淺談高中數學分析和解題能力的培養

張秀蘭

【摘要】 隨著新課標的要求和教育改革的深入，培養學生的分析能力和解題能力在高中數學教學中尤為重要。如何才能提高學生的數學分析和解題能力？本文作者結合多年的教學實踐，介紹了自己在分析和解題能力方面的培養幾點做法。

【關鍵詞】 解題能力 基礎知識 通性通法 建模 新題型

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2014）02-017-02

隨著新課標的要求和教育改革的深入，培養學生的分析能力和解題能力在高中數學教學中尤為重要。學生能夠把題作對，就必須具有分析和解決問題的能力，這種能力就是對陳述的材料能夠讀懂并進行分析，應用所學的數學知識解決問題，高考數學的命題原則是在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想和方法的考查，強調了綜合性。這就對考生分析和解決問題的能力提出了更高的要求，也使試卷的題型更新，更具有開放性.筆者就分析和解決問題能力的組成及培養談幾點芻見。

一、注重基礎知識形成，解題找好題目的切入點

學生把握好基礎知識能很好地幫助解題，但大部分學生會遇到一類問題，就是能看懂題目，但不知道怎么入手解題，這時審題必須找好題目的切入點。審題是對條件和問題進行全面認識，對與條件和問題有關的全部情況進行分析研究，發現隱含條件以及化簡、轉化已知和所求的能力。如果要快捷、準確在解決問題，那么基礎知識的形成，找好題目的切入點，分析題意，掌握題目的數形特點、能對條件或所求進行轉化和發現隱含條件是至關重要的。

例.已知e是自然對數的底數，函數f（x）=ex+x-2的零點為a，函數g（x）=1nx+x-2的零點為b，則下列不等式中成立的是（ ）

A. f（a）

C.f（1）<（a）

二、注重通性通法的培養，提高合理應用知識、思想、方法解決問題的能力

掌握好數學基礎知識是解題的根本，但具體問題中我們還是發現學生在解題方面有盲區，老師講解很容易聽懂，感覺會做，真正應用方面還是欠缺的，這就要求我們老師平時應注重數學通性通法的教學，只有注重通性通法的培養，才能提高合理應用知識、思想、方法解決問題的能力，使問題解決得更迅速、順暢。

例2.設函數f（x）=x-■-alnx（a∈R）.討論f（x）的單調性；

分析：這是求超越函數的單調性問題，遇到這類問題我們都會選擇求導的方法來解決，參數a的出現還須進行分類討論。

在上述的解答過程中可以看出，本題主要考查超越函數的單調性，不等式的解法、函數的單調性等基本知識，體現分類討論的數學思想方法。

三、注重數學建模能力培養，使學生不慌不亂解應用題

近幾年來，在高考數學試卷中，都有幾道實際應用問題，這給學生的分析和解決問題的能力提出了數學知識和臨場處理問題的挑戰.而數學建模能力是解決實際應用問題的重要途徑和核心，這要求學生注重生活中的數學，學會建模式來解決問題。

例3.某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為（2+■）x萬元。假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元。

（Ⅰ）試寫出y關于x的函數關系式；

（Ⅱ）當m=640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小？

解（Ⅰ）設需要新建n個橋墩，（n+1）x=m，即n=■-1

所以y=f（x）=256n+（n+1）（2+■）x=256（■-1）+■（2+■）x

=■+m■+2m-256.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=x■+■mx■=■（x■-512）.

令f′（x）=0，得x■=512，所以x=64

當0

當640.f（x）在區間（64，640）內為增函數，

所以f′（x）在x=64處取得最小值，此時，n=■-1=■-1=9.

故需新建9個橋墩才能使y最小。

在該題的解答中，學生有一定的數學建模能力，能正確解決此題。

四、注重進行開放題和新型題的訓練，拓寬學生的知識面

近幾年來，隨著新技術革命的飛速發展，要求數學教育培養出更高數學素質、具有更強的創造能力的人才，這一點體現在高考上就是一些新背景題、開放題的出現，更加注重了能力的考查。開放題的特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結論；新背景題的背景新，這樣給學生在意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩，導致失分率較高。

例4.設S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素a*b與之對應）。若對于任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不能成立的是

（A）（a*b）*a=a （B）[a*（b*a）]*（a*b）=a

（C）b*（b*b）=b （D）（a*b）*[b*（a*b）]=b

【命題意圖】在新情景下考查對元素意義的理解

【參考答案】A

【原題解析】用b代替題目給定的運算式中的a同時用a代替題目給定的運算式中的b我們不難知道B是正確的，用b代替題目給定的運算式中的a我們又可以導出選項C的結論，而用代替題目給定的運算式中的a我們也能得到D是正確的。

高考中的此類創新型題目，大多數具有高等數學背景，往往在題目中給出一種新關系或定義一種新運算，要求學生由此展開推理論證，解決這類問題的一般途徑就是深刻理解新關系和新運算的實質，搜索滿足題意的關系或考查提供的運算等式，獲得答案。拓寬學生的知識面是提高學生分析和解決問題能力的必要補充。

解題教學的目的并不單純為了求得問題的結果，真正的目的是為了提高學生分析和解決問題的能力，培養學生的創造精神，而這一教學目的恰恰主要通過回顧解題的教學來實現。所以，在數學教學中要十分重視解題的回顧，與學生一起對解題的結果和解法進行細致地分析，對解題的主要思想、關鍵因素和同一類型問題的解法進行概括，可以幫助學生從解題中總結出數學的基本思想和方法加以掌握，并將它們用到新的問題中去，成為以后分析和解決問題的有力武器。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 王麗高.中數學解題能力的組成與培養策略.《中學課程輔導》.

[2] 張衛國.例談高考應用題對能力的考查.《中學數學研究》.