留數在計算實變函數積分中的應用

摘 要：留數是復變函數中的重要定理，留數定理在復變函數中的應用相當廣泛。不僅僅是在復變函數中，在實變函數中，留數也起著非常重要的作用。將實變函數的積分轉化為復變函數的積分，再利用留數進行計算，可以計算出一些難以計算的定積分或者不定積分。

關鍵詞：留數；復變函數；實變函數

在數學分析以及一些實際問題中，常常要計算一些定積分或者不定積分的值，而一些被積函數的原函數往往難以求出，或是不能用初等函數表示出來，一些原函數雖然能夠求出，卻非常復雜。然而在實際應用中，常常需要將復雜的積分計算出來才能繼續研究。例如，光學中需要計算的菲涅爾積分、阻尼震動中需要計算的積分等，這些積分的值都具有重要的意義，但是根據牛頓—萊布尼茲公式難以計算出它們的值。此時，可以利用復變函數中的留數進行計算。

根據復變函數中的留數定理，要計算某些定積分或不定積分，只需計算出一些解析函數在孤立點的留數，由于留數的計算較為簡便，這就把問題大大簡化了。現階段尚沒有利用留數計算定積分或不定積分的一般方法，但在一些特殊情況下，根據被積函數本身的一些特性，可以總結出一定的計算規律。

下面研究幾種特殊形式的實變函數利用留數進行計算的方法。

（1）積分形如I=■R（sint，cost）dt，在半徑為1的圓上，分母不等于0。此種情況一般做圓，再將x和y轉化為關于參數t的形式，將原實變函數的積分轉化為復變函數的積分，再根據復變函數的留數進行計算。

例1.計算積分I=■■，其中常數a>1

解：根據積分區域可知，令eit=z，實變函數的積分轉化為了復變函數的積分，要計算此復變函數的積分，只需計算被積函數在半徑為1的圓內的極點處的留數。積分的被積函數在半徑為1的圓內只有一個極點z1，于是可以求得積分值為■。

（2）積分形如I=■R（x）dx，其中R（x）是有理分式，R（x）的分母在實數軸上恒不等于0，且分母次數比分子的次數至少高2次。對于這一種情況，由于自變量是在實數軸上取的，將其建立在復數平面上，假設積分區域是有限的，并將其擴充為復平面上的上半圓，尋找被積函數在上半圓內的極點，就可以根據留數的性質進行計算。

例2.計算積分I=■■

解：根據實變函數積分的性質，這一積分顯然是收斂的，因此根據留數定理計算較為簡單。事實上，被積函數有兩個二階極點，在上半平面內它的二階極點是z=i。

現做圓盤，以復平面原點O為圓心，r為半徑，考慮這一圓盤在上半平面的部分，可以取r>1，使得z=i包含在上半圓內，于是沿著Cr取積分，可以得到積分值為■，其中，Fr表示Cr上圓弧的部分，其方向為逆時針方向，在原式中令r趨近于+∞就得到積分值為■。

（3）積分形如I=■f（x）eixdx，其中f（x）在復平面上半平面上只有有限個孤立奇點，除了這些孤立奇點外f（x）處處解析。對于這一種情況，需要利用復變函數積分的性質：設f（x）是在環狀閉區域上連續變化的復變函數，如果當z在這閉區域上時，f（x）的極限為0，那么就有當z趨于正無窮時，上述積分值為0。

例3.計算積分I=■■dx

解：現取？著和r，使得r<？著>0，就將實變函數的積分化為了復變函數的積分，函數■的零點只有z=0，于是在復平面上增加一個以原點為圓心、？著為半徑的半圓，于是根據柯西定理，沿整個扇環積分的積分值為0，在這里Гз和Гr的積分分別是沿著順時針和逆時針方向取的。在原點的一個領域內，令？著趨近于0，r趨近于正無窮，根據上述定理，即可知積分值為■。

上面的三種典型積分和三道典型例題，基本可以反映出留數在計算實變函數積分中的作用，如果將這三種典型積分進行推廣，就可以利用留數計算實變函數中大量難以解決的問題。事實上，實變函數中許多難以計算的積分都是通過復變函數的方法計算出來的。

一方面，留數理論極大地促進了復變函數的發展，并有助于復變函數成為其他學科的研究工具和研究基礎，留數的提出是對復變函數的極大補充與完善。復變函數論是在數學分析的基礎上發展起來的，因為復變函數中的許多概念與數學分析所差無幾，例如極限、連續、導數、積分等，所以復變函數可以看作是數學分析研究領域的擴展。另一方面，復變函數中的許多工具，例如留數，反過來又促進了數學分析理論的發展。所以，實變函數和復變函數是相互促進、共同發展的。

參考文獻：

余家榮.復變函數.高等教育出版社，2010-12.

作者簡介：張君一，1993年8月出生，男，籍貫：江蘇省南京市，現職稱：無，學歷：本科，研究方向：數學與應用數學。

（作者單位 山東大學數學與統計學院）