抽屜原理的應用

許強

摘 要：根據抽屜原理，在運用抽屜原理解決實際問題時，對不同構造抽屜的方法進行了總結、歸納，以及詳細的分類。

關鍵詞：歸納；應用；抽屜原理

Abstract：Based drawer principle，the principle of solving practical problems in the user of a drawer，the drawer of a different tectonic summary summarized，and a detailed breakdown.

Key words：induction；using；principle of drawer.

中圖分類：O165

一、基本原理

抽屜原理是數學中的一個重要原理，這個原理可以用一個常識性事實來說明。即：如果蘋果的數目大于抽屜的數目，則一定有某個抽屜至少放入了兩個蘋果。正是這個簡單的原理，可以幫助我們解決不少復雜的、趣味的、富有挑戰的問題。我們先來看它的命題和相關原理。

引理1：把n+1個物體分成n個組，那么至少有一個組里含有不少于兩個物體。

上面這個原理便是著名的抽屜原理，又名鴿巢原理，或狄得克雷原理。下面是由抽屜原理推廣得出的命題。

引理2：把m（m≥1）個物體分成n（n

引理3：（抽屜原則1）把m個物體，分別放入在n只抽屜里（n

k=■（當n■m）■+1（當n不整除m時）

式中，■表示不超過■的最大整數。

引理4：（抽屜原則2）設m1，m2，…，mn都是正整數，并有m1+m2+…+mn-n+1個物體放進n個抽屜里，則第一個抽屜里至少有m1個物體，或第二個抽屜里至少有m2個物體……或第n個抽屜里至少有mn個物體，至少其中之一成立。

引理5：（廣抽屜原則）把無窮多個元素的集合按任一確定的方式分成有限個子集合，必定至少有一個子集合包含有無窮多個元素。

二、抽屜原理在實際中的應用

運用抽屜原理解題，首先要搞清需要對哪些元素進行分類，其次要找出分類規則，最后應用抽屜原理得出結論。這里關鍵是構造抽屜，現在我們看一下構造抽屜的基本技巧和方法。

1.分割圖形造抽屜

例1.在邊長為1的正方形內任給5個點，試證，其中必有兩個點，他們之間距離不大于■。

證明：由題意分析，應設法把正方形分成四個“抽屜”，并且每個抽屜中任意兩點的最大距離不超過■。根據上述兩點，我們選擇單位正方形分成四個邊長為■的小正方形的辦法來構造抽屜。由抽屜原理知，至少有一個小正方形內至少有兩個點，又因為小正方形內任意兩點的距離不大于■，所以命題得證。

2.對整數集合分類造抽屜

例2.對任意的1997個自然數a1，a2，…，a1997，中，總可以找到其中若干個數使他們的和是1997的倍數。

證明：考察a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+…+a1997這1997個數，他們被1997除后的余數至多有0，1，2，…，1996這1997個類。

（1）若余數中有某個為0，問題顯然是獲證。

（2）若其中之一沒有余數為0時，問題變為1997個數歸入1996個類：“余1類”，“余2類”，…，“余1996類”。至少有兩個數屬于同一類。不妨設兩個數為a1+a2+…+am與a1+a2+…+am+am+1+…+ak（m

3.使用數偶造抽屜

例3.在坐標平面上，任意取5個整點，其中一定存在兩個整點，他們的連線中心仍是整點。

證明：平面上整點的坐標是有序整數對（x，y），對其按整數奇偶性分類，一共有四類，即：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），這樣就造成了四只“抽屜”。五個整點的坐標與四個抽屜對照，至少有兩個坐標奇偶性相同。不妨設這兩個整點是A1（x1，y1），A2（x1，y1），由于x1與x2，y1與y2的奇偶性相同，所以■，■均為整數，即線段A1A2的中點（■，■）是一個整點。

4.依對象的狀態進行分類構造抽屜

例4.圍著一張可轉動的圓桌，均勻地放10把椅子。在桌上對著椅子放著10人的名片，當10人隨意入座后，發現誰都沒有對上自己的名片。求證：適合地轉動桌子，至少能使兩人對上自己的名片。

證明：將桌子按逆時針旋轉，每轉36°就得到一種名片與人對應的狀態。總計有10種不同狀態。在這10種狀態中，每人都有一次機會對著自己的名片，即人與自己的名片共有10次對號。由于最初的狀態里，誰都沒有與自己的名片對上號。即人與自己名片對上10次是分布在9個狀態里，故必有一個狀態，至少有兩人與名片對上號。

5.特殊抽屜構造方法

例5.在100個連續自然數1，2，…，99，100中，任取51個數。試證明：在51個數中一定有兩個數，其中一個是另一個倍數。

證明：一個正整數要么是奇數，要么是偶