數學高考中恒成立題型的剖析及對策

魏勇

【摘要】近年廣東高考數學試題形式多樣，解答題的難度區分度逐步拉大，旨在考查學生的知識掌握和運用能力。尤其是改革后的新課標下的高考考查越來越注重學生的綜合素質，恒成立問題便是一個考察學生綜合素質的很好途徑，它主要涉及到一次函數、二次函數等函數的性質、圖象，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用，其形式逐漸多樣化，但都與函數、導數知識密不可分。

【關鍵詞】創新意識 恒成立問題 數學思想 數形結合

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）12-0129-02

新課標下的高考數學逐步重視對學生知識掌握和運用的考查，因此，設計新題是選拔人才的必然要求。而且數學作為一門基礎學科，解題是它的一個核心環節，解題素養的高低，解題策略的優劣，將會直接反映到數學考試的成績上，它是評判一個學生數學學習的客觀標尺。在當下的高考環境中，不僅再是簡單的運用公式加以計算，而是需要學生能夠理解課堂中的知識結構，把知識的學習轉化為知識的掌握能力，而連續出現的恒成立題型就是一個對學生是否掌握的很好檢測。

本文通過對近幾年數學高考恒成立題型的分析、研究，選擇有效的方法和手段對恒成立題型的信息進行剖析研究，發現高考恒成立題型可以劃分成四類：①一次函數型；②二次函數型；③變量分離型；④直接根據函數的圖像。

一、一次函數型

對于比較熟悉的一次函數y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]內恒有f（x）>0，則根據函數的圖像（直線）可得上述結論等價于

（1） a>0f（m）>0或（2） a<0f（n）>0亦可合并成f（m）>0f（n）>0

同理，若在[m，n]內恒有f（x）<0，則有f（m）<0f（n）<0

例1：對于滿足|p|≤2的所有實數p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現了兩個字母：x及p，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內關于p的一次函數大于0恒成立的問題。

解：不等式即（x-1）p+x2-2x+1>0，設f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，則f（p）在[-2，2]上恒大于0，故有：

f（-2）>0f（2）>0即x2-4x+3>0x2-1>0解得：x>3或x<1x>1或x<-1

∴x<-1或x>3.

二、二次函數型

若二次函數y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，則有a>0△<0

若是二次函數在指定區間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數的分布知識求解。

例2：關于x的方程9x+（4+a）3x+4=0恒有解，求a的范圍。

分析：題目中出現了3x及9x，故可通過換元轉化成二次函數型求解。

解法1（利用韋達定理）：

設3x=t，則t>0.則原方程有解即方程t2+（4+a）t+4=0有正根。

∴△≥0x1+x2=-（4+a）x1·x2=4>0>0 即（4+a）2-16≥0a<-4 ∴ a≥0或a≤-8a<-4

解得a≤-8.

解法2（利用根與系數的分布知識）：

即要求t2+（4+a）t=0有正根。設f（x）= t2+（4+a）t+4.

（1）△=0，即（4+a）2-16=0，∴a=0或a=-8.

a=0時，f（x）=（t+2）2=0，得t=-2<0，不合題意；

a=-8時，f（x）=（t-2）2=0，得t=2>0，符合題意。

∴a=-8.

（2）△>0，即a<-8或a>0時，

∵f（0）=4>0，故只需對稱軸- >0，即a<-4.

∴a<-8

綜合可得a≤-8.

三、變量分離型

若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解。

例3：已知當x∈R時，不等式a+cos2x<5-4sinx+ 恒成立，求實數a的取值范圍。

分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（x∈R），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。

解：原不等式即：4sinx+cos2x< -a+5

要使上式恒成立，只需 -a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值問題。

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

∴ -a+5>3即 >a+2

上式等價于a-2≥05a-4≥05a-4>（a-2）2或a-2<05a-4≥0

解得 ≤a<8.

注：注意到題目中出現了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx換元成t，則可把原不等式轉化成關于t的二次函數類型。

四、直接根據圖像判斷

若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖像，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

例4：設f（x）= ，g（x）= x+1-a，若恒有f（x）≤g（x）成立，求實數a的取值范圍。

分析：在同一直角坐標系中作出f（x）及g（x） 的圖像

如圖所示，f（x）的圖像是半圓（x+2）2+y2=4（y≥0）

g（x）的圖像是平行的直線系4x-3y+3-3a=0。

要使f（x）≤g（x）恒成立，

則圓心（-2，0）到直線4x-3y+3-3a=0的距離滿足d= ≥2

解得a≤-5或a≥ （舍去）

例5：當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數，則左邊為二次函數，圖像是拋物線，右邊為常見的對數函數的圖像，故可以通過圖像求解。

解：設y1=（x-1）2，y2=logax，則y1的圖像為右圖所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），y11，并且必須也只需當x=2時y2的函數值大于等于y1的函數值。

故loga2>1，a>1，∴1

在與時俱進的時代理念下，高考數學的發展勢在必然。恒成立題型并不可怕，可怕的是面對恒成立題型我們卻無所作為。通過這篇文章，我自己感受到以下幾點：

（1）更新教學理念，激發有效課堂，注重通過多種形式與途徑在課堂中培養學生的數學思維；

（2）要拓寬視域，研究高考恒成立題型的題型、解法和走勢，從中摸索到一些規律性的東西來指導創新數學教學；

（3）要關注生活，將生活引入數學課堂，讓數學課堂關注生活問題，通過暗示、誘導、逆向啟發等多種手段訓練并培養學生運用數學知識解決生活問題的思維與能力。

參考文獻：

[1]霍洪亮.不等式恒成立問題的十種解法[J]數理化學習（高中版）2004，（1）：9-11.

[2]胡曉芬.含參數不等式恒成立的解法[J]數學通訊，2005，（20）：12.

[3]李海平，白慧鑫.高考真題匯編詳解[M].北京：西藏人民出版社，2012.

[4]蔡曄.高考數學[M].上海：龍門書局，2009.

[5]嚴軍.最新三年全國高考數學（理）試題分類解析命題趨勢與應試對策[M].北京：中國少兒出版社，2012.