層次分析法在學生綜合素質評估中的應用

宋秀英

【摘要】本文介紹了層次分析法基本原理，并用層次分析法對學生綜合素質進行了評定，并編寫了層次分析法的玀ATLAB程序進行求解，建立了學生素質綜合評估模型.

【關鍵詞】層次分析法；玀ATLAB；學生素質綜合評定オ

一、層次分析法概述

層次分析法是將決策總是有關的元素分解成目標、準則、方案等層次，在此基礎上進行定性和定量分析的決策方法.該方法是美國匹茨堡大學教授、運籌學家薩蒂于20世紀70年代初，在為美國國防部研究“根據各個工業部門對國家福利的貢獻大小而進行電力分配”課題時，應用網絡系統理論和多目標綜合評價方法，提出的一種層次權重決策分析方法.這種方法的特點是在對復雜的決策問題的本質、影響因素及其內在關系等進行深入分析的基礎上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數學化，從而為多目標、多準則或無結構特性的復雜決策問題提供簡便的決策方法.尤其適合于對決策結果難于直接準確計量的場合.運用層次分析法建模，大體上可按下面四個步驟進行：

1苯立遞階層次結構模型

應用層次分析法分析決策問題時，首先要把問題條理化、層次化，構造出一個有層次的結構模型.在這個模型下，復雜問題被分解為元素的組成部分.這些元素又按其屬性及關系形成若干層次.上一層次的元素作為準則對下一層次有關元素起支配作用.這些層次可以分為三類：

（1）最高層：這一層次中只有一個元素，一般它是分析問題的預定目標或理想結果，因此也稱為目標層.

（2）中間層：這一層次中包含了為實現目標所涉及的中間環節，它可以由若干個層次組成，包括所需考慮的準則、子準則，因此也稱為準則層.

（3）最底層：這一層次包括了為實現目標可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層.

遞階層次結構中的層次數與問題的復雜程度及需要分析的詳盡程度有關，一般層次數不受限制.每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個.這是因為支配的元素過多會給兩兩比較判斷帶來困難.

2憊乖斐齦韃憒沃械乃有判斷矩陣

層次結構反映了因素之間的關系，但準則層中的各準則在目標衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例.在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化.此外，當影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認為的重要性程度不相一致的數據，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數據.為看清這一點，可作如下假設：將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱出它們的重量，設為w1，…，w璶，現在，請人估計這n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量）.此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數據.

設現在要比較n個因子X={x1，…，x璶}對某因素Z的影響大小，薩蒂等人建議可以采取對因子進行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法.即每次取兩個因子x璱和x璲，以a﹊j表示x璱和x璲對Z的影響大小之比，全部比較結果用矩陣A=(a﹊j)﹏×n表示，稱Z為Z-X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）.容易看出，若x璱與x璲對Z的影響之比為a﹊j，則x璲與x璱對Z的影響之比應為a﹋i=1a﹊j.

矩陣A=(a﹊j)﹏×n具有性質：

（1）a﹊j>0.

（2）a﹋i=1a﹊j（i，j=1，2，…，n）.

稱之為正互反矩陣(易見a﹊i=1，i=1，…，n).

關于如何確定a﹊j的值，薩蒂等人建議引用數字1~9及其倒數作為標度.下表1列出了1~9標度的含義.

表1 判斷矩陣標度及其含義

標 度含 義

1表示兩個因素相比，具有相同重要性

3表示兩個因素相比，前者比后者稍重要

5表示兩個因素相比，前者比后者明顯重要

7表示兩個因素相比，前者比后者強烈重要

9表示兩個因素相比，前者比后者極端重要

2，4，6，8表示上述相鄰判斷的中間值

從心理學觀點來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數據.薩蒂等人還用實驗方法比較了在各種不同標度下人們判斷結果的正確性，實驗結果也表明，采用1~9標度最為合適.

3輩憒蔚ヅ判蚣耙恢灤約煅楠

判斷矩陣A對應于最大特征值λ┆玬ax的特征向量W，經歸一化后即為同一層次相應因素對于上一層次某因素相對重要性的排序權值，這一過程稱為層次單排序.

