精心設計習題，提高教學實效

林雪嫦

摘要：練習是檢查數學課堂教學成果的重要手段，也是將數學知識轉化為能力，培養學生良好思維品質的重要途徑。高質量的、有針對性的習題，不僅可以使學生跳出“題海”，而且能提高學生的數學解題能力。本文結合筆者自身的教學實踐，從五個方面論述了如何精心設計數學習題，提高初中數學教學實效。

關鍵詞：初中數學；習題設計；教學實效

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）04-0119

在數學學習中，學生有將近二分之一的時間在做練習。因此，練習的質量優劣，直接影響著數學教學的效果好壞。然而，在教學中，很多教師關注的比較多的是教學目標定位是否準確、教學環節設計是否科學、教學方法是否創新以及教學課件制作是否精巧。而對課后習題的關注往往很少。我們走進數學教師的辦公室，普遍看到的是現成的教輔或者是統一征訂的試卷，很少有數學教師親自精選或編寫習題。其實，練習是檢查數學課堂教學成果的重要手段，也是將數學知識轉化為能力，培養學生良好思維品質的重要途徑。高質量的、有針對性的習題，不僅提高學生做題的興趣，而且提高學生數學的解題能力。優化習題設計，能更好地彰顯數學魅力，同時也能引導學生順利地進入數學殿堂。可以說，習題是打開數學大門的一把金鑰匙。本文結合筆者的教學實踐，談談數學習題設計的方法。

一、精心設計易錯題，打破學生思維定勢

學生在解題的時候，往往受定勢思維和解題習慣的影響，對于習題中條件的變化，他們還是會照搬例題的解題方法和思路，不能做到隨題應變。因此，教師應通過易錯題來幫助學生真正理解和思考問題。然后讓學生總結錯識的原因，從而讓他們發現在解題時思維上的誤區和方法上的不足。

案例1：《一元二次方程的應用》的習題。

一淘寶商家進了一批手機充電寶，準備在“雙11”促銷，該充電寶的進價為40元。經市場預測，如果銷售價標為50元，可售出180個，定價每增加1 元，銷售量將減少10個，該商家若準備在這一天獲利1600元，則應該進貨多少，定價為多少？

說明：該題與浙教版八年級下冊數學教材第41頁A1題相似。不同的是，教材中習題最后求出的兩個根都是正數，且都符合題意。而解本題：設定價為（50+x）元，則每銷售一個獲利（50+x-40）元，共銷售（180-10x）個。根據題意得（50+x-40）（180-10x）=1600，解得方程的兩個根x1=-2，x2=10，其實也符合題意。但是學生往往會把x1=-2舍去，以為漲價不能為負數。這是受“人數”、“長度”等量不能為負數的定勢思維的影響。因此，設計該題的目的是幫助學生消除定勢思維的影響，使之清楚地了解進價、定價、漲價各種量之間的關系。避免解一元二次方程在兩根的取舍上出現錯誤。設計該題，既考慮到課題的主要內容，又考慮到學生的薄弱點。

二、精心選擇針對性習題，激活學生解題思維

數學學習是一個循序漸進的過程，不同時期的作業應根據學生的實際水平和課堂的教學目標進行精選，避免出現大量簡單重復機械操作的作業，那樣就會讓學生深陷題海的深淵。因此有針對性地選擇一些習題，學生通過知識的同類比較，異同比較，既可以發揮學生的主體作用，化解教學的重難點，又能激活學生的解題思維，提高學生的解題能力。

案例2：一次函數復習

例如：在學習了一次方程（組） 、一元一次不等式和一次函數后，把相關知識歸納整理如下：

（1） 請你根據以上方框中的內容在下面數字序號后寫出相應的結論：

① ；② ；③ ；④ 。

（2）如果點C的坐標為（1，3），那么不等式kx+b≥k1x+b1 的解集是 。

說明：在一次函數復習中，大部分學生對一次函數概念、圖象位置、增減性都很清楚，真正困難在于：在圖象和表達式中發現有用的信息來解決問題；用不等式、方程、函數表示現實問題中數量關系；用函數圖象表示方程、不等式之間的相互關系等等。因此，設計這樣的一組習題，展開對函數、方程、不等式之間關系用數形結合思想進行知識梳理，有的放矢，化解教學難點，提高學生的解題能力。

三、精心設計梯度題組，糾正學生模糊認知

在數學學習過程中，學生難免會在認知上出現一些偏差，并且他們自己也不會察覺。要澄清這些潛意識中存在的模糊認識，就要采用一些適當的問題和方法，讓學生加以辨析，這樣有助于學生明晰知識，進而促進學生深入理解數學知識，優化解題思維。

第一，并列式題組：

習題設計要立足于數學核心知識。因為緊扣核心知識點設計題組，就是抓住了教學的重難點。而隨著這些題組慢慢解開，教學的重難點也就一步一步被攻克。

案例3：在復習特殊四邊形時，筆者設置了這樣一組題：

判斷下列各題是對是錯。對的說明理由，錯誤的舉出反例。

1. 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。（ ）

2. 一組對角相等，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。（ ）

3. 對角線相等且有一個角是直角的四邊形是矩形。（ ）

4. 對角線互相垂直且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形。（ ）

5. 一組鄰邊相等，且有一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形。（ ）

6. 對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形。（ ）

7. 兩個角相等的梯形一定是等腰梯形。（ ）

說明：這一組問題都設有“陷阱”，學生假如沒有認真分析，就會出現錯誤。因此，通過這7個命題的分析，澄清學生的模糊認知，增強了思辨能力。很多學生被第2、3、5、7題所蒙蔽。僅僅知道它是錯誤的，卻不能舉出反例，表現出思維的膚淺。于是筆者組織學生對習題進行充分討論與交流，進行反例的構建，得出如下結論：第2題、第3題、第5題的反例分別為：圖1、圖2、圖3，第7題的反例為“直角梯形”。

