一道高考題引發的課后反思

李素文

一、出示題目，激發思考

題目1.（2011年江西14）若橢圓■+■=1的焦點在x軸上，過點P（1，■）作圓x2+y2=1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是________________。

看到題目，學生思維靈活，提出了多種求解思路。學生1提出，

思路一：要得到橢圓的方程，只需求得直線AB的方程。借助圖形，可得x=1為圓的一條切線，進而可得A的坐標（1，0）。問題進一步轉化為，只需求出B點的坐標，利用點斜式方程設出直線PB的方程：y=k（x-1）+■，根據原點到直線PB的距離等于半徑1，找到kPB，進而聯立直線PB的方程和圓的方程，求出B的坐標。

解法（略）。

學生普遍認為這種方法比較繁瑣，因而學生2進行了優化，過程如下：

思路二：設B（x0，y0），利用kPB·kOB=-1，進而列式■·■=-1x20+y20=1，求得B點的坐標。

按這種方式解決問題，步驟上會簡化些，但畢竟要解二元二次方程組，學生覺得仍然麻煩。于是學生3提出如下思路：

思路三：先求∠AOP的正切值為■，利用二倍角公式求tan∠AOB=■，設B（x0，y0），得到■=■，聯立■=■x20+y20=1，求得出B的坐標。

雖然學生3的計算較之學生2，已經簡潔不少，但始終擺脫不了解二元二次方程組。于是，我啟發學生，求直線AB的方程，除了我們在直線的方程一節中講到的知識，結合題目，想想還有沒有別的方法求直線的方程？

學生4想到圓與圓的交線，于是就有如下的方法：

思路四：分析可知直線AB為圓x2+y2=1與以（1，■）為圓心， ■為半徑的圓的公共弦.由（x-1）2+（y-■）2=■與x2+y2=1相減得直線AB方程為：2x+y-2=0.令x=0，解得y=2，∴b=2，又c=1，∴a2=5，故所求橢圓方程為：■+■=1.

學生4的方法借助于數形結合，不只停留在利用兩點，一點和斜率求直線的方程的層次上，而是聯系與之相關的圓的知識解決問題，很簡潔地解決了問題。

二、課后反思，引發思考

課后，對于這節課我又重新進行了思考，學生為什么一看到求直線的方程，就采用直線的五種基本形式去做？為什么思路不夠開闊？我認真地想想，首先說明學生對于用直線的五種形式掌握得非常好，同時，學生的能力相對來說比較差。人的思維依賴于必要的知識和經驗，數學知識正是數學解題思維活動的出發點與憑借。豐富的知識并加以優化的結構，能為題意的本質理解與思路的迅速尋找創造成功的條件。

另外，我想到，2012年-2013年第二學期期初檢測試卷中附加題23（1）。

題目2.設拋物線C的方程為x2=4y，M為直線l：y=-m（m>0）上任意一點，過M點作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為 A，B.當m=3時，求證：直線AB橫過定點。

分析：此題本質是求出直線AB的方程，然后再來尋找過的定點。當時解決的方法就是設而不求地方法。對于過拋物線外一點作拋物線的切線，求兩切點確定的直線的方程，我們針對拋物線 x2=2py（p>0）來推導，得到一般性的結論。

結論1：過拋物線x2=2py（p>0）外的一點M（x0，y0）作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為xx0=p（y+y0）。

證：設A（x1，y1），B（x2，y2）∴x12=2py1，x22=2py2，y∵=■x2，∴y′=■x直線MA的方程為：y-y1=■x1（x-x1），直線MB的方程為：y-y2=■x2（x-x2）.∵點M（x0，y0）在直線MA、直線MB上，∴y0-y1=■x1（x0-x1），∴y0-y2=■x2（x0-x2），∴y1-■x1x0+y0=0，y2-■x2x0+y0=0，

∵（x1，y1）（x2，y2）同時滿足方程，∴y-■xx0+y0=0，

∴直線AB的方程為：xx0=p（y+y0）。

這種方法設出A，B點的坐標，變量很多，但是我們在做此題的過程中，采用設而不求的方法，得到直線MA、直線MB方程，再利用兩式結構上的一致性，從而求出直線AB的方程。

那么過平面外一點作圓的切線，求兩切點確定的直線的方程，能否也可以利用設而不求的方法呢？

題目3.過圓O：x2+y2=r2外的一點M（x0，y0）作圓O的切線，切點分別為A，B，求直線AB的方程。

解：設A（x1，y1），B（x2，y2），∴x12+y12=r2，x22+y22=r2，則直線MA的方程為：x1x+y1y=r2，直線MB的方程為：x2x+y2y=r2，

∵點M（x0，y0）在直線MA、直線MB上，

∴x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2

∵（x1，y1），（x2，y2）同時滿足方程：xx0+yy0=r2，

直線AB的方程為：xx0+yy0=r2.

由此推廣得到

結論2：過圓O：（x-a）2+（y-b）2=r2外的一點M（x0，y0）作圓O的切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為：（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2.

三、思考總結，形成結論

實際上，上述結論對圓錐曲線也成立：

（1）設P（x0，y0）是橢圓C：■+■=1（a>b>0）外一點，過點P作橢圓C的切線，切點分別為A、B，則直線AB的方程為■+■=1；

（2）設P（x0，y0）是雙曲線C：■-■=1（a>b>0）外一點，過點P作雙曲線C的切線，切點分別為A、B，則直線AB的方程為■-■=1；

③設P（x0，y0）是拋物線C：y2=2px（p>0）外一點，過點P作拋物線C的切線，切點分別為A、B，則直線AB的方程為yy0=p（x+x0）。

（作者單位 江蘇省南京市程橋高級中學）

？誗編輯 李燕燕