高中體校數學教學滲透函數思想的研究

湯曉虹

【摘要】數列是高中數學的重要內容之一，對學生進一步學習高等數學有著極其重要的作用，如何將函數思想滲透到數列教學中，提高學生對數學學習的興趣，增加體校生的有效學習是我們作為體校教師的目標.

【關鍵詞】函數思想;數列知識;數學思想方法オ

體校學生有其自身的特點：活潑、好動、頭腦靈活，他們在學習上沒有考試壓力，沒有升學壓力，學習全靠自己的興趣和來自教練的壓力，所以對他們感興趣的課程，他們聽得津津有味，反之就是我行我素，課堂一片混亂.當然還有就是大部分學生的數學基礎薄弱，根本不能和普通中學的學生相比，即使有少數學生在初中和小學時數學學得還不錯，但是進入體校以后，沒有壓力，沒有氛圍，成績也下降很多.平時我也和學生交流的很多，他們對數學課向來比較排斥，一方面覺得枯燥，另一方面總覺得數學和他們的生活沒什么太大的聯系，覺得沒有像語文、英語那樣實用，所以學習起來沒有動力.這就要求我們教師在課堂中盡可能多的用一些簡便的方法，讓學生覺得數學沒有那么難學，是可以掌握一點的.拿數列舉例是因為數列的題目其實在我們日常生活中經常碰到，一些報紙、書刊將其作為趣味題來做，我們學生也會買些報紙來找規律填數字，但是要在其內容上深入和擴展，就需要后續的練習和總結了.函數是學生從初中就開始接觸的重要的數學知識，很多學生學的相對其他知識要好得多，以函數知識為鋪墊來講授數列知識有一定的可行性.因為數列就是按照一定的次序排列的一列數，從函數的觀點看，數列是定義在N*或者其有限子集{1,2，…，n}上的函數f(n)，當自變量從1開始依次取整數時，f(n)所對應的一列函數值：f(1),f(2),f(3),…,f(n)，引導學生得到：(1,a1),(2,a2),…,(n,f(n))，就是一次函數f(n)=a璶=d璶+(a1-d)圖像上的散開的點，進一步啟發學生本題實際上涉及三個點：A(10,a10),B(100,a100)，C(110,a110).

所以由已知A(10,a10),B(100,a100),C(110,a110)在同一直線上，由圖像及相似性質可以得到：100-10[]110-10=100-10[]100-a110.解得a110=0.

同學覺得相當巧妙，也深深地感受到了函數知識在數列知識中的應用.總結相關例題：

一、等差數列與一次函數、二次函數的關系

數列{a璶}為等差數列詎a璶=An+B(A≠0),

S璶=An2+Bn或S璶[]n=An+B(A≠0).

圖像為排在同一直線上的一系列孤立點，點(n,S璶)分布在二次函數y=〢x2+狟x的圖像上，所以數列的一些最值問題可以轉換成二次函數最值問題來解.

例1 設數列{a璶}的前n項和為S璶=An+Bn(n-1),﹏∈狽*，A,B為常數，且A≠B.

（1）證明：數列{a璶}為等差數列;

（2）證明：以a璶,S璶[]n-1為坐標的點P璶(n∈N*)在同一直線上，并求出直線方程.

證明 （1）因為S璶=An+B(n-1),n∈N*，ニ以a璶=A(n=1)，

S璶-S﹏-1(n≥2,n∈N*)，

即

a璶=A(n=1)，

2Bn+A-2B(n≥2,n∈N*)，

當n=1,a1=A,也滿足a璶=2Bn+A-2B，

所以{a璶}是等差數列.

（2）因為S璶[]n-1-S1[]1-1[]a璶-a1=An+Bn(n-1)[]n-A[]2B(n-1)=1[]2,ニ以a璶，S璶[]n-1在以1[]2為斜率的直線上，該直線方程為y-(A-1)=1[]2(x-A),即y=1[]2x+1[]2A-1.

例2 設{a璶}是等差數列，a1=25,S17=S9，問：數列前多少項和最大？求此最大值.

解 由a1=25，S17=S9,有d=-2，S璶=-(n-13)2+169,所以當n=13時，有最大值169.用的是二次函數求最值的方法——配方法.

