“數形結合”的教學理解及實踐詮釋

“數形結合”一詞正式出現在華羅庚先生于1964年1月撰寫的《談談與蜂房結構有關數學問題》的科普小冊子中，書中有一首小詞：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！”自此，“數形結合”成為教學關注熱點。如何把握“數形結合”內涵，優化課堂教學結構，培養學生數學素養，下面來談談本人的實踐體會。

一、“數形結合”的思想內涵

數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學。“數量關系”常看作“數”，進一步擴展為“抽象”的、“形式化”的數學對象，如代數中的一切內容包括數、式、方程、函數、不等式等。“空間形式”常看作“形”，進一步擴展為數學中“有形”的、“可視”的東西，如圖形、圖像、曲線等。“數”構成了數學的抽象化符號語言，“形”構成了數學的直觀化圖形語言。“數”與“形”各有優勢，數學上常利用兩者的優勢互補來解決問題，這就是人們所熟悉的“數形結合思想方法”。

二、“數形結合”的理性認識

從教育學、心理學的角度來看，小學生天真活潑，對學習充滿了好奇與想象，他們學習的積極性很高，但由于心理和年齡的特點，學習中注意力維持較短，自控能力較弱。所以在學習中更需要生動的情境，直觀鮮明的操作，才能促進學習的可持續性。而“數形結合”正好提供這樣的學習方式，借助圖形，把純文字的數學問題變得直觀明了，其中的數量關系基于圖形也便于學生理解。從數學學科的角度來看，“數”與“形”是數學研究的兩個基本對象，利用“數形結合”方法能使“數”和“形”統一起來，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數”、運用“數”與“式”來細致、入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長補短，從而順利、有效地解決問題。從兒童的思維特點來看，小學生的思維是從具體形象思維為主要形式逐步向抽象邏輯思維過渡，但這時的邏輯思維是初步的，且在很大程度上仍具有具體形象性。“數形結合”充分融合了“抽象”和“具體”、“運算”和“邏輯”，使需要較大思維空間的“抽象思維”轉化為需要較小思維空間的“形象思維”。通過“圖形”的呈現，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現抽象與具體形象、表象的聯系和轉化，化抽象為直觀，以形助數，使得問題解決。

此外，《義務教育數學課程標準（2011版）》中指出像“數形結合”這樣重要的內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認知過程，逐步理解和掌握的。張景中教授還從數學美的角度指出，形與數的結合，還提供了數學之美的欣賞機會。

三、“數形結合”對提升數學思維的價值體現

根據思維的憑借物和解決問題的方式，可以把思維分為直觀動作思維、具體形象思維和抽象邏輯思維。“數形結合”對小學生思維發展起著重要作用。

首先，“數形結合”有利于直觀動作思維的提高。直觀動作思維又稱實踐思維，是憑借直接感知，伴隨實際動作進行的思維活動。兒童的思維活動往往是在實際操作中，借助觸摸、擺弄物體而產生和進行的。“數形結合”有效地促進了孩子們的動手操作，使手、眼、腦協調運作，思維不斷提升。其次，“數形結合”有利于具體形象思維的提高。具體形象思維是運用已有表象進行的思維活動。表象便是這類思維的支柱，“數形結合”使得教學更加直觀形象，較好為學生提供足夠的感性材料，讓學生調動多種感官充分感知，豐富了學生的表象儲備，提高了表象的概括力。再次，“數形結合”有利于抽象邏輯思維的提高。表象是形象思維的“細胞”，又是過渡到抽象思維的“橋梁”。抽象邏輯思維是以概念、判斷、推理的形式達到對事物的本質特性和內在聯系認識的思維。

四、“數形結合”在課堂教學中的實踐意義

“數形結合”不僅是數學上重要的思想方法，更是發展學生思維能力的有效教學策略。教學中應用“數形結合”將大大增強課堂教學的生動性，有效性，培養學生的理性思考，全面提升學生的數學素養。形結合，把握數學本質，使概念認知形象直觀。數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式。正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想像能力的前提。

