抽屜原理的應(yīng)用

許強(qiáng)

摘 要：根據(jù)抽屜原理，在運(yùn)用抽屜原理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)不同構(gòu)造抽屜的方法進(jìn)行了總結(jié)、歸納，以及詳細(xì)的分類。

關(guān)鍵詞：歸納；應(yīng)用；抽屜原理

Abstract：Based drawer principle，the principle of solving practical problems in the user of a drawer，the drawer of a different tectonic summary summarized，and a detailed breakdown.

Key words：induction；using；principle of drawer.

中圖分類：O165

一、基本原理

抽屜原理是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原理，這個(gè)原理可以用一個(gè)常識(shí)性事實(shí)來(lái)說(shuō)明。即：如果蘋果的數(shù)目大于抽屜的數(shù)目，則一定有某個(gè)抽屜至少放入了兩個(gè)蘋果。正是這個(gè)簡(jiǎn)單的原理，可以幫助我們解決不少?gòu)?fù)雜的、趣味的、富有挑戰(zhàn)的問(wèn)題。我們先來(lái)看它的命題和相關(guān)原理。

引理1：把n+1個(gè)物體分成n個(gè)組，那么至少有一個(gè)組里含有不少于兩個(gè)物體。

上面這個(gè)原理便是著名的抽屜原理，又名鴿巢原理，或狄得克雷原理。下面是由抽屜原理推廣得出的命題。

引理2：把m（m≥1）個(gè)物體分成n（n

引理3：（抽屜原則1）把m個(gè)物體，分別放入在n只抽屜里（n

k=■（當(dāng)n■m）■+1（當(dāng)n不整除m時(shí)）

式中，■表示不超過(guò)■的最大整數(shù)。

引理4：（抽屜原則2）設(shè)m1，m2，…，mn都是正整數(shù)，并有m1+m2+…+mn-n+1個(gè)物體放進(jìn)n個(gè)抽屜里，則第一個(gè)抽屜里至少有m1個(gè)物體，或第二個(gè)抽屜里至少有m2個(gè)物體……或第n個(gè)抽屜里至少有mn個(gè)物體，至少其中之一成立。

引理5：（廣抽屜原則）把無(wú)窮多個(gè)元素的集合按任一確定的方式分成有限個(gè)子集合，必定至少有一個(gè)子集合包含有無(wú)窮多個(gè)元素。

二、抽屜原理在實(shí)際中的應(yīng)用

運(yùn)用抽屜原理解題，首先要搞清需要對(duì)哪些元素進(jìn)行分類，其次要找出分類規(guī)則，最后應(yīng)用抽屜原理得出結(jié)論。這里關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜，現(xiàn)在我們看一下構(gòu)造抽屜的基本技巧和方法。

1.分割圖形造抽屜

例1.在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任給5個(gè)點(diǎn)，試證，其中必有兩個(gè)點(diǎn)，他們之間距離不大于■。

證明：由題意分析，應(yīng)設(shè)法把正方形分成四個(gè)“抽屜”，并且每個(gè)抽屜中任意兩點(diǎn)的最大距離不超過(guò)■。根據(jù)上述兩點(diǎn)，我們選擇單位正方形分成四個(gè)邊長(zhǎng)為■的小正方形的辦法來(lái)構(gòu)造抽屜。由抽屜原理知，至少有一個(gè)小正方形內(nèi)至少有兩個(gè)點(diǎn)，又因?yàn)樾≌叫蝺?nèi)任意兩點(diǎn)的距離不大于■，所以命題得證。

2.對(duì)整數(shù)集合分類造抽屜

例2.對(duì)任意的1997個(gè)自然數(shù)a1，a2，…，a1997，中，總可以找到其中若干個(gè)數(shù)使他們的和是1997的倍數(shù)。

證明：考察a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+…+a1997這1997個(gè)數(shù)，他們被1997除后的余數(shù)至多有0，1，2，…，1996這1997個(gè)類。

（1）若余數(shù)中有某個(gè)為0，問(wèn)題顯然是獲證。

（2）若其中之一沒有余數(shù)為0時(shí)，問(wèn)題變?yōu)?997個(gè)數(shù)歸入1996個(gè)類：“余1類”，“余2類”，…，“余1996類”。至少有兩個(gè)數(shù)屬于同一類。不妨設(shè)兩個(gè)數(shù)為a1+a2+…+am與a1+a2+…+am+am+1+…+ak（m

3.使用數(shù)偶造抽屜

例3.在坐標(biāo)平面上，任意取5個(gè)整點(diǎn)，其中一定存在兩個(gè)整點(diǎn)，他們的連線中心仍是整點(diǎn)。

證明：平面上整點(diǎn)的坐標(biāo)是有序整數(shù)對(duì)（x，y），對(duì)其按整數(shù)奇偶性分類，一共有四類，即：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），這樣就造成了四只“抽屜”。五個(gè)整點(diǎn)的坐標(biāo)與四個(gè)抽屜對(duì)照，至少有兩個(gè)坐標(biāo)奇偶性相同。不妨設(shè)這兩個(gè)整點(diǎn)是A1（x1，y1），A2（x1，y1），由于x1與x2，y1與y2的奇偶性相同，所以■，■均為整數(shù)，即線段A1A2的中點(diǎn)（■，■）是一個(gè)整點(diǎn)。

4.依對(duì)象的狀態(tài)進(jìn)行分類構(gòu)造抽屜

例4.圍著一張可轉(zhuǎn)動(dòng)的圓桌，均勻地放10把椅子。在桌上對(duì)著椅子放著10人的名片，當(dāng)10人隨意入座后，發(fā)現(xiàn)誰(shuí)都沒有對(duì)上自己的名片。求證：適合地轉(zhuǎn)動(dòng)桌子，至少能使兩人對(duì)上自己的名片。

證明：將桌子按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)36°就得到一種名片與人對(duì)應(yīng)的狀態(tài)?？傆?jì)有10種不同狀態(tài)。在這10種狀態(tài)中，每人都有一次機(jī)會(huì)對(duì)著自己的名片，即人與自己的名片共有10次對(duì)號(hào)。由于最初的狀態(tài)里，誰(shuí)都沒有與自己的名片對(duì)上號(hào)。即人與自己名片對(duì)上10次是分布在9個(gè)狀態(tài)里，故必有一個(gè)狀態(tài)，至少有兩人與名片對(duì)上號(hào)。

5.特殊抽屜構(gòu)造方法

例5.在100個(gè)連續(xù)自然數(shù)1，2，…，99，100中，任取51個(gè)數(shù)。試證明：在51個(gè)數(shù)中一定有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)倍數(shù)。

證明：一個(gè)正整數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