數學題型齊展示，歸納推理顯身手

王寶林

摘 要：歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者是由個別事實概括出一般結論的推理，是由部分到整體、由特殊到一般的推理，它在數學結論及其證明思路的發現中、科學發明中都起著非常重要的作用.

關鍵詞：數學題型；展示；歸納推理；思路

在高考中，經常在一些填空題中涉及形形色色的歸納推理問題，下面結合近三年來的高考真題加以分類剖析.

一、不等式背景下的歸納推理

例1.（2012年高考陜西卷）觀察下列不等式：

1+■<■，

1+■+■<■，

1+■+■+■<■，

…

照此規律，第五個不等式為__________.

分析：以不等式為背景，通過已知三個不等式左邊與右邊的規律性加以歸納分析.

解析：結合已知所給定的幾項的特點，可知不等式左邊共n+1項，且從1一直到（n+1）的平方的倒數之和，右邊只有一項，對應的分母為（n+1），分子為（2n+1），則由歸納推理可知第五個不等式的左邊的最后一項是■，右邊的分母是6，分子是11，

故填答案：1+■+■+■+■+■<■.

點評：本題主要考查歸納推理及其應用.歸納的前提是特殊的情況，歸納是立足于觀察或經驗的基礎上的.通過觀察個別情況發現某些相同特征，從已知的相同特征中推出一個明確表述的規律.

二、函數背景下的歸納推理

例2.（2011年高考山東卷）設函數f（x）=■（x>0），觀察：

f1（x）=f（x）=■，

f2（x）=f[f1（x）]=■，

f3（x）=f[f2（x）]=■，

f4（x）=f[f3（x）]=■，

…

根據以上事實，由歸納推理可得：

當n∈N*且n≥2時，fn（x）=f[fn-1（x）]=__________.

分析：以函數為背景，通過觀察函數式的分母中x的系數1，3，7，15，…，以及分母中的常數2，4，8，16，…，通過歸納，研究兩列數與n之間存在的關系分別為2n-1與2n，從而得出一般的表達式問題.

解析：觀察知：四個等式等號右邊的分母為x+2，3x+4，7x+8，15x+16，

即（21-1）x+21，（22-1）x+22，（23-1）x+23，（24-1）x+24，

所以歸納出分母為fn（x）=f[fn-1（x）]的分母為（2n-1）x+2n，

則當n∈N*且n≥2時，fn（x）=f[fn-1（x）]=■，

故填答案：■.

點評：主要通過直觀函數表達式與數列的關系，考查數列性質、歸納能力、探究性能力和創新意識，綜合推理與歸納，數列與函數等綜合問題.求解關鍵是如何根據函數表達式判斷其變化

規律.

三、數列背景下的歸納推理

例3.（2013年高考湖北卷）古希臘的數學家畢達哥拉斯研究

過各種多邊形數，如三角形數1，3，6，10，…，第n個三角形數為■=■n2+■n，記第n個k邊形數為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：

三角形數 N（n，3）=■n2+■n，

正方形數 N（n，4）=n2，

五邊形數 N（n，5）=■n2-■n，

六邊形數 N（n，6）=2n2-n，

…

可以推測N（n，k）的表達式，由此計算N（10，24）=_________.

分析：以數列為背景，利用已知三到六邊形數的等式中n2的系數與n的系數的數列排列特征加以歸納，得到一般性的結論.

解析：由題目知：

三角形數 N（n，3）=■n2+■n=■n2+■n，

正方形數 N（n，4）=n2 =■n2+■n，

五邊形數 N（n，5）=■n2-■n=■n2+■n，

六邊形數 N（n，6）=2n2-n =■n2+■n，

…

觀察每個等式，等式中n2的系數分母均為2，分子從1開始每次遞增1；而n的系數分母均為2，分子從1開始每次遞減1.

于是根據規律，可以推測：N（n，k）=■n2+■n，

所以N（10，24）=■×102+■×10，故填答案：1000.

點評：本題主要考查歸納推理及其應用.在歸納推理過程中，關鍵是要有敏銳的觀察力.通過變形，找出前幾項的表達式與項數之間的關系，從而推出一般形式下的表達式.對于一般表達式，還要代入題目條件進行驗證，以免出錯.

在新課標高考中，歸納推理的考查背景越來越豐富多彩，往往還可以涉及三角函數、導數、數表等，是高考中的一大亮點，也是知識交匯與能力綜合的一大戰場，關鍵是歸納能力、探究性能力和創新意識等的應用，通過題目條件歸納出實質性的內容，并利用歸納的結果加以分析與解決問題.

參考文獻：

周雪麗.2011年高考數學客觀題中的創新題型賞析[J].中學教學雜志，2011（19）.

（作者單位 陜西榆林教研室）