簡單遞推數列通項的求法

獨志榮

〔關鍵詞〕 數學教學；遞推數列；通項；求解方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）03—0089—01

遞推數列是高考的重點也是難點，也是高考的重要題型.這些題型既體現了轉化思想的運用，又要求具有較強的歸納、總結以及運算能力.從歷年高考的命題趨勢來看，數列題的難度平穩上升，而且幾乎都是以遞推數列來命題的.下面，筆者舉例談談遞推數列的常用解法.

題型一：型如an+1=an+f（n） （其中數列{f（n）}是可求和的）的數列，可以選用疊加法. 此法是等差數列的拓展，所以做法與推導等差數列公式的過程相似.

例1 設數列{an} 中，a1=2，an+1=an+n+1，求數列{an}的通項公式.

分析：由于an+1=an+n+1符合題型一中數列的特征，故可以選用疊加法，通過前、后項相消得到通項公式.

解：因為 a1=2，an+1=an+n+1，所以an=an-1+（n-1）+1

an-1=an-2+（n-2）+1 … a2=a1+1+1

將以上各式相加得：

an=n-1+n-2+n-3+…+2+1+n+1

=■+n+1=■ +1

即 an=■ +1

題型二：型如an+1=f（n）an（其中數列{f（n）}是可求積的）的數列，可以選用累積法. 此法是等比數列的拓展，做法與推導等比數列求和公式的過程相似，它體現了高考題源于課本而高于課本的思想.

例2 已知數列{an}滿足a1=2，■=■.求數列{an}的通項公式.

分析：因為■=■ ， 符合題型二中數列的特征，故可以選用累積法，通過累乘前后項相消得到通項公式.

解：由題意，得■=■.

即■=■，…，■=■ ，■=■，

將以上各式相乘，得■=■×…×■×■=■，

即 an=a1×2n-1×n2=2nn2.

題型三：型如an+1=can+d（c，d為常數，c≠1，cd≠0）（一階線性遞推數列）的數列，可以選用待定系數法. 一階線性遞推數列里蘊含著一個等比數列，所以利用待定系數法能使問題很快得到解決.

例3 在數列{an}中，若an=1，an+1=2an+3（n≥1），求該數列的通項公式.

分析：因為an+1=2an+3（n≥1）符合題型三中數列的特征，故可以選用待定系數法.

解： 令an+1+x=2（an+x）（n≥1） ，則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意得 x=3.

故{an+3} 是以4為首項，2為公比的等比數列，

所以 an=2n+1-3.

例4 已知數列{an}中，a1=2，an+1=（■-1）（an+2），n=1，2，3… 求數列{an}的通項公式.

解： 令 an+1+x=（■-1）（an+x），（n≥1），則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意，得 x=-■，

故{an-■} 是以（2-■）為首項，（■-1）為公比的等比數列， 所以 an=1+■-（■-1）n.

總之，對于遞推數列的問題，主要是求數列的通項公式.要具體情況具體處理，但必須理解并掌握基本題型，并能將一些非基本題型經過適當的變形轉化為基本題型，然后用基本題型的常用方法處理.有時也要用到猜想方法獲得通項公式.筆者認為，掌握以上方法是解決遞推數列問題的關鍵.

編輯：謝穎麗endprint

〔關鍵詞〕 數學教學；遞推數列；通項；求解方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）03—0089—01

遞推數列是高考的重點也是難點，也是高考的重要題型.這些題型既體現了轉化思想的運用，又要求具有較強的歸納、總結以及運算能力.從歷年高考的命題趨勢來看，數列題的難度平穩上升，而且幾乎都是以遞推數列來命題的.下面，筆者舉例談談遞推數列的常用解法.

題型一：型如an+1=an+f（n） （其中數列{f（n）}是可求和的）的數列，可以選用疊加法. 此法是等差數列的拓展，所以做法與推導等差數列公式的過程相似.

例1 設數列{an} 中，a1=2，an+1=an+n+1，求數列{an}的通項公式.

分析：由于an+1=an+n+1符合題型一中數列的特征，故可以選用疊加法，通過前、后項相消得到通項公式.

解：因為 a1=2，an+1=an+n+1，所以an=an-1+（n-1）+1

an-1=an-2+（n-2）+1 … a2=a1+1+1

將以上各式相加得：

an=n-1+n-2+n-3+…+2+1+n+1

=■+n+1=■ +1

即 an=■ +1

題型二：型如an+1=f（n）an（其中數列{f（n）}是可求積的）的數列，可以選用累積法. 此法是等比數列的拓展，做法與推導等比數列求和公式的過程相似，它體現了高考題源于課本而高于課本的思想.

例2 已知數列{an}滿足a1=2，■=■.求數列{an}的通項公式.

