例談如何在解題教學中反思和總結

陳光耀

【摘要】解題教學是高中數學教學中不可缺少的一部分，如何來提高解題教學的質量，在解題教學中提高學生們的能力，是高中數學教師所面臨的共同問題.解題教學的質量關系著整個課堂的教學質量.教師們必須重視解題教學的方法，特別是在解題教學中的反思和總結.

【關鍵詞】高中數學；課堂教學；解題教學；反思策略

在高中數學的教學中，解題教學是一個重要的組成部分，特別是在復習階段，解題作為復習的一種重要的教學方式，是實現教學目的、鞏固學生們的數學知識的重要途徑和方法.在解題課堂中，通常都是講解一些典型的例題來引導學生們掌握方法，實現知識的遷移，舉一反三，學會解決各類問題.如果在講解某道題后而不懂得反思和總結，那么，這樣的教學效率是非常低的，學生們遇到其他問題還是找不到方法.因此，在解題教學中反思和總結是非常有必要的，這才是培養學生們解決問題的能力的一種有效方式.在解題教學中，我們又該如何來反思呢？反思和總結要達到怎么樣的目的呢？下面我們就用一些例題來簡要說明.

一、反思問題的特殊性，總結問題的一般性

在實際的題目中，不同的題目都有不同的條件，每一道題都是一種特殊情形下的問題.在解題教學中，講題還要注重從問題的特殊性出發，通過分析條件和結論，總結出一種一般性的方法和結論.這樣才能學會舉一反三，獲得新的發現.

例1 如圖所示，設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，兩直線的斜率的乘積為-49，求點M的軌跡方程.

這是一道教材上的例題，學生們通過分析和求解，很容易就得到了該點的軌跡方程.教師對學生們進行適當的引導，讓學生們反思題目中的特殊性，通過探究和概括，得出了橢圓x2a2+y2b2=1的長軸兩端點與其他任意點連線的斜率之積為一個定值，該定值就是-b2a2，這就是一個從特殊到一般的過程.但這個結論還能再繼續推廣嗎？還能適用范圍更廣、更一般性的結論嗎？教師再對學生們進行引導，組織學生們進行探究，把結論推廣到了橢圓x2a2+y2b2=1上任何關于橢圓中心對稱的兩點A和B與其他任意點M的連線的斜率之積為定值-b2a2.像這樣，通過例題的特殊性，拓展到知識的一般性.如果在教學中都能這樣去反思、嘗試和總結，那么學生們解決問題的能力將會有很大的提高.

二、反思題目中的關鍵點，學會創造性地解題

數學知識之間是充滿聯系的，在教學中，教師應該抓住一切的聯系關鍵點來進行發散和轉化，引導學生們通過知識之間的聯系和轉化發散思維，從一種方法到另一種方法，從一類題型到另一類題型，學會反思題目中的一些關鍵聯系，才能發揮出學生們的創造性，在教學中應學會反思，才能找到最巧妙的解題方法，創造性地解決問題.

例2 直線xa+yb=1通過點Mcosα，sinα，則（ ）.

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1

在這道題中，很多學生的解題思路都是先把點M代入到直線方程中，再思考下一步，根據等式中正、余弦，可以想到用輔助角公式合并化簡求解.這是最常見的一種方法，也是大部分學生都能想到的.部分學生也能抓住題中的一些關鍵，聯想到單位圓的解題思路，設點M是單位圓x2+y2=1上的點，再把題目轉化成直線與圓的位置關系問題.通過教師的指點和引導，讓學生們從選項的關鍵之處入手，聯想到柯西不等式，將正、余弦和參數a，b分離，同樣也可以得出答案.只有積極地去反思，才能抓住題目中的關鍵之處，用不同的方法來解決問題.

三、反思題目間的通性，領悟解題的規律

解題教學中能講解的題目是非常有限的，學生們再怎么刻苦，所練習的題目也是非常有限的，要從根本上提高解題的能力，靠多講多練顯然是行不通的，關鍵還是要能夠從解題的過程中，反思題目之間的通性，領悟到解題的規律，形成一種正確的解題意識.有了這種意識，才能讓學生們面對千變萬化的題目而不慌亂，找準了方法就一定能解決問題.

例3 （1）已知函數f（x）=lnx-x+1，x∈0，+∞，那么，求函數f（x）的最大值.

（2）設ak，bk（k=1，2，…，n）均為正數，試證明：

①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，則ab11ab22…abnn≤1.

②若b1+b2+…+bn=1，則1n≤bb11bb22…bbnn≤b21+b22+…+b2n.

下面再看一道例題：

例4 已知m，n為正整數.

（1）試用數學歸納法證明：當x>-1時，（1+x）m≥1+mx；

（2）如果n≥6，且1-1n+3n<12，求證：1-mn+3n<12n，m=1，2，…，n；

（3）求出滿足等式3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）m的所有正整數n.

在課堂中，我拿出了上面兩道例題，并把班上的同學分成兩組，兩組同學分別做一道例題，在完成了本組的這道題后，可以去做另外一道題.等同學們都差不多做完了再進行統計，根據完成的情況，發現了兩組學生有很明顯的差異.先做例3再做例4的這組學生完成的情況明顯要比另一組差，這組學生兩題都做對的很少，而另一組兩題都做對的明顯多一些.學生們做的都是這樣的兩道題目，僅僅就是因為做題的先后順序不同就導致了明顯的差異.原因就在于先做例4的這一組可以先從簡單的做起，由于這兩道題目的方法是相通的，學生通過做簡單題領悟到其中的方法，再把方法運用到相同類型的例3中，實現了知識和方法的遷移.因此，教學中更加要注重培養學生們理解和接受新知識的能力，學會把已有的方法運用到其他問題中.

總之，解題教學的過程不僅僅是解決某個問題，還是增長學生們的解題能力，拓展學生的思維能力的重要途徑.在解題中能夠積極反思和總結，對提高學生們的數學能力更是有非常大的幫助，教師一定要堅持用正確的方法和步驟實現這個過程，培養學生們自覺反思和總結的好習慣.