簡單的線性規劃命題趨勢和突破方法

張亞飛

通過對歷年新課標全國卷以及考試大綱的分析，我們很容易發現高考對線性規劃的考查已經趨于穩定。預計2015年高考對本屆的考查仍將以對目標函數的最值或取值范圍的求解為主，題型以選擇題、填空題的形式出現，難度不大，分值約為5分，是考生的得分主陣地。

一、歷年考題

①2010年新課標全國卷文科11題。已知？荀ABCD的三個頂點為A（-1，2）、B（3，4）、C（4，-2），點（x，y）在？荀ABCD的內部，則z=2x-5y的取值范圍是（ ）：A.（-14，16）、B.（-14，20） 、C.（-12，18）、D.（-12，20）。②2011年新課標全國卷文科14題。若變量x、y滿足約束條件3？燮2x+y？燮96？燮x-y？燮9， 則z=x+2y的最小值為（ ）。③2012年新課標全國卷文科5題。已知正三角形ABC的頂點A（1，1）、B（1，3），頂點C在第一象限，如果點（x，y）在△ABC內部，那么，z=-x+y的取值范圍是（ ）：A.（1-■，2） 、B.（0，2） 、C.（■-1，2） 、D.（0，1+■）。④2013年新課標全國卷文科14題。設x、y滿足約束條件1？燮x？燮3-1？燮x-y？燮0，則z=2x-y的最大值為（ ）。⑤2014年新課標全國卷文科11題。設x、y滿足約束條件x+y？叟ax-y？燮-1，且z=x+ay的最小值為7，則a=（ ）：A.-5、B.3、 C.-5或3、D.5或-3.

二、試題分析

①2010年新課標全國卷文科11題，求z=2x-5y的取值范圍。②2011年新課標全國卷文科14題，求z=x+2y的最小值。③2012年新課標全國卷文科5題，求z=-x+y的取值范圍。④2013年新課標全國卷文科14題，求z=2x-y的最大值。⑤2014年新課標全國卷文科11題，求參數a的值。2010年、2012年考查的是目標函數的取值范圍，2011年、2013年考查的是目標函數的最值，2014年根據目標函數的最值確定參數的值。通過以上高考試題的分析不難看出，高考要求考生理解二元一次不等式組的幾何意義，能準確地畫出二元一次不等式組表示的平面區域，而后確定目標函數的最優解。

三、命題意圖

通過以上題目的解答，可以看出線性規劃問題一般有三種題型。一是求最值，常考類型包括z=ax+by，z=ax-by，z=（x-a）2+（y-b）2，z=■ ；二是求區域面積；三是知最優解情況或可行域情況確定參數的值或取值范圍。由此不難預測，對目標函數及參數的幾何意義的理解和應用仍將是2015年高考考察的重點，且有可能會加強與向量運算、概率的結合。因此，應給予充分重視。

四、突破辦法

解決線性規劃問題的主要方法是圖解法，利用圖解法解決線性規劃問題的一般步驟如下：

①作出可行域。可行域是不等式組表示的平面區域，是各個不等式所表示的平面區域的公共部分。具體方法是：將約束條件中的每一個等式當作等式，作出相應的直線，并確定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集。確定的方法是：直線定界，特殊點定域。即注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線。若直線不過原點，特殊點常選取原點，若直線過原點，則特殊點常選取（1，0）或（0，1），然后將特殊點代入到不等式中，如果滿足則特殊點所在區域就是不等式表示的區域，如果不滿足，則取另外半面。

解決線性規劃問題，關鍵步驟是在圖上完成的。所以，作圖應盡可能精確，圖上操作盡可能規范。

②作出目標函數值為零時對應的直線l0.

③在可行域內平行移動直線l0，從圖（圖略）中能判定問題有唯一最優解，或者有無窮最優解，或者無最優解。

④確定最優解，從而得到目標函數的最值。確定最優解時，若沒有特殊要求，一般為邊界交點。若實際問題要求的最優解是整數解，若我們利用圖解法得到的解為非整數解，應做適當調整，其方式應以與線性目標函數直線的距離為依據，在直線附近尋求與直線距離最近的整點，但必須在可行域內尋找。同時，考慮到作圖畢竟還是會有誤差，假若圖上的最優點并不明顯易辨時，不妨將幾個有可能是最優點的坐標都求出來，然后注意檢查，以“驗明正身”。

總之，解決線性規劃問題首先要找到可行域，注意目標函數所表示的幾何意義，然后數形結合找到目標函數達到最值時可行域的頂點（或邊界上的點），代入目標函數中，求出對應的最優解。

（河南省洛陽市新安縣教師進修學校）