上述構造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾，較客觀地反映出一對因子影響力的差別.但綜合全部比較結果時，其中難免包含一定程度的非一致性.如果比較結果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應當滿足：

a﹊j猘﹋k=a﹊k，i，j，k=1，2，…，n.

稱滿足這一關系式的正互反矩陣稱為一致矩陣.需要檢驗構造出來的正互反判斷矩陣A是否嚴重地非一致，以便確定是否接受A.對判斷矩陣的一致性檢驗的步驟如下：

(1)計算一致性指標獵I

獵I=λ┆玬ax-nn-1.

(2)查找相應的平均隨機一致性指標玆I

對n=1，…，9，薩蒂給出了玆I的值，如下表2所示：

表2 玆I值

n123456789

玆I000.580.901.121.241.321.411.45

玆I的值是這樣得到的：用隨機方法構造500個樣本矩陣，隨機地從1~9及其倒數中抽取數字構造正互反矩陣，求得最大特征根的平均值λ′┆玬ax，并定義玆I=λ′┆玬ax-nn-1.

(3)計算一致性比例獵R

獵R=獵I玆I.

當獵R<0.10時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應對判斷矩陣作適當修正.

4輩憒巫芘判蚣耙恢灤約煅楠

上面我們得到的是一組元素對其上一層中某元素的權重向量.我們最終要得到各元素，特別是最底層中各方案對于目標的排序權重，從而進行方案選擇.總排序權重要自上而下地將單準則下的權重進行合成.

設上一層次（A層）包含A1，…，A璵共m個因素，它們的層次總排序權重分別為a1，…，a璵.又設其后的下一層次（B層）包含n個因素B1，…，B璶，它們關于A璲的層次單排序權重分別為b1j，…，b﹏j（當B璱與A璲無關聯時，b﹊j=0）.現求B層中各因素關于總目標的權重，即求B層各因素的層次總排序權重b1，…，b璶，計算按下表3所示方式進行，即゜璱=А苖j=1b﹊j猘璲，i=1，…，n.

表3 層次總排序

層次A1A2…A璵a1a2…a璵B層總排序權值

B1b11猙12…b1m猈1=А苖j=1a璲b1j

B2b21猙22…b2m猈2=А苖j=1a璲b2j

螃螃螃螃螃

B璶b﹏1猙﹏2…b﹏m猈璶=А苖j=1a璲b﹏j

對層次總排序也需作一致性檢驗，檢驗仍像層次總排序那樣由高層到低層逐層進行.這是因為雖然各層次均已經過層次單排序的一致性檢驗，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性.但當綜合考察時，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結果較嚴重的非一致性.

設B層中與A璲相關的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經一致性檢驗，求得單排序一致性指標為獵I璲，（j=1，…，m），相應的平均隨機一致性指標為玆I璲（獵I璲，玆I璲已在層次單排序時求得），則B層總排序隨機一致性比例為獵R=А苖j=1獵I璲a璲∑mj=1玆I璲a璲.當獵R<010時，認為層次總排序結果具有較滿意的一致性并接受該分析結果.

二、層次分析法在學生綜合素質評定中的應用舉例

某高校為了做好學生素質的綜合評估，使推薦就業盡可能科學合理，構造了相應的層次結構模型，在評估時，只要根據該學生的各項指標，利用由層次分析得到的評估公式計算其最終得分即可.

1苯立遞階層次結構

2憊乖旄韃憒嗡有判斷矩陣和層次單排序及一致性檢驗

學院認為，為了就業的需求，知識面與外觀形象同樣重要，而在能力方面則應有稍強一些的要求.根據以上看法，建立A-B層成對比較判斷矩陣：

AB1B2B3

B11121

B2212

B31121

進行一致性檢驗求出獵R=0，即通過一致性檢驗并求得B層的三個元素B1，B2，B3對A層的權重向量為：￤瑼=025000500002500.

