畫圖：感受數形結合的魅力

周燕

摘 要： 畫圖作為數學教學的重要組成部分，是數學思想的延伸，是數學方法的滲透.作者從審好題、畫準圖、不漏解、會活用四個方面反思教師在教學過程中如何引導學生解決畫圖的相關問題，培養學生準確的畫圖意識，從而感受到數形結合的魅力.

關鍵詞： 數學教學 審好題 畫準圖 不漏解 會活用

數與形的結合可以幫助學生更直觀地解決數學問題，然而，畫圖（包括尺規作圖）作為數學教學的重要組成部分，分散在各個章節中，常常會被提及，卻又缺乏系統性，學生很難在學習中把知識內化為解決問題的方法.因此，更需要老師合理地引導，同時注重思想方法的滲透，從而提高學生的識圖能力，培養學生的形感.

一、審好題，讓畫圖“直入主題”

“畫圖題，也需要審題嗎？”“那當然！”

[場景]一個辦公室的五位老師在批改同一道畫圖題，為“說明理由”學生各顯神通，老師看得眼花繚亂.

[原題]如圖（1），A、B、C表示三個居民小區，現要在三個小區之間建一個中心廣場，使這個中心廣場到三個居民區A、B、C的距離相等，中心廣場應建在何處，請在圖（2）上作出這個中心廣場的中心點，并說明理由.

圖（1） 圖（2）

說明理由：甲學生：反復說明點O是中心廣場.

乙學生：把畫法闡述了一遍.

丙學生：說明了AB、BC、AC三邊的垂直平分線交于一點.

仔細審清題后，發現只要證明OA=OB=OC即可，而學生卻答非所問，對這樣比較單一的問題，學生都會產生歧義，那么，對于多個條件的問題就更需要審清題目的要求.

[又如]有一個梯形，請在圖（1），圖（2）中分別畫出一條線段，同時滿足以下條件：

①線段的一個端點為梯形的頂點，另一個端點在梯形一邊的格點上；

②將梯形分成兩個圖形，期中一個是軸對稱圖形；

③圖（1），圖（2）中分成的軸對稱圖形不全等.

圖（1） 圖（2）

分析：題目中“同時”，說明了條件①②③是“且”的關系.條件①明確了畫的是一條兩個端點都有要求的線段.條件②中分成的兩個圖形，只對其中一個圖形有條件限制.條件③的“潛臺詞”是找出兩種不同的情況.（分析后，找到滿足要求的線段共有五條，學生在圖（1）圖（2）中各畫出一條即可.）

二、落準筆，讓畫圖“準確無誤”

在備課組的活動中，數學老師常常會探討如何引導學生在小方格中畫出準確的圖形，因為在小方格中畫圖的要求更高，準確性更強，一旦有所偏差，格點就會把錯誤“暴露”出來.

記得在開學初的一次組內聽課活動中，一位老師講完“線段垂直平分線”的概念后，想加深學生的理解，就讓學生在網格中畫出線段的垂直平分線，連請三個學生都沒畫對，走了一圈，發現有的學生用直角板翻來翻進行比對，還有的學生拿出圓規，把預習的尺規作圖畫線段的垂直平分線也用上了.老師本想2～3分鐘解決的問題，卻出現了新情況.老師臨危不亂，風趣地說：“還給我的知識沒收到，沒教的倒用上了.”隨后，老師從圖（1）到圖（4）分析了如何找中點，畫垂直……尤其提醒學生用尺規作圖時會產生的誤差（網格的正方形有時不太標準，筆粗了會使本該沒過的格點卻過了等），有時可借助直角三角板定大致方向.

圖（1） 圖（2）

圖（3） 圖（4）

聽完課后，反思自己在剛開始出現網格問題時，也沒有重視細節問題，還覺得學生在網格畫圖中的錯誤率很高.翻開蘇科版七（上）的教材，P165習題第2題和P170習題第4題涉及在小方格中畫平行線和垂線的問題，學生準確地理解可以為初二、初三教材中涉及的格點問題打下扎實的基礎.我們不得不感嘆，網格雖小，但學問可不少.

三、擦亮眼，讓畫圖“巨細無遺”

在數學教學中，我們注重“舉一反三”，更希望“授之以漁”，而不是“授之以魚”，也就是要老師跳出“就題說題”的老框框，有效地利用課堂時間，著重數學思想方法的滲透.那么，在畫圖題中，數形結合的思想方法無處不在，在此基礎上還可以不斷滲透分類、枚舉、歸納等方法.

[例題]如圖，點A，B，C都在方格紙的格點上，請你再找一個格點D，使點點A，B，C，D組成一個軸對稱圖形.

對一個年級學生的解答調查后發現：

圖（1） 圖（2） 圖（3）

圖（1） 圖（2）

圖（1） 圖（2）

③在l上D點左側截取DC=s，則CD就是所要求的綠化帶的位置.

拓展題是在原例1的基礎上多了個“綠化帶”，似乎問題變復雜了，但由于綠化帶長度不變，因此不影響尋找最短距離，可以把綠化帶CD“平移”到圖中AP位置，接著把點P當做A的“假想”點，尋找“A”到河岸再到B的最短距離點D，最后把AP“回歸”到圖中CD位置即可.畫圖題中，條件的適當變化，使題型變得靈活，拓展了學生的思路，提煉了學生的數學思想.

[原例2]已知，如圖，直線l及其兩側兩點A，B，在直線l上求一點Q，使得l平分∠AQB.

（2）則點Q就是所要求的點.

[拓展]如圖（1），凸四邊形ABCD中，如果點P滿足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點.

1.在圖（3）正方形ABCD內畫一個半等角點P，且滿足α≠β；

2.在圖（4）四邊形ABCD中畫出一個半等角點P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）；

圖（1） 圖（2）

圖（3） 圖（4）

分析：

1.如圖（3）中，畫特殊的四邊形即正方形的半等角點P，學生很容易找到在對角線AC上，同時為了滿足α≠β，所畫的點P不是AC的中點和AC的端點.

拓展題把解決原例2的方法放到了一個全新的材料題中，從表面看是解決“半等角點”的問題，實際是結合了正方形的性質、三角形全等及軸對稱圖形的性質解決一個綜合題.題目的解答過程不僅體現了數形結合思想，還考查了學生綜合運用知識的能力.

對于學生而言，只有手、眼、腦并用，審清題目，注意細節和方法，考慮全面，靈活運用知識，才能為畫圖做好充分準備，使畫圖為解題做好鋪墊，能在畫圖中感受到數形結合的魅力，體會到數學學習的快樂.