關于數學教學中反思習慣的幾點認識

朱軍彪

摘 要 在當前的信息社會中，教學模式日新月異，但信息社會相對于工業社會極大程度擴展的是人的思維空間，在這樣的思維空間中最基本的生存方式是思維活動，而思維活動的規范，決不能單純地依靠外在的強制和訓練，而必須依靠自己的自覺和認同，因此教學模式必然從教師的教轉向學生的學，特別是學生在學習活動中自身內在的反思。

關鍵詞 數學教學 反思性學習 反思意識 反思習慣 反思訓練

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1002-7661（2012）04-0044-03

在當前的信息社會中，教學模式日新月異，但信息社會相對于工業社會極大程度擴展的是人的思維空間，在這樣的思維空間中最基本的生存方式是思維活動，而思維活動的規范，決不能單純地依靠外在的強制和訓練，而必須依靠自己的自覺和認同，因此教學模式必然從教師的教轉向學生的學，特別是學生在學習活動中自身內在的反思。

“反思”在當代認知心理學中屬于元認知的范疇。它是指對自身的思維過程、思維結果進行再認知和檢驗的過程，是對已形成的數學思想、方法和知識從另一角度，以另一方式進行再認識以求得新的深入認識，或提出疑問作為新的思考起點。數學推理的嚴謹性和數學語言的特殊性，決定了正處于思維發展階段的學生不可能一次性地直接把握數學中學習活動的本質，因此必須堅持反思性學習，才能不斷提高問題解決的有效性。

反思性學習是一種有效的學習方式，它的基本特征是探究性，即在考察學習活動的經歷中探究其中的問題和答案，重構自己的理解，激活個人的智慧，并在活動中所涉及的各個方面的相互作用下，產生超越已有信息之外的信息，從而幫助學生學會，使他們的學習活動成為一種有目標有策略的主動行為，不斷提出問題，發現有益的新知識、新方法，尤其是當把創新意識和問題解決的能力作為衡量和評價學生成績優劣的主要標準時，更應重視反思性學習。

一、反思的前提

1.教師應具備反思意識

在目前數學教學中為了應試的需要，教師大都采取滿堂灌，往往忽略了學習過程中反思這一環節，因此，首先教師要有反思意識，改變教學觀念，充分發揮學生主體作用，有意識地引導學生進行反思，進一步為學生良好的個性品質的形成創造條件。

2.激發學生的反思意識

數學教學過程中，學生習慣于“吸取”學習過程中老師給予的，往往忽略了自己的參與。因此，課堂教學中，教師要善于創設情境，引發學生強烈的認知沖突，激發學生的反思意識，而這就要求教師要善于設疑，從學生的角度出發，從學生容易忽視的重要環節中提煉問題，然后通過環環相扣深入研究，并引導學生進行反思，努力減少盲目性，增強學生自覺性。引導學生經常地問及（提問或自問）：“現在在做什么？”或“準備做什么？”“為什么要這樣做？”“實際效果如何？”

二、如何培養學生反思習慣

1.課堂教學是培養學生反思習慣的主渠道

培養學生的反思習慣貫穿于整個教學過程中，這就需要在平時概念教學，解題教學，復習教學中逐步培養。

數學概念一般是以準確精練的數學語言運用定義的形式給出的，具有高度抽象的特征，但是學生進行數學思維的核心時不能死記硬背來掌握概念定義，需要教師引導學生在形式概念定義的過程中進行反思。如在傳授函數的奇偶性概念時，可以提出下面問題讓學生進行反思：（1）為什么先要求定義域？（2）為什么要“任意自變量”？（3）如何來判斷函數的奇偶性？（4）若函數在上是偶函數，求的值。通過對上述問題的反思，讓學生再回顧定義形式過程，從而對于定義有一個深刻的理解，深化了學生的知識建構，有利于提高學生的數學思維能力。

數學學習效果最終是通過學生的解題來體現，通過解題來體現學生的思維能力及其它一些數學能力，因此解題后的反思就尤為重要，它可以在原有的基礎上進一步建立更高層次的認知結構。G?波利亞曾指出：“即使是相當好的學生，當他得到問題的解答，并且很干凈利落地寫下論證后，就會合上書本，找點別的事來做。這樣，他們錯過了解題的一個重要而有效的方面。通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個結果和得出這一結果的路子，學生們可以鞏固他們的知識和發展他們解題的能力。”這一結論對于一般的人來說也是對的。因此，在實現了解題計劃后，教師可引導學生針對自己的解題思路，解題規律，解題結果進行反思，可以考慮這樣的問題：你能檢驗這一結果或這一論證嗎？你能用不同的方法導出這一結果嗎？有沒有更為簡單直觀的方法？你能把這結果或方法用于其他的問題嗎？

例1 求函數y=+（0

錯解1：∵x∈（0， ），∴sinx∈（0，1]，則y=+≥2。

錯解2：∵sin2x-2ysinx+4=0，且sinx∈R，

∴ =（2y）2-4?≥0，則y2≥4，

又∵y>0，∴y≥2.