在知識中，我們認為專業知識更為重要，其次是基礎理論知識，再次是外語知識，由此建立B1-C層成對比較判斷矩陣：

B1C1C2C3

C11153

C2518

C313181

進行一致性檢驗求出獵R=00380，即通過一致性檢驗并求得B1層的三個元素C1，C2，C3對B1層的權重向量為：W〣1=018630737000768.

在能力中，我們認為動手能力、組織能力與其他能力重要性大致相同，建立B2-C層成對比較判斷矩陣：

B2C4C5C6

C4111

C5111

C6111

進行一致性檢驗求出獵R=0，即通過一致性檢驗并求得B2層的三個元素C3，C4，C5對B2層的權重向量為：￤〣2=033330333303333.

在外表中，我們認為氣質最重要，其次是身高，最不重要的是體重，于是建立B3-C層成對比較判斷矩陣：

B3C7C8C9

C7157

C81512

C917121

進行一致性檢驗求出獵R=00122，即通過一致性檢驗并求得B3層的三個元素C7，C8，C9對B3層的權重向量為：W〣3=073800167600944.

3輩憒巫芘判蚣耙恢灤約煅楠

經層次總排序，可求得C層中各因子C璱在總目標層A中的權重分別為：0.0466，0.1842，0.0192，0.1667，0.1667，0.1667，0.1845，0.0419，0.0236.

即A〤璱=(00466，01842，00192，01667，01667，01667，01845，00419，00236)，并通過一致性檢驗.

4毖生綜合評估模型

在學生的基礎學科、專業學科、英語、計算機、實訓課程、組織能力、體育健康測試所得的測評分數的基礎上，經過數據的標準化處理，得到C1-C9各指標的評分，記為：X=(x1，x2，…，x9)玊，即學生綜合測評的總得分為：

y=A瑿X

=00466x1+01842x2+00192x3+01667(x4+x5+x6)+

01845x7+00419x8+00236x9.

オ

三、學生素質綜合測評中層次分析法的MATLAB程序

1苯立M文件（fun10_2.m）：層次分析法中對判斷矩陣進行一致性檢驗及求權重向量的程序.

function ［w CR］=fun10_2(A1)

length_a=length(A1);

eigroot_a=eig(A1);

max_eigroot_a=max(abs(eigroot_a));

CI=(max_eigroot_a-length_a)/(length_a-1);

RI=［0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51］;

CR=CI/RI(length_a);

if CR<0.1

sum_col=sum(A1);

for i=1:length_a

A(:，i)=A1(:，i)/sum_col(i);

end

v=sum(A，2);

sum_a=sum(v);

w=v/sum_a;

else

w=zeros(length_a，1);

disp(error);

end

2苯立M文件（fun10_1.m）：調用fun10_2.m計算判斷矩陣相關數據，并進行層次總排序和總排序一致性檢驗的程序.

clear

clc

close

B1=［1 1/5 3;5 1 8;1/3 1/8 1］;

［w1 CI］=fun10_2(B1);

w=［w1］;ci=［CI］;

B2=［1 1 1;1 1 1;1 1 1］;

［w1 CI］=fun10_2(B2);

w=［w w1］;ci=［ci CI］;

B3=［1 5 7;1/5 1 2;1/7 1/2 1］;

［w1 CI］=fun10_2(B3);

w=［w w1］;ci=［ci CI］;

A=［1 1/2 1;2 1 2;1 1/2 1］;

［w_a CR］=fun10_2(A);

w_last=w_a*w

CR_last=w_a*ci/sum(0.58*w_a)

w_11=w_a(1)*w(:，1);

w_12=w_a(2)*w(:，2);

w_13=w_a(3)*w(:，3);

w_last=［w_11，w_12，w_13］

CR_last=w_a*ci/sum(0.58*w_a)オオ

【參考文獻】オ

［1］韓中庚.數學建模方法及其應用.北京：高等教育出版社，2006.

［2］顏文勇.數學建模.北京：高等教育出版社，2011.

［3］運籌學理論，層次分析法.http://baike.baidu.com/view/364279.htm?fromTaglist.