分析：因為■=■ ， 符合題型二中數列的特征，故可以選用累積法，通過累乘前后項相消得到通項公式.

解：由題意，得■=■.

即■=■，…，■=■ ，■=■，

將以上各式相乘，得■=■×…×■×■=■，

即 an=a1×2n-1×n2=2nn2.

題型三：型如an+1=can+d（c，d為常數，c≠1，cd≠0）（一階線性遞推數列）的數列，可以選用待定系數法. 一階線性遞推數列里蘊含著一個等比數列，所以利用待定系數法能使問題很快得到解決.

例3 在數列{an}中，若an=1，an+1=2an+3（n≥1），求該數列的通項公式.

分析：因為an+1=2an+3（n≥1）符合題型三中數列的特征，故可以選用待定系數法.

解： 令an+1+x=2（an+x）（n≥1） ，則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意得 x=3.

故{an+3} 是以4為首項，2為公比的等比數列，

所以 an=2n+1-3.

例4 已知數列{an}中，a1=2，an+1=（■-1）（an+2），n=1，2，3… 求數列{an}的通項公式.

解： 令 an+1+x=（■-1）（an+x），（n≥1），則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意，得 x=-■，

故{an-■} 是以（2-■）為首項，（■-1）為公比的等比數列， 所以 an=1+■-（■-1）n.

總之，對于遞推數列的問題，主要是求數列的通項公式.要具體情況具體處理，但必須理解并掌握基本題型，并能將一些非基本題型經過適當的變形轉化為基本題型，然后用基本題型的常用方法處理.有時也要用到猜想方法獲得通項公式.筆者認為，掌握以上方法是解決遞推數列問題的關鍵.

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〔關鍵詞〕 數學教學；遞推數列；通項；求解方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）03—0089—01

遞推數列是高考的重點也是難點，也是高考的重要題型.這些題型既體現了轉化思想的運用，又要求具有較強的歸納、總結以及運算能力.從歷年高考的命題趨勢來看，數列題的難度平穩上升，而且幾乎都是以遞推數列來命題的.下面，筆者舉例談談遞推數列的常用解法.

題型一：型如an+1=an+f（n） （其中數列{f（n）}是可求和的）的數列，可以選用疊加法. 此法是等差數列的拓展，所以做法與推導等差數列公式的過程相似.

例1 設數列{an} 中，a1=2，an+1=an+n+1，求數列{an}的通項公式.

分析：由于an+1=an+n+1符合題型一中數列的特征，故可以選用疊加法，通過前、后項相消得到通項公式.

解：因為 a1=2，an+1=an+n+1，所以an=an-1+（n-1）+1

an-1=an-2+（n-2）+1 … a2=a1+1+1

將以上各式相加得：

an=n-1+n-2+n-3+…+2+1+n+1

=■+n+1=■ +1

即 an=■ +1

題型二：型如an+1=f（n）an（其中數列{f（n）}是可求積的）的數列，可以選用累積法. 此法是等比數列的拓展，做法與推導等比數列求和公式的過程相似，它體現了高考題源于課本而高于課本的思想.

例2 已知數列{an}滿足a1=2，■=■.求數列{an}的通項公式.

分析：因為■=■ ， 符合題型二中數列的特征，故可以選用累積法，通過累乘前后項相消得到通項公式.

解：由題意，得■=■.

即■=■，…，■=■ ，■=■，

將以上各式相乘，得■=■×…×■×■=■，

即 an=a1×2n-1×n2=2nn2.

題型三：型如an+1=can+d（c，d為常數，c≠1，cd≠0）（一階線性遞推數列）的數列，可以選用待定系數法. 一階線性遞推數列里蘊含著一個等比數列，所以利用待定系數法能使問題很快得到解決.

例3 在數列{an}中，若an=1，an+1=2an+3（n≥1），求該數列的通項公式.

分析：因為an+1=2an+3（n≥1）符合題型三中數列的特征，故可以選用待定系數法.

解： 令an+1+x=2（an+x）（n≥1） ，則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意得 x=3.

故{an+3} 是以4為首項，2為公比的等比數列，

所以 an=2n+1-3.

例4 已知數列{an}中，a1=2，an+1=（■-1）（an+2），n=1，2，3… 求數列{an}的通項公式.

解： 令 an+1+x=（■-1）（an+x），（n≥1），則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意，得 x=-■，

故{an-■} 是以（2-■）為首項，（■-1）為公比的等比數列， 所以 an=1+■-（■-1）n.

總之，對于遞推數列的問題，主要是求數列的通項公式.要具體情況具體處理，但必須理解并掌握基本題型，并能將一些非基本題型經過適當的變形轉化為基本題型，然后用基本題型的常用方法處理.有時也要用到猜想方法獲得通項公式.筆者認為，掌握以上方法是解決遞推數列問題的關鍵.

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