顯然這兩種解法是錯解，但在教學過程中經常會出現這兩種解法，當學生有這些解法時，不應輕描淡寫說是錯解，應引導其進行反思，因為通過錯解去挖掘題目及知識點內涵，可以完善數學思維品質。

反思1：為何1是錯解？不等式成立的前提條件是什么？從而得出要注重不等式取等號的條件。

反思2：為何2是錯解？sin2x-2ysinx+4=0根的情況如何？從而引出正解。

解法1：令t=sinx，x∈（0，1].則f（t）=t2-2yt+4=0不僅有解，而且應是在（0，1]有解。討論：

（1）在[0，1]上僅有一解，則f（0）f（1）≤0，得y≥。

（2）在（0，1]上有兩解，則由分析知，y不存在，∴ymin=。

反思3：除用二次函數來解外，能否用錯解1中思路：不等式？

解法2：y=（sinx++）令sinx=t，f（t）=

∵f（t）=，t∈（0，1]上是減函數且sinx+≥2而當且僅當sinx=1時，上兩式同時取最小值，∴ymin=。

解法3：∵≥2，

∴-≥-。此兩式取等號的條件為sinx=1，

∴y=（-）2+2≥（-）2+2=，

∴ymin=。

反思4：上解法中是利用不等式及函數的單調性，那么能否直接利用某一函數的單調性來求解呢？

解法：設t=sinx，x∈（0， ）則t∈（0，1]，將原函數化為f（t）=+，易證f（t）在（0，1]上是減函數，∴當t=1時，ymin=f（1）=。

反思5：y=其形式上有什么特點？根據其形式特點能否把問題轉化？

解法5：∵y=，∴2y=，令u=sinx，v=sin2x，則2y=問題轉化為求拋物線v=u2（0≤u≤1）一段上一點與定點（0，4）連線的斜率的最小值，由幾何意義知ymin=。

反思6：求函數y=的值域。

反思7：已知方程2sin2x-cosx+a=0有實數解，求實數a取值范圍。

復習是聯系新舊知識必不可少的手段。在復習過程中可通過反思溝通新舊知識的聯系，挖掘知識之間的內在聯系，促進知識的同化和遷移，也可有利于幫助學生建立合理的知識結構體系。

2.課后作業是培養學生反思的必要渠道

數學學習往往是通過做作業，以達到對知識的鞏固，加深理解和學會運用，從而形成技能技巧，以及發展智力與數學能力。由于作業是在復習的基礎上獨立完成，能檢查出對所學數學知識的掌握程度，能考查出能力的水平，因此在平時作業中可引導學生進行反思，發現存在的問題并及時探取措施加以解決，有著重要的作用。平時可以在以下幾個方面對學生進行反思訓練：

（1）作業本上的錯解

數學學習過程中，由于學生在整體或局部上掌握知識不牢固，作業難免出錯，重要的是必須對錯誤進行反思：

①錯誤出在何處？題意理解不完整，或是推理論證不嚴密，還是結論敘述不簡潔？

②產生錯誤的根源是什么？概念理解不深刻，不準確或是解題方法選用不當，還是書寫不規范？

③如何得出正確答案？

透過對錯誤表象的反思，發現錯誤的實質和導因，進而從導因上消除隱患，從實質上糾正錯誤，力爭不“一錯再錯”，通過這種反思訓練，有利于學生對基礎知識的進一步理解和鞏固，而且有利于學生思維嚴謹性的培養。

（2）改變傳統作業的形式

作業是師生交流的一種形式，教師可以在作業中獲得學生學習的信息，為了使獲得的信息更個體化，更有針對性，可以在傳統作業的基礎上增加日記或學生反思小結，結合自己對知識點的理解對課堂知識進行整理，給出建議并展示自己美妙的解題方法。

例2 設正數p，g滿足p3+g3=2，求證：p+g≤2。

經反思，學生在小結中發現了十幾種證法，有綜合法，分析法，反證法等，其中有兩種證法更是別出心裁，獨樹一幟。

證法1：∵p，g>0，∴p3+1+1≥33=3p，

兩式相加得：g3+1+1≥33=3g

p3+g3+4≥3（p+g），∴p+g≤2

證法2：設p，g是方程x2-mx+n=0的二根，

則p+g=m，pg=n（m，n>0）且m2-4n≥0，（1）

又2=p3+g3=（p+g）（p2+g2-pg）=m（m2-3n），∴n=。

代入（1）即得m3≤8，∴p+g≤2。

（3）提倡做開放性作業

在改變傳統作業的形式后，可以要求學生做一些延時作業，這種延時作業其特點在于作業內容具有開放性，也不要求學生定時上交。延時作業的內容源于課本，也可以是一個問題的縱向或橫向推理，也可以是一個未知結論的探索，可以是一類問題的專題總結，可以是對某些數學問題的探討等，學生可以通過反思用不同的形式來表現自己的觀點和意見。通過延時作業可以變被動學習為主動學習，激發學生對數學的興趣，改善學習方法，完善知識結構，對培養學生的歸納總結和探索能力促進較大。

反思性學習是以“學會學習”為目的，是學習主動概括和表述數學系統的構建過程，思維過程，從而進一步明確學習目標，體驗學習過程，積累教學活動經驗，反思性學習同教學的策略與技術相結合，因此在數學教學中讓學會有時間、有機會對自己數學學習的思維過程加以反思，讓學生在反思中真正領悟數學的思想、方法、優化他們的數學認知結構，提高思維能力，更大地發揮和提高他們的智能和潛能。

（責任編輯 若 曦）