數學知識呈現方式的思考與實踐

陸吉杭

摘 要：隨著新課程研究的深入，數學知識材料的呈現在知識表征和課堂組織中的作用越來越突出，也顯示了越來越重要的理論與實踐價值。在實際課堂教學中，只是數學知識的簡單堆砌，缺少最重要的學生自我思維的展開與同化過程；有必要對“優化知識呈現方式”進行內涵思考，追求“知識呈現方式”的效度。在實踐過程中，通過“塊狀式”“串聯式”“開放式”“布白式”等方式呈現過程形態的學習材料。在平時的課堂教學中，教師如果能根據自身的特點，采納這些實踐策略進行嘗試與落實，定能實現數學知識呈現的實際有效性，更要關注到課堂教學的內涵，關注到學生在課堂上的思維參與度，極大地促進學生的全面發展。

關鍵詞：數學教學；呈現方式；思考總結一、問題的提出

隨著新課程研究的深入，數學知識的呈現在知識表征和課堂組織中的作用越來越突出。數學知識的呈現在小學數學教與學的過程中，尤其是在新課程改革的時代背景以及當前數學教學形式化傾向嚴重的現實背景下，其意義顯得更為重要。

數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學，它不僅是一種工具，也是一種思維模式；不僅是一種知識，也是一種素養。數學是具有較強概括性、高度抽象性和嚴密邏輯性的。因此，數學知識的呈現對于數學學習而言，更具有針對性和現實性，因為概括性的數學需要以學習材料的呈現來實現有效表達；抽象性的數學需要以學習材料的呈現來實現具體化；邏輯性的數學需要以學習材料的呈現來體現程序化。借數學知識呈現的實驗與研究，可以實現課堂教學活動的實際有效性，更關注到課堂的內涵，關注到學生在課堂上的思維參與度。

在一次教研課中，經歷了如下一幕：

【案例1】“圓的認識”教學片段：

教學圓的認識時，在網絡環境下利用CAI課件輔助教學。學生在教師的引導下，點擊網頁上的相關鏈接，進入各部分學習內容，進行觀察、討論，學習本課知識。

屏幕上顯示大小不同的圓形物體（鐘面、車輪、交通標志、呼啦圈等），教師指導學生點擊鼠標，讓每個圖形變成大小不同的圓。

學生點擊“圓的形成過程”，屏幕展示圓形成過程的動畫：一只小狗脖子上系著一根繩子拴在木樁上，小狗叫著繞木樁跑一周回到起點，小狗跑動的軌跡就是圓。

學習用圓規畫圓的方法。學生點擊，電腦動畫演示圓規畫圓的過程，一腳固定，一腳旋轉。然后，學生自己嘗試畫圖。

認識圓的各部分名稱后，電腦動態展示圓的各部分：圓心、直徑、半徑，并通過動畫演示直徑、半徑的條數和兩者的關系。

從以上案例可以看出，執教者著力于呈現大量生動形象、具體的感知素材，精心設計制作了課件，期待能調動學生的各種感觀參與學習，從而有效地認識圓，發現圓的相關知識。可是仔細琢磨，我們卻不難發現，教師呈現的許多學習材料，只是一種“簡單堆砌”，沒有能夠發揮更徹底的作用。學生只是在教師的指令下，一步一步被動地去打開學習材料，接受計算機的變相灌輸。表面上，學生在短時間里獲得了較多的知識，而實質上正是在學生最需要動腦思考的時候，缺少了最重要的自我思維的展開與同化過程，這種披上了“高科技”外衣的知識所帶來的負面影響與灌輸式教學并無差異。一句話，不是僅僅呈現了“學習材料”就可以的，還應有豐富的能力要素。

二、優化知識呈現方式的實踐

“優化知識呈現方式”著力于教師的教學行為，但是以學生的最終學習效果為歸宿。學習材料呈現的過程是圍繞著教師的教學理念、學習材料的結構特點以及學生的主動建構情況不斷展開的教學活動過程。學習材料的呈現需要教師充分運用其先進課程觀和教學觀，對學習材料的知識結構、學生學習的過程和經歷進行分析、解讀，更要在課堂教學過程中，發揮出教師的經驗和智慧，以期待學習材料呈現的更大效果。

1.“塊狀”式呈現

“塊狀”方式是指“把教科書中以橫向的‘點為單位的符號系統，按其內在的類特征組成一個整體?！边@種結構加工比較強調類知識結構間的橫向關聯性，因為某一類事物在被認識的過程中蘊涵相同的思維方式，教學就可以打破“只見樹木，不見森林”的“點”狀模式，把具有類特征的內容整合到一起，凸顯“點”狀知識背后的思維方式。以“塊狀”方式呈現，可以豐富學生對具有類結構特征知識內涵的整體認識和結構把握，提升學生的分類、概括、抽象的能力。