二、等比數列與指數函數的關系

等比數列{a璶}中，通項公式a璶=a1q﹏-1就是關于n的指數函數.求和公式S璶=a1(1-q琻)[]1-q=-a1[]1-qq琻+a1[]1-q=Aq琻+B(q≠1,Aq≠0,A+B=0),點(n,S璶)分布在函數y=Aq琻+B的圖像上.

例3 數列{a璶}為等比數列，且其前n項和S璶=5﹏-1+t，求t的值.

解 由以上性質知，等比數列中S璶=1[]5?5琻+t，所以﹖=-1[]5.

三、函數具有單調性，數列是特殊的函數，也可以利用單調性來解題，但要注意其定義域

例4 設數列{a璶}的通項公式為a璶=n2+2-n，證明數列為單調遞減數列.

證明 令f(x)=x2+2-x=2[]x2+2+x，當x>0,ゝ(x)為單調遞減函數，所以{a璶}為單調遞減數列（n>0）.

例5 設{a璶}是等差數列，a1=25,S17=S9，問：數列前多少項和最大？是否能用單調性來解題，大家考慮一下.

解 因為{a璶}是等差數列，a1=25,S17=S9，所以{a璶}為單調遞減數列，且a10+a11+a12+…+a17=0，由等差數列性質

有a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14，則a13+゛14=0，又因為是單調遞減數列，所以a13>0，a14<0,即S13最大.

注 利用等差數列性質進行轉化，當a1>0，且為單調遞減數列時，前n項和S璶有最大值，如果從第n項開始變號，則在n-1處取得最大值.

四、函數中圖形是它的一個很重要的特征，利用函數的圖像來解題可以起到事半功倍的作用，所以數列既然是特殊的函數，它也可以充分利用圖形來解決一些問題

例6 設{a璶}是等差數列，a1=25,S17=S9，問：數列前多少項和最大？以上我們已經用了性質——單調性來解，是否能試著用圖像來解？

解 因為S璶=d[]2n2-a1-d[]2n,又a1=25,S9=S17,ニ以d<0，從函數的觀點來看S璶是關于n的拋物線上的孤立的點，且開口向下.

又因為S17=S9，

所以對稱軸為n=9+17[]2=13，即S13最大.

五、函數有周期性，數列是特殊的函數，自然也會有周期性，利用函數的周期性解數列中某些特定的項或者求和

例7 設數列{a璶}中，a1=15,a2=67，對所有自然數n有a﹏+1=a璶+a﹏+2，求a2011.

解 因為a﹏+1=a璶+a﹏+2，

所以a﹏+2=a﹏+1+a﹏+3，兩式相加，a﹏+3=-a璶，

所以a﹏+6=-a﹏+3=a璶，則該數列是以6為周期的數列.

由a1=15,a2=67，得a3=52,a4=-15,a5=-67,a6=-52,

a2011=a6×334+1=a1=15.

思考 等差數列{a璶}中，a1=12,d=-2,（1）求S璶，并畫出S璶(1≤n≤13)的圖像；（2）分別求S璶單調遞增、單調遞減時n的取值范圍，并求{S璶}最大（小）的項；（3）{S璶}有多少項大于0.

分析 本題分三個小題，第（1）題要求畫圖像，然后第（2）題再求單調范圍，學生就很容易聯想到函數的單調性，這種題目表面上樸實，但內涵豐富，學生理解起來輕松自如，思維也是貫穿的、一氣呵成的.思考完成后讓學生更好地理解等差數列前n項和是一個關于n的二次函數，相關的問題可以用函數知識去解決.相類似的問題在教學過程中比比皆是，要好好地利用它，不能輕描淡寫的過去，要好好培養學生腳踏實地的求學精神.在用二次函數求解范圍后，從通項公式a璶入手，考慮a璶≥0,a﹏+1≤0，就可以求出哪項開始負，進而求解.

數學思想方法不僅在數列教學中有所應用，在高中的其他知識中也有重要的作用，教師在平時的教學中，要循序漸進，把數學思想滲透到學生的認知結構中去，這對培養學生的數學素養和綜合能力是大有益處的.

【參考文獻】オ

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