對小學生而言，數學概念的學習是枯燥的，掌握也是很困難的，因此在小學數學的學習，數形結合成為必要，例如我在教學“分數的初步認識”時，對分數的理解每一步都是借助“形”的支撐。先是在直觀的圖面“分蛋糕”中，讓學生感受到分數這一概念產生的需要。接著讓學生對一個圖形“長方形”的操作中，形象感知1/2的由來。緊接著讓學生自由去對一個圖形操作，去創造一個幾個之一，并且再讓學生通過比較，得出對分數概念的初步認識，把一個圖形平均分成幾份，每一份就是它的幾分之一。同樣在幾分之一的比較中也是結合圖形的呈現，讓學生很容易看出同一個物品，平均分得份數越多，每一份就越小。

數形結合，化解教學難點，使知識呈現由淺入深。“數形結合”不僅是一種數學思想，也是一種很好的解決問題的方法。在小學生數學學習的過程中，對于一些難以理解和掌握的數學知識，教師可以充分利用“形”來幫助學生理解，使得數學知識形象、直觀，使得知識呈現由淺入深。如特級教師徐斌老師在執教“9加幾”時，“湊十法”是教學的重點，如何合理把一個數分拆進行湊十這是教學的難點。徐老師出于這樣的思考，在教學9加4時，徐老師把鮮明的具有數學結構的桃子圖張貼在黑板上，學生借助這樣的“形”，很容易想到從右邊4個桃子中取一個放到左邊的盒子里，這樣左邊盒子滿了，正好是10個。并讓學生上臺演示可移動教具，邊逐步對應板書，不斷追問學生：為什么從4里面先拿1個放盒子里？那么，剛才我們先算什么？再算什么？學生很快得出：先算9加1得10，再算10加3得13。

數形結合，厘清數量關系，使數學方法理解深刻。數學教學應試關注數量關系，尤其是在解決問題的過程中，讓學生厘清數量關系，這對提高解決問題的方法尤為重要。在教學中，教師可以通過形數結合的訓練，讓學生在解決問題時能自覺想到數形結合，能夠去畫一畫線段圖、示意圖，或者是在腦海里去想像一下相關情境來幫助解決問題。在數形結合中強化數形對應，把復雜的問題簡單化、明朗化。把抽象的問題具體化、形象化。顯然，形象化的圖形表達了抽象化的數量關系，為學生在實際問題與算式之間，在分析數量關系與解決問題之間架設了一座“橋梁”。長此以往，學生分析比較、綜合運用知識解決問題的能力必然大大提高。

數形結合，探索數學規律，使學習過程生動活潑。數學學習過程不僅是一個接受知識、積累知識的過程，也是一個探索知識、創造知識的過程。運用數形結合，有助于學生探索數學規律，讓學生經歷一個生動活潑的探索、思考過程。如教學“解決問題的策略：轉化”時，如何讓學生感受到數形結合在計算中的價值時，我出示了這樣一道計算題：1/2+1/4+1/8+1/16。我適時引導學生用畫圖的方法去思考，用一個正方形表示數量“1”，然后依次在圖中表示出1/2、1/4、1/8和1/16，這下學生的思維一下子得到啟發，馬上想到這四個數的和其實就是涂色部份，而涂色部分恰好可以轉化成1與空白部份1/16的差，所以可以直接列出算式1-1/16。

綜上所述，我們要充分明確“數形結合”的內涵與價值，在數學教學中，應用“數形結合”就能給學生提供形象生動的學習材料，就可以將抽象的數學知識變得生動起來，就能培養學生良好的解決問題的能力，必將使數學教學走向有效、深刻！

參考文獻

[1] 林崇德.智力發展與數學學習[M].北京：中國輕工業出版社，2011.12

[2] 徐斌.無痕教育[M].北京：首都師范大學出版社，2011.7

[3] 邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.9

[4] 義務教育數學課程標準（2011版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.1

[5] 張景中.感受小學數學思想的力量[J].人民教育，2007，（18）

[6] 徐超七.淺析如何在小學數學教學中滲透數形結合的思想[J].新課程（教研），2011，（8）