成立，得到最小值。

再以2024年新高考 II 卷單選第8題為例：設函數 ，若 f(x) （20 M

0，則 a²+b² 的最小值為

選項： A.1/8 . 8.1/4 . C.1/2 D. 1

對于這道例題，學生應選擇導數法求解。先確定函數的定義域，再分析不等式條件，利用導數法求解。函數 f(x) 的定義域為 (-∞) ．因為f(1-b)=0 且 f(x)?0 恒成立，所以 f(1-b) 為函數 f(x) 的最小值，必有 f^′(1-b)=0 ，又 f^′(x)= ，因此 f^′(1-b)=0+1-b+a=Ω 0，因此， b_α=1+ a．之后，通過雙變量之間的關系進行消元而后使用配方法取得最值．如a²+b²=a²+(1+a)²=2(a+1/2)²+1/2?1/1 當且僅當 a=-1/2 ， b=1/2 時取等號。

3.引導學生反思解題過程

每次解題后，引導學生回顧解題過程，思考是否有更優的解法或更簡潔的步驟。這有助于培養學生的批判性思維和優化意識。鼓勵學生向自己提問，如“我選擇這種方法的直接原因是什么？”“這種方法是否能夠解決所有的最值問題？”等。通過自我提問，學生可以更深入地理解解題方法和思路。組織學生進行小組討論或班級分享，讓他們交流自己的解題方法和心得，促進知識的共享和互補。

結束語

在新高考背景下，最值問題呈現出內容形式多變、綜合性強、考查頻率高等特點。與此同時，對學生的考查方向也發生較大的變化，學生除了要對基本的概念知識進行掌握之外，還需要學會靈活地運用各種知識來解決實際問題。因此，在新高考背景下，教師既要教授學生解題方法，還要在日常教學中強化對學生的思維訓練、實踐鍛煉，提高學生解題的準確性、合理性和規范性，在高考中獲得更佳的數學成績。

參考文獻

[1]周寧.聯想拓思路模型助求解：對2022年全國數學新高考Ⅰ卷第18題的解法探究與思考].中學教研（數學)，2022(9):45-48.

[2]袁小強，蔣愛國.注重四基四能提升核心素養：新高考解三角形備考策略].教學考試，2023(11):4-9.

[3]陳偉.思維進階視角下高中數學學習策略研究：以“導數在研究函數中的應用”為例凹]數理天地（高中版)，2025(5):17-18.

[4]李軍.新高考視角下數學運算素養培養的實踐研究：以解三角中的最值問題為例Ⅲ].高考，2023(24):144-146.