一元二次方程根與系數關系的七種應用

陳顯華

摘要：一元二次方程根與系數的關系是初中數學教學中的重要內容之一，也是每年中考的熱點，其應用較為廣泛。筆者在教學中將其應用總結為七種，現與同行進行分享。

關鍵詞：一元二次方程；根；系數；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）02-0121

一、檢驗方程的根

若x1、x2同時滿足x1+x2=-■，x1·x2=■，則x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實根，否則就不是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實根。反過來也成立。

例1. 一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根是另一個根的2倍，則（ ）

A. 4b2=9c B. 2b2=9ac C. 2b2=9a D. 9b2=2ac

解：設原方程的一個根是2x1 ，則另一個根是x1，由一元二次方程根與系數的關系知

x1+2x1=-■ ·····①x1·2x1=■ ·····②

由①，得 x1=-■ ·····③

將③代入②中得 2（-■）2=■，

化簡后得 2b2=9ac。

所以選答案B。

二、求方程的根

例2. （河南省）已知關于x的方程5x2+kx-6=0的一個根是2，設方程的另一個根是x1，則有（ ）

A. x1=■，k=-7 B. x1=-■，k=-7

C. x1=-■，k=7 D. x1=■，k=7

解：由題意得 2x1=-■ ∴ x1=-■

又（-■）+2=-■

∴ k= -5[（-■）+2]=-7 .

∴ 選答案B。

例3. 已知兩個數的和等于8，積等于9，求這兩個數。

解：根據根與系數的關系可知，這兩個數是方程

x2-8x+9=0的兩個根。

解這個方程，得

x1=4+■，x2=4-■。

因此，這兩個數是4+■，4- ■。

三、求關于根的對稱式的值（或最值）

例4. （河北省）若x1、x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根，則x1+x2的值是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. 7

分析：因為x1+x2=（x1+x2）2-2x1x2，所以由根與系數的關系寫出x1+x2，x1·x2后代入即可。

解：∵ x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根，

∴x1+x2=■， x1·x2=■。

∴x1+x2=（x1+x2）2-2x1x2=■。

∴ 選答案A。

例5. 已知方程x2-（k-2）x+k2-k-5=0的兩實根是α、β，求α2+β2的最大值。

解：因為方程x2-（k-2）x+k2-k-5=0有兩實根，所以其判別式

△=[-（k-2）]2-4（k2-k-5）≥0。即-3k2+24≥0。

所以-2■≤k≤2■。

又因為α、β是方程x2-（k-2）x+k2-k-5=0的兩實根，所以

α+β=k-2，α·β= k2-k-5。

因此，α2+β2=（α+β）2-2αβ

=-（k+1）2+15。

所以，當k=-1時，α2+β2的值最大，且最大值為15。

四、求作一元二次方程

例6. （西寧市）以5-2■與5+2■為根的一元二次方程是（ ）

A. x2-10x+1=0 B. x2+10x-1=0

C. x2+10x+1=0 D. x2-10x-1=0

解：以兩個數x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數為1）是

x2-（x1+x2）x+x1x2=0。

∴ 所求方程是x2-[（5-2■）+（5+2■）]x+（5-2■）（5+2■）=0。

即 x2-10x+1=0。

∴選答案A。

五、確定方程中字母的取值

例7. 關于x的一元二次方程4x2-2（m+1）x+m=0的兩根恰好是一個直角三角形的兩個銳角的余弦，求m的值。

解：設直角三角形的兩個銳角分別為α、β，則由題意有

cosα+cosβ=■ ······①osαcosβ=■ ······②

把①兩邊平方得

cos2α+2cosαcosβ+cos2β=■ ······③

又 sinα=cosβ且 sin2α+cos2α=1 ······④

由②、③、④得 1+2·■=■。

解此方程得m =±■。但cosαcosβ>0，所以m =■。

六、證明同一方程中系數之間的特殊關系

例8. 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根之比為2∶3，求證6b2=25ac。

證明：設原方程的兩根分別為2k、3k（k≠0），由根與系數的關系知

2k+3k=-■ ······①

2k·3k=■ ······②

從①中求出 k=-■ ······③

將③代入②中并化簡得 6b2=25ac。

七、判斷一元二次方程實根的符號及性質

設方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判別式為△，x1、x2為其二實根，則⑴當△≥0，x1+x2>0，x1·x2>0時，兩實根同正；⑵當△≥0，x1+x2<0，x1·x2>0時，兩實根同負；⑶當△>0，x1+x2>0，x1·x2<0時，兩實根異號且正根的絕對值較大；⑷當△>0，x1+x2<0，x1·x2<0時，兩實根異號且負根的絕對值較大；⑸當b≠0，c=0時，方程只有一零根；⑹當b=c=0時，方程有兩個零根。

例9. 已知方程x2-（m-1）x+m-7=0，m為何值時，①方程有兩個正根？②方程的兩根異號？

解：因為原方程的判別式△=[-（m-1）]2-4（m-7）=（m-3）2+20>0，所以無論m取何值，原方程都有兩個不相等的實根x1、x2。

① 要使原方程有兩個正根，必須使 x1+x2>0x1·x2>0 即 m-1>0m-7>0 亦即m>7。

②要使原方程的兩根異號，必須使x1·x2<0，即m-7<0，亦即m<7.

（作者單位：甘肅省隴南市武都區兩水中學 746000）