第二，遞進式題組：

數學習題設計的原則之一是由易到難，循序漸進，需要有層次性。這樣一步步將問題難度加深，讓不同層次的學生都能達到有效訓練的目的。從而揭開題目的規律，發展學生的解題思維。

案例4：為了加深學生對等腰三角形性質的理解，筆者設計了下列一組遞進式題組：

（1）如果等腰△ABC的一個底角為70°，那么它的頂角∠A度數是多少？

（2）如果等腰△ABC的頂角∠A為70°，那么它的底角∠B、∠C度數是多少？

（3）如果等腰△ABC的一個內角為70°，那么它的其余的內角度數各是多少？

（4）如果等腰△ABC的一個內角為110°，那么它的其余的內角度數各是多少？

（5）如果等腰△ABC的一個內角為n°，那么它的其余的內角度數各是多少？

說明：該題組中的（1）、（2）題立足于等腰三角形的兩個底角相等這一基本性質，第（3）題則需要考慮這個70°內角的位置，第（4）題需要強調的是，當內角為鈍角時，它的位置只能是頂角。否則，就不符合三角形三個內角的和等于180°的性質了。第（5）題則是用字母代替數，需要綜合考慮上述的各個因素，難度又有所增加。通過這樣的習題，加強了學生對等腰三角形的性質定理的理解和直接應用，促進學生積極思維，培養了學生分析問題、解決問題的能力。

四、精心設計開放性習題，發展學生的求異思維

解決一個數學問題，方法往往是多種多樣的。學生可以從不同的角度、不同的方法去思考。而改變題目的條件或結論，增加題目的開放程度，可以幫助學生尋找不同的解決途徑和思維方式，從而使學生掌握解決同類問題的方法和規律，提高學生的綜合應變能力。

案例5：相似三角形復習課，筆者設計了如下的開放性習題：

（1）如圖4，D、E兩點分別在△ABC的邊AB、AC上，當滿足什么條件時，△ADE與△ABC相似（寫出一個即可）？

（2）如圖5，銳角△ABC中，AB>AC，過AB上一點D作直線DE交另一邊于點E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形。

（3）如果將問題2中的“銳角△ABC”改為“Rt△ABC”，（如圖6），其他條件不變，畫出滿足條件的圖形。

這種開放性的習題，由于答案不是唯一，學生就有了想象與創造的空間。他們在尋求答案的過程中，發散思維與求異思維得到了發展。在講評習題的過程中，全體學生參與討論，他們各抒己見、互相啟發、取長補短，學習的積極性得到充分調動，教學效果比較明顯。

五、精心設計變式題，開拓學生解題思路

當前，很多學業考試的題目是由數學教材中的例題、習題進行改編。這類原題知識覆蓋面廣，同時又強調對“四基”（即基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗）的考查，適當對教材中的探究、例題、練習進行類比、加工、改造，設置不同的情境或變換條件，讓習題盡量多地回歸教材，既能開拓學生的解題思路，更能培養學生駕馭教材知識的能力。

原題1：如圖9，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，AE⊥BF，求證：AE=BF。

原題2：如圖10，O是正方形ABCD的對角線的交點，EF、GH都過點O，EF⊥GH，AE=CF。

（1）以點O為旋轉中心，將整個圖作旋轉變換，問至少旋轉多少度，所得的像和原圖形重合？

（2）根據第（1）題的結果，判斷圖中有哪些全等的四邊形。

（3）若CF=2，CG=6，求圖中每個四邊形的面積。

在設計習題時，我們可以對它進行變式：

變式1：如圖11，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，AE、BF交于點O，∠AOF=90°，求證：BE=CF。

變式2：如圖12，在正方形ABCD中，點E、H、F、G分別在邊AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點O，∠FOH=90°，EF=4，求GH的長。

變式3：已知點E、H、F、G分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點O，∠FOH=90°，EF=4，直接寫出下列兩題的答案：

（1）如圖13，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求GH的長；

（2）如圖14，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GH的長。（用含n的代數式表示）。

（上接第120頁）

說明：變式1與原題1基本一樣，只是把結論改變了一下。變式2是在變式1的基礎上，把兩條線段進行平移，而這兩條線段的長度保持不變。學生弄清楚變式1的思路，該題就能迎刃而解。變式3又在變式2的基礎上，把1個正方形變成2個全等的正方形和n個正方形讓學生分析兩條線段的關系。因此，在教學中，精心選擇一些例題、習題或數學題材，進行恰當的拓展或改編，引導學生深入數學的本質來理解知識，從而訓練學生思維的深刻性。

實踐證明，選用與設計的習題，既要考慮涵蓋教材的內容，注重各知識點的考查，又要關注學生的學情，考慮作業的難度與層次。設計的題型精一點，學生就會學得活一點。習題設計得新一點，學生就會做得有趣一點。由此觀之，精心設計習題是輕負提效、發展學生數學思維能力的有效途徑。

參考文獻：

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[3] 朱 林.能產生實效性的習題設計[J].中國數學教育，2011（9）.

[4] 王繼偉.淺談對錯誤資源的有效利用[J].中國數學教育，2012（10）.

（作者單位：浙江省永嘉縣甌北第五中學 325102）