【案例2】“乘法分配律”教學片段：

在教學乘法分配律時，教師出示了這樣幾個學習材料。

（1）一個長方形長5厘米，寬3厘米，周長是多少？

學生列出算式：（5+3）×2；5×2+3×2；

老師追問這兩個算式結果怎樣？學生得出（5+3）×2=5×2+3×2。

（2）123×3可以用豎式計算：■

還可以這樣算：123×3=（100+20+3）×3

=100×3+20×3+3×3

=369

（3）一件上衣30元，一條褲子20元，買4套衣服共多少元？

這道題你能不能也列一個等式？（30+20）×4=30×4+20×4。

（4）客車、貨車從甲乙兩地相向開出，客車每小時行駛80千米，貨車每小時行駛100千米，經過3小時相遇。甲乙兩地相距多少千米？

可以先求兩輛車每小時一共行駛多少千米，然后再求3個小時一共行駛多少千米：（100+80）×3；也可以分別求出客車、貨車3小時分別行駛多少千米，然后再求它們的和是多少：80×3+100×3；這兩個算式相等嗎？為什么相等？（100+80）×3=80×3+100×3。

通過“塊狀”方式呈現乘法分配律，學生很容易就能悟出乘法分配律的特征。長方形周長的計算、三位數乘一位數、三套衣服的總價與客貨車3小時行的路程等，通過這些相似成分的“塊狀”呈現，學生悟出其計算的一般方法，有利于學生有效地掌握。這樣的教學就可能讓學生整體感知和體會到蘊含在數學知識背后的思想和認識事物的一般方法，并在把握一般的同時，又能對各種具體情形進行比較，理解其特殊性。

2.“串聯”式呈現

課堂教學中，學生一個一個隨機地站起來回答問題，這種學生的資源的呈現是一種“串聯”的方式?！按摗背尸F資源的方式，既不利于學生對各種資源進行比較、辨析，又不利于形成學生間的互動和思維的碰撞；還容易導致個別學生的“替代思維”?；谏鲜稣J識，教師要改變原來的“串聯”呈現資源的方式，把具有代表性的不同層次思維的有價值的資源有目的地回收上來，“并聯”呈現在黑板上，實現資源的群體共享。讓學生先獨立思考再以小組方式進行討論，在比較和辨析中感悟、體驗，在比較和辨析中得到提升。

【案例3】“小數的加減法”教學片段：

教師提出問題：12.4+9.97=？

學生獨立思考解決問題的方法。

教師巡視，采集樣本，同時呈現在黑板上，依次請學生介紹所用的計算方法。

■

請學生比較（1）（2）方法后，教師又拿出學生中的（3）（4）種方法并進行討論。

■

最后教師又呈現了如下方法：（5）12.4+9.97=12.4+10-0.03

=22.4-0.03

=22.37

本課是學生在“認識小數”后進行“小數運算”教學的第一課時，在本例中，教師沒有一味地讓學生表面地理解和記憶相同數位對齊就是小數點對齊，為幫助學生理解和提升認識，教師做了如下“呈現”：首先出示學生中的正確資源（1）和（2），解決本課重點也是難點，幫助學生理解相同數位才能相加，其中包括用豎式計算，凸顯了小數加法與整數加法的區別和聯系；其次是一些錯誤的資源，能夠暴露學生學習此內容的障礙之處，即不知數位如何才算對齊；最后呈現了用湊整法進行簡便運算這種方法，有助于激活、打開全體學生思維通道。如果這三類基本資源中的某一類沒有，教師應靈活補充。

3.“開放”式呈現

當前，學生被動學習的現象比較普遍，被動地走進校園，被動地步入課堂，被動地接受知識。大多數學生頭腦里只是老師“灌輸”的內容，離開老師，就不會學習，這樣的教學離素質教育差遠了。學生是學習的主體，給學生提供“開放”式的課堂教學，充分調動學生的學習積極性，讓學生有深入細致思考的機會、自我體驗的機會，才能將所學變成他們自己的知識。在學習材料的呈現過程中，我們如何激發學生的學習興趣，調動他們的主觀能動性呢？

