巧用幾何變換發展學生的空間觀念

王賀杰

摘 要:為了使幾何教學更富有生命力,第一,應注重利用幾何變換進行概念教學,使學生消除學習概念時的枯燥乏味感和死記硬背傾向;第二,注意到幾乎所有的幾何基本定理的結論都可以由幾何變換得到,故在定理教學中,應引導學生利用幾何變換構造輔助線,使圖形中相對孤立的元素變換到同一基本圖形中,使學生感受輔助線作法的本質,不把輔助線作法視為僵死的條文;第三,注重幾何變換的解題訓練,關注變換與演繹推理的互通與互補,開拓思路,提高創新能力。

關鍵詞:圖形變換 合情推理 概念教學 定理教學 解題訓練 創新能力

以往的平面幾何教學內容是以公理擴大化的歐式體系為主線,將“已知——求證——證明”的模式作為幾何學習最為核心的模式。而在教學改革的今天,《數學課程標準》對圖形與空間內容的學習做了新的定位,明確將幾何學習的主要目標定位為“發展學生的空間觀念”(數學證明只是其中的一部分)。“圖形與變換”與“空間推理”可以是“齊頭并進”,也可以是“交叉組合”。在各個版本的課標教材中,均將幾何變換和運用放在了特別突出的地位,把幾何變換方法作為探究幾何圖形性質的一種重要途徑。在內容的呈現方式上,首先是借助于平移、旋轉、軸對稱等直觀具體的“操作性活動”,去完成探究圖形性質的學習任務,以提高學生的觀察、分析、思考、歸納和概括能力,隨后才是“想象”“推理論證”等抽象的思維活動方式。

教學實踐證明,在入門階段,以幾何變換為主要線索揭示圖形的性質,符合學生的認知規律,學生學有興趣,有利于發展學生的猜想及合情推理能力,有利于學生對探究幾何對象方法的多樣化的認識,使幾何教學更富有生命力。因此,如何利用幾何變換發展學生的空間觀念,是數學教師必須思考的一個問題,今結合教學實踐談一下自己的點滴做法。

一、注重利用幾何變換進行概念的教學

利用幾何變換的方法進行概念教學本身就是關注了幾何知識的現實性和直觀性,有利于促成學生對概念本質屬性的認識。如在講授角平分線概念時,用軟紙片做出角的模型,過角的頂點將紙片對折,使兩邊重合,展平,折痕就是角平分線的形象。這種簡單操作,消除了學生在學習概念時的枯燥乏味感和死記硬背的傾向。在講授點與圓、直線與圓、圓與圓位置關系概念時,通過點、直線、圓向定圓平移的操作,使學生感受各種圖形與圓會出現多種不同的位置關系及不同位置關系出現的先后次序,可大大加深對各種位置關系概念的理解,使學生感知數學概念也有著活生生的幾何變換背景,提高了學生的變換意識和學習興趣。

二、結合幾何變換,精心設計圖形性質(定理)的教學

幾乎所有的幾何基本定理的結論都可借助于幾何變換得到,故在教學中應引導學生逐步形成幾何變換的方法。如角平分線性質定理、線段垂直平分線性質定理、等腰三角形性質定理、垂徑定理等都可用折疊(對稱)的方法進行探究性教學;對頂角的性質可由將相交直線繞交點旋轉180度得出;在三角形中位線定理的教學中,可讓學生把中位線截得的三角形繞中位線一端點旋轉180度,通過引導學生探究變換后所得四邊形的形狀,學生不難發現定理的結論。筆者在等腰梯形性質定理的教學中,引導學生將等腰梯形的兩條邊轉化為等腰三角形的兩腰加以運用,同學們躍躍欲試,得到了如圖1(梯形ABCD中,AD平行于BC,AB=DC)所示的多種輔助線、輔助線是解決幾何問題的“生命線”。

由于問題的多變性,學生對輔助線的尋求仍是一個棘手的問題,而利用幾何變換構造輔助線可使圖形中相對孤立的元素變換到同一基本圖形中,可謂水到渠成,自然而直觀,學生消除了作輔助線的玄妙之感,做到了知其然且知其所以然,再不會將輔助線作法視為僵死的條文。綜上所述,利用幾何變換進行定理教學,可加深學生對基本圖形處理方法本質的理解,有利于學生掌握探索定理證明途徑的基本方法。

三、注重幾何變換的解題訓練

在解題教學中,應潛移默化、不失時機地向學生滲透幾何變換的數學思想方法,以加強學生的應用意識,這是提高學生變換思維能力的必要條件。

1.注重對經典幾何問題的動態化設計

一些經典的靜態化幾何問題因其具有凸顯的典型性、啟發性和代表性受到我們的關注,它們往往是可利用幾何變換進行動態化設計的好的題目原型。

對相關圖形進行動態化設計,首先可使學生產生用幾何變換方法解決問題的意識,提高用變換思想認識圖形的性質,解決幾何問題的能力。其次,可使學生感受幾何變換是使圖形變式的常用方法,感受在幾何變換下生成的變式圖形與原圖形有著相同或相近的性質,逐步形成動中求恒的解題意識。

2.給學生展示一些奇妙的解題方法

若注意收集一些趣題妙題,引導學生用幾何變換的方法進行思考,打破常規,拓展思維,可使學生開闊眼界,提高創新能力。

例:在邊長為1的正方形的周界上,任意兩點間連一條曲線把正方形面積分成相等的兩部分。試證:曲線的長不小于1。

解析:分情況討論:

(1)若曲線的端點分別在正方形的一組對邊上,如圖2,過M作ME垂直DC于E,由“直線外一點向直線上各點的連線中,垂線段最短”可知,結論成立。

(2)若曲線的端點在正方形的一組鄰邊上,如圖3,該曲線必與對角線AC相交,設一交點為P,若將PN沿AC翻折至PN′,則轉化為圖2的情況,故結論成立。

(3)綜上所述,曲線的長度不小于1。

最后指出,經歷變換要注重合情推理和對證明本身的理解,不可流于形式。隨著學生學段的增高和學習的深化,應把幾何變換和演繹推理相結合,多法并進,實現變換與推理的互通和互補,以促成學生對幾何變換重要思想方法的理解和掌握,充分發揮師生的教學智慧,提高數學課堂的教學質量。

參考文獻:

1.《數學課程標準》(實驗稿).中華人民共和國教育部制定,2007.1

2.《初中數學新課程教學法》.東北師范大學出版社,2004.5

作者單位:河北省昌黎縣赤洋口初級中學