【案例4】“24時記時法”教學片段：

例題呈現：紅領巾廣播站

節目預報

7時30分學校新氣象

中午12時20分 兒童歌曲欣賞

下午1時健康教育

15時45分科學家的故事

下午4時30分明日氣象

教師把五個時刻及節目做成五張紙條，打亂后放進信封。練習時，讓學生倒出這些節目條，根據時間的先后順序給這些節目排隊。（學生正確排序后，還得出這樣的體會：由于“24時計時法”書寫起來比較簡便，而且比較起來也方便，所以通常我們看到的節目表都是用“24時計時法”來計時的）

原書本習題有四個節目條：上午7時30分 學校新氣象；中午12時兒童歌曲欣賞；下午1時健康教育；下午4時 科學家的故事。本練習題經教師改編后，呈現的時刻不再是單一的計時法，而需將時刻統一成“24時計時法”或“普通計算法”后，才能排序。這一改編，解決了總是讓學生進行“普通計時法”向“24時計時法”的單向轉換，一方面，使得現有的情境較原先呈現出更大的開放性，有利于學生更加積極主動地參與到信息的收集、組織、比較等數學思考中來；另一方面，又巧妙地將學生已經具備的相關舊知予以激活，為學生自主探索新知做好認知上的鋪墊。

4.“布白”式呈現

我們的教學，長期受“扶，階梯、拐杖”等思想的制約，學生不會的，教師告訴；思維有難度的，鋪設層層階梯；有時學生自己能解決的，也硬要啟發一下。學生長期受老師的啟發幫助，接觸著沒有挑戰的學習內容，自然形成了依賴的心理。學習材料的“布白”，就是將布白手法運用于教學的探索過程中，為學生的主動探究提供一個挑戰性和支持性的課堂學習環境。雖然這意味著學生可能要面臨更多困惑和迷茫，或許花費很多時間和精力后依然前途茫茫，但這個過程是美麗的，是最具包蘊性的時刻，是學生生存、成長與成熟、創造所必經的過程。

【案例5】“長方形的面積”教學片段：

在教學長方形的面積時，出示一個長方形讓學生猜猜面積是多少？

用什么方法驗證？

生：用面積是1平方厘米的小正方形擺擺看。

于是讓學生拿出學具袋，小組之間合作完成。

這時，有的小組很快擺了起來，有的小組卻陷入了思考。（因為我給學生的學具袋中小正方形的個數是不一樣的，少的小組只有7個，多的小組有12個）

反饋

生1：12個小正方形擺滿了長方形，如圖2。

生2：用線描出如上圖的格子?？纯纯梢苑艓讉€這樣的格子。

生3：只擺了7個小正方形，如圖3。

還有的小組只用了4個擺出了圖4。

■

……

教師隱藏了原有學習材料中的一部分，學生無法用簡單的“數”得出面積，激發他們在操作基礎上輔以深層次的思考：怎么擺才能得出長方形的面積？小正方形不夠該如何填補？不僅完整地呈現出長邊個數×寬邊個數即為長方形面積這一思考過程，也發展了學生的空間想象力，讓學生更有興趣探索開放、多元的學習過程。有人說，數學課堂應該轉“知”成“識”，更要轉“識”成“智”。對數學學習材料進行“布白”，使學生的認識不要停留在孤立的、靜止的、缺乏本質建構的生活經驗上，而是把這些生活經驗上升為一種數學的智慧，出現了“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的局面。

三、反思

在以前的數學知識呈現中，只關注知識點的增長，教學過程多數體現的是一種肢解的思想；對學習材料呈現的認識僅體現在部分內化并轉化為行為，因而使得改革僅僅停留在表面的形式化狀態，成為情境、活動、技術與開放題的“加法式改革”。因而也就導致在課堂教學中，材料呈現點狀的問題，缺乏知識整體的關系意識；材料呈現演繹的問題，缺乏知識形成的過程意識等等。

在教學中，我們不僅要讓學生掌握知識，而且要讓學生學會自己學習，提高自主探索能力和創造能力。從學生的數學學習反映出，學生是有能力參與探索新知的產生過程的?！皟灮R呈現方式的實驗與研究”大大增加了學生在課堂上參與建構知識體系的契機，調動了學生的學習積極性，使原來單純的學習材料呈現過程轉向學生體驗和自主構建新知的過程，使學生在課堂中形成的知識素養，不再只局限于常規的知識理解、公式把握、解題能力等，更指向學生主動發展的意愿，對知識結構的遷移能力、研究方法的把握、思維品質的提升、思想文化的感悟、思維方式的形成等等。對課堂教學永不停歇地進行多樣化、深入化的探索，使得課堂教學的內涵越來越豐富，人們對課堂教學的理解也日臻完善，課堂教學正經歷一個不可逆轉的轉型期。

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（作者單位 杭州師范大學附屬丁蘭實驗學校）

?誗編輯 楊兆東